高中数学素材：集合关系及集合运算中的错解分析

集合关系及集合运算中的错解分析
在理解集合关系及集合运算时要注意：首先，元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合间是包含或不包含的关系，两者不解混淆.其次，要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，如果集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论.集合作为一种数学工具，它与数学的其他各个分支有着密切的联系，学习时要加深对它的理解.为了使同学们在集合的学习中,对集合内涵及运算把握更到位,在此我们把六类常见错误加以展示、剖析,以期有所借鉴、警示.
例1.已知集合M={y|y =x2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M ∩N=（ ）
A ．（0，1），（1，2）
B ．{（0，1），（1，2）}
C ．{y|y=1,或y=2}
D ．{y|y≥1}
错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩
⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M 、N 是数集而不是点集,
M 、N 分别表示函数y=x2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集． 正解：M={y|y=x2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．
∴M ∩N={y|y≥1}∩{y|(y ∈R)}={y|y≥1} ∴应选D ．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．
例2．已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|ax －2=0}且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x ＋2=0}={1，2}
∴B=或{}
{}21或 ∴C={0，1，2} 例 3.已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有（ ）
A ．m+n ∈A B. m+n ∈
B C.m+n ∈
C D. m+n 不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m=2a,a Z ∈,同理n=2a+1,a ∈Z, ∴m+n=4a+1,故选C
错因:是上述解法缩小了m+n 的取值范围.
正解：∵m ∈A, ∴设m=2a1,a1∈Z, 又∵n B ∈,∴n=2a2+1,a2∈ Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈ Z , ∴m+n ∈B, 故选B.
例4.已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B ，求c 的值．
错解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac2，消去b 得：a ＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=ac2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac2－ac －a=0，
∵a≠0，∴2c2－c －1=0，
即(c －1)(2c ＋1)=0，故c=1，故c=－21
．
错因：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
正解：错解的最后应当检验.经检验知：c=1时，集合B={a,a,a}，其中元素重复这与集合元
素互异性相矛盾. 故c≠1，即c=－21
.
例5．设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．
错解： ∵{}5S C A = 5S ∈∴且5A ∉
2235a a +-=∴ 2280a a +-=∴
2a =∴或4a =-
错因：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．
正解：错解的最后应当检验：
（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．
（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴．
例6.若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}
|22B x x n n ==-∈Z ，，试问集合A 、B 是否相等． 错解：222n n ≠-∵ A B ≠∴
错因：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质.
正解：事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．
{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，
{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}
|2x x ==⨯整数 换句话说{}{}
||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}
|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数 两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔=.。