数学分析复习思考题

数学分析复习思考题
1、设a + a 2−y 2=ye u ,u =
x+ a 2−y 2a ,(a>0)，求∂y ∂x ,∂2y ∂x 2、设z =f(x 2+y 2,xy
3)，f 具有二阶连续偏导数，求∂z ∂x ,∂2z ∂x 2,∂2z ∂y 2 3、设以u,v 为新的自变量变换方程x 2∂2z ∂x −y 2∂2z ∂y =0,u =xy,v =x y 4、设f xx
,, x,y =1,f x , 0,y =y,f 0,y =y 2求f(x,y) 5、设函数z =f x,y 在点（1,1）处可微，且f 1,1 =1,∂f 1,1 ∂x =2,∂f 1,1 ∂y =3,
φ x =f(x,f x,x )，求d φ3(x)dx ∣x=1 6、设a,b 为正常数，L 为从点A （2a ，0）沿y = 2ax −x 2到点（0,0）的一段弧，
求 e x siny −b x +y dx + e x cosy −ax dy L
7、设∑是z =x 2+y 2(0≤z ≤4)的上侧，计算 xdydz +ydzdx +zdxdy ∑
8、设S 为有向曲面z =x 2+y 2(0≤z ≤1)的上侧，计算 （2x +z)dydz +zdxdy S
9、求旋转抛物面z =1+x 2+y 2被旋转抛物面z =2(x 2+y 2)截下的部分曲面的面积。

10、已知 e −x 2dx t 1，求 t 2f t dt 10
11、设I y = ye −yx dx,+∞0证明：（1）对任意b>a>0,I(y)在[a,b]上一致收敛；
（2）在任何[0,b]上，I(y)不一致收敛。

12、设I α = xe −αx dx,+∞0证明：（1）I(α)在0<α0≤α<+∞上一致收敛；
（2）在0<α<+∞上I(α)不一致收敛。

13、求由方程x 2+2xy +2y 2=1所确定的隐函数y=y(x)的极值。

14、求由方程2x 2+2y 2+z 2+8yz −z +8=0所确定的隐函数z=z(x,y)的极值。

15、当x>0,y>0,z>0时，求函数f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6R 2上
的最大值。

并证明：当a,b,c 为正实数时，不等式ab 2c 3≤108(a+b+c 6)6成立。