《10.1 整式》 讲义

《10.1 整式》讲义
一、整式的概念
在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的式子。

整式，就是其中一种非常重要的表达式。

整式是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做整式。

比如，5x、2y²、－3 等都是整式。

这里要注意的是，分母中含有字母的式子不是整式，因为它们不符合整式的定义。

二、整式的分类
整式可以分为单项式和多项式。

（一）单项式
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，单项式 5x 的系数是 5，次数是 1；单项式－2xy²的系数是－2，次数是 3。

（二）多项式
几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式
的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

比如，多项式 2x²＋ 3x 1 中，有三项，分别是 2x²、3x 和－1，其
中－1 是常数项，这个多项式的次数是 2。

三、整式的运算
（一）整式的加减
整式的加减其实就是合并同类项。

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如，5x²y 和－3x²y 是同类项，可以合并为 2x²y。

在进行整式加减运算时，先去括号，如果括号前是“＋”号，把括号
和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。

然后再合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

（二）整式的乘法
1、单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只
在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如，2x·3y ＝ 6xy。

2、单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

比如，2x(3x 1) ＝ 6x² 2x 。

3、多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如，（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6 。

（三）整式的除法
1、单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如，10x³y÷5xy ＝ 2x²。

2、多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

比如，（9x² 6x)÷3x ＝ 3x 2 。

四、整式在实际生活中的应用
整式在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用。

比如，在计算面积、体积时，我们常常会用到整式。

假设一个长方形的长为 3x 米，宽为 2y 米，那么它的面积就是 6xy 平方米。

在解决行程问题时，也会用到整式。

如果一辆汽车的速度是 v 千米/小时，行驶时间是 t 小时，那么行驶的路程就是 vt 千米。

五、整式的重要性
整式是代数学习的基础，它为我们进一步学习方程、函数等知识打下了坚实的基础。

通过学习整式，我们能够更好地理解数学中的数量关系，提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，整式在物理学、工程学等领域也有着重要的应用，帮助我们解决各种实际问题。

总之，掌握整式的相关知识对于我们的学习和未来的发展都具有重要的意义。