王春雨配方法

浅谈配方法在高中数学中的应用
中实学校 王春雨
摘 要 应用配方变形来解数学题的方法叫做配方法，配方是一种以“出现平方式”
为思维指向的恒等变形，因而，配方法既具有恒等变形的功能，又具有“平方式”，从而在数学范围内产生非负数的特殊功能。

本文从利用配方法求最值等四方面简单阐述说明配方法在解高中数学题中的应用
关键字 配方法 解题方法
一、 利用配方法化简、求值
如：化简442121721217-++ 原式=223223)
223()223(42
42
-++=-++
=221212)21)21(22=-++=-++
再如：设的值，求ca bc ab c b a c b b a ---++-=-+=-2
2232,32
可利用配方 22
2222b bc ac ab c b b a ca bc ab c b a -+-+-+-=---++）（）（
15
)
32)(32()32()32())(()()()
()()()(2
2
2222=-++-++==--+-+-=-+-+-+-=c b b a c b b a b c b c b a c b b a
二、 利用配方法求最值 （1） 代数应用
一般含参数的一元二次方程在某段区间上的参数的最值问题通常运用判别式求解，但一般只能求得一个最值，如果用配方法便可求得，举例来说明一下
方程01)22
1(22=-+-+a x a x 的解集在区间[]2,0上，求实数a 的最大值和最小值。

通常用判别式法求解，由 △=8
17
04172)1(4)221(22≤
≥+
-=---a a a a 得，只求得最大值，无法求最小值。

今用配方法，不但可求得完整的解答，而且实践易行，有很好
的推广价值。

因所求解为a 的最值，故调整原方程，以a 为主元。

具体方法如下：把原方程化为
0)12
(222=-+
+-x
x xa a 解得a ，得 a=
)242(2
1
x x -±，调整系数，在降幂状态下进行配方，得 2
)2
124(218178
174124)24(21±--=+
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±--=x x x a
由题设，x [],2,0∈因而： （1）当。

得最大值时，即8
17815,02124a x x ==-- （2）。

得最小值时，为最大，即102
1
24-=+
-a x x （2） 解析几何问题的应用
F （x ，y ）为椭圆的最大值、最小值。

上的点，求222
2
214
)2(y x y x +=+- 分析：通常用判别式求，令 2
22y x k += 消去y ，得
07884
243272≥-=∆=++-k k x x
所以，7
88
≤
k 只求得最大值，无法求最小值，现用配方法来求： 22)7
16
(778824327--=-+-=x x x k
由题设（x-2）7
88
131,12≤
≤⇒≤≤≤k x 所以 （3）立体几何题型中的应用
如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线AC 与BC 1之间的距离。

我们求异面直线AC 与BC 1之间的距离问题，可转化为求BC 1上任何一点到AC 距离的最小值问题，在线段BC 1上取一点E ，过E 作EH ∥CC 1，交BC 于H ，则EH ⊥面ABCD ，过H 作HF ⊥AC 交AC 与F ，连接EF ⊥AC ，因此，线段EF 之长就是点E 到直线AC 的距离。

设HC=x ，则HB=a-x 。

在Rt △EHF 中，EH=HB=a-x ，FH=HCcos450
=
x 2
2
，所以
EF=2222
222
23
1)32(2322321)(a a x a ax x x x a FH
EH +-=+-=+
-=+ 因为0≤x ≤a ，所以当x=
a 3
2
时，EF 有最小值.33a 故异面直线AC 与BC 1之间的距离是.3
3
a 三 、利用配方法解方程
配方法可应用于某些无理方程和不定方程，解法清晰简明，而且理论严谨，毋须检验，无增失根之弊。

例如：解方程0215522=----x x x x 调整系数配方得：
4
1415)15(2
22
2
x x x x x x ++=+--- （2
22
)21()215x x x +
=--
)2
1(2152
x x x +±=--
因为 1152-≠-x 所以 x x +=-1152
解得 x 1=1、x 2=-2
1
均是原方程的根。

故原方程的根是 x 1=1、x 2=-2
1
再如：解方程 x x
x x =-+-
1
11 我们可以对其作配方变形，有
01
12122=---
-x
x x x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+---+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+---x x x x x x x 1112)1(112)1(
=0)11()21(22=--+--
x
x x x 得 11
=-
x
x x
x 11=
-
均有 012
=--x x
解之取正值，得
=
x 2
5
1+。

四 、利用配方法解不等问题
我们利用三个实际问题对这个结论进行阐述，如下： （1） 求不等式c bc ab c b a 244552
22++++ 的整数解 由整数性质，原不等式等价于
c ac ab c b a 2441552
22++≤+++ 配方得 0)1()2()2(2
2
2
≤-+-+-c c b b a 所以 c=1，b=2，a=4
（2） 正数a 、b 、c 满足a+2b+3c=4，求证
513121 +++++c b a
观察被证不等式左端三式被开方数之和恰好是a+2b+3c 。

这一信息给我们解决问题提供了
思路：构造0)113()112()112
22 -++-++-+c b a （因为它们三项不能同时
为0）
展开得 10632)131212=++++++++c b a c b a
所以 513121 ++++
+c b a
（3） 若x 1，x 2，x 3，……x n ＞0，我们来证明一下n n x x x x x x x
x x (211)
2
32
222
1++≥+++
可以先用比较法，再进行配方，判断符号，便可证得
左式-右式=（)2(...)2()211
2
3232221221x x x x x x x x
x x x x n n +-+++-++-
=
0(
...)(
)11
233
2221≥-++-+-x x x x x x x x
x n
所以n n x x x x x x x
x x (211)
2
32
222
1++≥+++
配方法是探索数学规律和解题思路的重要方法之一，它在数学各个分支都有重要作用，在中学数学中有很多问题可以用配方法来解决，解决问题时一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性和技巧性，灵活运用配方法解题，通过化繁为简，化难为易，常常可达到事半功倍的作用，中学数学是数学世界的基石，是进入数学世界的必须之路，通过本文，可以领略一下数学世界中的风采，体验一下数学世界的气氛从而获得一些数学兴趣和数学修养。

我也希望我的这篇文章能激发中学生找到自己学习数学的方法，也能由此扩大自己的数学视野。

参考文献
[1]. 刘绍学.
视野[J]. 中学数学教学参考.1998.5.1
[2]. 李明振主编. 数学方法与解题研究. 上海:上海科技教育出版社
2002
[3]. 熊曾润. 运用配方法求函数值举例. 教学通讯 2001。