2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试数学试题

辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试数学试题
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2)，B ＝{x |log 2x <2}，则A ∩B ＝( )
A.{2}
B.{1，2}
C.{0，1，2}
D.(－2，－1，0，1，2)
2.若复数z ＝(m ＋1)＋(2－m )i(m ∈R )是纯虚数，则63i z
+＝( )
B.3
C.5
3.在△ABC 中，能使s in A ( ) A.(0，3π) B.(3π，2π) C.(3π，23π) D.(2
π，56π) 4.边长为6的等边△ABC 中，D 是线段BC 上的点，BD ＝4，则AB AD ⋅＝( )
A.48
B.30
C.24
D.12
5.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 5＋a 7＋a 9＝( )
A.21
B.42
C.63
D.84
6.函数f (x )＝cos x x )(－2≤x ≤2)的图象大致为( )
7.己知f (x )＝1－21x a +是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有f (x 2－mx ＋2)>13，则m 的取值范围是( )
A.m >2
B.0<m <2
C.－4<m <4
D.－2<m <2
8.已知曲线C ：y
，P 为曲线C 上任意一点，设曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A.『23π，π)
B.『3π，2π)
C.(2π，23π』
D.(0，3
π』 二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.下列说法中正确的有（ ）
A.存在a ，使得不等式a ＋1a
≤2成立 B.不等式a ＋b
恒成立 C.若a ，b ∈(0，＋∞)，则b a a b
+≥2 D.若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则21x y +≥8 10.函数y ＝As in(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A.该函数的解析式为y ＝2s in(
23x ＋3
π) B.该函数的单调递增区间是『3k π－54π，3k π＋4
π』，k ∈Z C.该函数的对称中心为(k π－3
π，0)，k ∈Z D.把函数y ＝2s in(x ＋3π)的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍，纵坐标不变可得到该函数图象
11.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1.若a ·b ＝
12
，则(a －b )·(2b －c )的值可能为( )
A.3
B.－2
C.0
D.
12.已知函数f (x )＝(
)lnx 0x e f 2e x e x 2e ⎧<≤⎪⎨-<<⎪⎩，，，若函数F (x )＝f (x )－ax 有4个零点，则a 的可能的值为( )
A.1e
B.12
C.13
D.14
第II 卷(共90分)
三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题纸上。

)
13.已知a i 3j =+，b 2i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则|a －2b |＝ 。

14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 3＝6，则数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前50项的和为：。

15.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x －1，则f (12
log 7)的值等于 。

16.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了。

造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟。

会当凌绝顶，一览众山小。

”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”。

在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等。

如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A ，B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为 。

四、解答题：(满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置)
17.(本小题满分10分)
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c 。

(1)求C ：
(2)若c
，△ABC
的面积为
2
，求△ABC 的周长。

18.(本小题满分12分)
已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，在等比数列{a n }中，a 1＝b 1，a 4＝b 8。

(I)求{b n }与{a n }的通项公式；
(II)若{b n }中去掉{a n }的项后余下的项按原顺序组成数列{c n }，求{c n }的前20项和。

19.(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝s in ωx ，ω>0。

(1)f (x )的周期是4π，求ω，并求f (x )＝12
的解集；
(2)已物ω＝1，2()()()(
)2g x f x x f x π=--，x ∈『0，4
π』，求g (x )的值域。

20.(本小题满分12分) 己知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3·2n ＋1。

(1)设b n ＝n 2n
a ，证明数列{
b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n 。

21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝
2
x
ax x1
e
+-。

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0。

22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2ln x－1
3
ax3－
3
2
x2。

(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：ln(x1x2)>4。

——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题：
1-8 B A B C D C D A
二、多项选择题：
9-12 ACD ABD BCD CD
三、填空题： 13.32 14.51100 15.-0.75 16.km
四、解答题：
17.（本题满分10分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C ＜π，∴s in C ≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cos C （s in A cos B +s in B cos A ）=s in C ，
整理得：2cos Cs in （A +B ）=s in C ，
即2cos Cs in （π﹣（A +B ））=s in C
2cos Cs in C =s in C
∴cos C =，……………3分
∵0＜c ＜π
∴C =；……………5分
（2）因为△ABC 的面积S ＝
＝＝， 所以ab ＝6，…………7分
由余弦定理可得，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝（a +b ）2﹣3ab ＝7，
所以a +b ＝5…………9分
△ABC 的周长a +b +c ＝
．…………10分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵， ∴当n ≥2且n ∈N *时b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ．…………2分
又b 1＝S 1＝2也符合上式，∴b n ＝2n ．…………3分
∵a 1＝b 1＝2，a 4＝b 8＝16，
∴等比数列{a n}的公比为2，
∴．…………6分
（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50，
∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9分
＝＝＝650﹣62＝588．
…………12分
19.（本题满分12分）
解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，…………1分所以f（x）＝s in．
令s in，故或，…………3分
整理得或．…………4分
故解集为{x|或，k∈Z}．…………5分（2）由于ω＝1，
所以f（x）＝s in x．
所以g（x）＝
＝＝﹣
＝﹣s in（2x+）．…………8分
由于x∈『0，』，
所以．
，
故，…………10分
故．
所以函数g（x）的值域为『﹣．…………12分
20．（本小题满分12分）
（1）证明：将两边同时除以2n+1得，，……3分
即b n+1﹣b n＝3，
又a1＝2，故数列{b n}是以1为首项，3为公差的等差数列…………4分
得b n＝3n﹣2，即．…………6分
（2）S n＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①
则2S n＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7分
①②相减得﹣S n＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8分
＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10分
化简得．…………12分
21．（本小题满分12分）
（1）解：＝﹣．
∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，…………2分
∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．
即2x﹣y﹣1＝0为所求．…………4分
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得＝﹣．…………5分
令f′（x）＝0，可得，
当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，…………7分
注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0
函数f（x）的图象如下：
∵a≥1，∴，则≥﹣e，…………11分∴f（x）≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．…………12分
22.（本题满分12分）
解：（1）由题意得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∵f′（x）＝2x ln x+x﹣ax2﹣3x＝x（2ln x﹣ax﹣2），
∴2ln x﹣2﹣ax≤0在（0，+∞）恒成立，…………1分
即a≥在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝，则g′（x）＝，…………2分
∴当x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，
当x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，
故当x＝e2时，函数g（x）有极大值，也是最大值，…………3分故a≥g（e2）＝，
故实数a的取值范围是『，+∞）；…………4分
（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2ln x﹣ax﹣2），
则，故2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，
2ln＝a（x1﹣x2），…………6分
故2ln（x1x2）＝（x1+x2）+4，…………7分∵x1≠x2，∴令x1＞x2，＝t，…………8分
则ln（x1x2）＝ln t+2，
令h（t）＝ln t+2，（t＞1），
要证h（t）＞4在（1，+∞）上恒成立，
即证（t+1）ln t﹣2t+2＞0，…………9分
令F（t）＝（t+1）ln t﹣2t+2，则F′（t）＝ln t+﹣1，则F″（t）＝﹣＝＞0，
故F′（t）在（1，+∞）递增，…………11分
∴F′（t）＞F′（1）＝0，F（t）在（1，+∞）递增，
从而F（t）＞F（1）＝0，
即原不等式成立．…………12分。