王春雨配方法

浅谈配方法在高中数学中的应用

中实学校 王春雨

摘 要 应用配方变形来解数学题的方法叫做配方法，配方是一种以“出现平方式”

为思维指向的恒等变形，因而，配方法既具有恒等变形的功能，又具有“平方式”，从而在数学范围内产生非负数的特殊功能。本文从利用配方法求最值等四方面简单阐述说明配方法在解高中数学题中的应用

关键字 配方法 解题方法

一、 利用配方法化简、求值

如：化简442121721217-++ 原式=223223)

223()223(42

42

-++=-++

=221212)21)21(22=-++=-++

再如：设的值，求ca bc ab c b a c b b a ---++-=-+=-2

2232,32

可利用配方 22

2222b bc ac ab c b b a ca bc ab c b a -+-+-+-=---++）（）（

15

)

32)(32()32()32())(()()()

()()()(2

2

2222=-++-++==--+-+-=-+-+-+-=c b b a c b b a b c b c b a c b b a

二、 利用配方法求最值 （1） 代数应用

一般含参数的一元二次方程在某段区间上的参数的最值问题通常运用判别式求解，但一般只能求得一个最值，如果用配方法便可求得，举例来说明一下

方程01)22

1(22=-+-+a x a x 的解集在区间[]2,0上，求实数a 的最大值和最小值。 通常用判别式法求解，由 △=8

17

04172)1(4)221(22≤

≥+

-=---a a a a 得，只求得最大值，无法求最小值。今用配方法，不但可求得完整的解答，而且实践易行，有很好

的推广价值。因所求解为a 的最值，故调整原方程，以a 为主元。具体方法如下：把原方程化为

0)12

(222=-+

+-x

x xa a 解得a ，得 a=

)242(2

1

x x -±，调整系数，在降幂状态下进行配方，得 2

)2

124(218178

174124)24(21±--=+

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±--=x x x a

由题设，x [],2,0∈因而： （1）当。得最大值时，即8

17815,02124a x x ==-- （2）。

得最小值时，为最大，即102

1

24-=+

-a x x （2） 解析几何问题的应用

F （x ，y ）为椭圆的最大值、最小值。上的点，求222

2

214

)2(y x y x +=+- 分析：通常用判别式求，令 2

22y x k += 消去y ，得

07884

243272≥-=∆=++-k k x x

所以，7

88

≤

k 只求得最大值，无法求最小值，现用配方法来求： 22)7

16

(778824327--=-+-=x x x k

由题设（x-2）7

88

131,12≤

≤⇒≤≤≤k x 所以 （3）立体几何题型中的应用

如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线AC 与BC 1之间的距离。

我们求异面直线AC 与BC 1之间的距离问题，可转化为求BC 1上任何一点到AC 距离的最小值问题，在线段BC 1上取一点E ，过E 作EH ∥CC 1，交BC 于H ，则EH ⊥面ABCD ，过H 作HF ⊥AC 交AC 与F ，连接EF ⊥AC ，因此，线段EF 之长就是点E 到直线AC 的距离。 设HC=x ，则HB=a-x 。

在Rt △EHF 中，EH=HB=a-x ，FH=HCcos450

=

x 2

2

，所以

EF=2222

222

23

1)32(2322321)(a a x a ax x x x a FH

EH +-=+-=+

-=+ 因为0≤x ≤a ，所以当x=

a 3

2

时，EF 有最小值.33a 故异面直线AC 与BC 1之间的距离是.3

3

a 三 、利用配方法解方程

配方法可应用于某些无理方程和不定方程，解法清晰简明，而且理论严谨，毋须检验，无增失根之弊。例如：解方程0215522=----x x x x 调整系数配方得：

4

1415)15(2

22

2

x x x x x x ++=+--- （2

22

)21()215x x x +

=--

)2

1(2152

x x x +±=--

因为 1152-≠-x 所以 x x +=-1152

解得 x 1=1、x 2=-2

1

均是原方程的根。故原方程的根是 x 1=1、x 2=-2

1

再如：解方程 x x

x x =-+-

1

11 我们可以对其作配方变形，有

01

12122=---

-x

x x x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+---+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+---x x x x x x x 1112)1(112)1(