高考数学 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
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【例 2】 如图所示，在四面体 ABCD 中，E、F 分别是线段 AD、BC 上的点，EADE＝BFCF＝12，
AB＝CD＝3，EF＝ 7，求 AB、CD 所成角的大小
解：如图所示，在线段 BD 上取一点 G，使GGDB＝12.连接 GF、GE、EF.
EADE ＝GBGD＝BFCF＝12，GE∥AB， 且 GE＝23AB＝2， 同理，GF∥CD，且 GF＝13CD＝1， 在△EGF 中，cos∠EGF＝222＋×12×2－17＝－12， ∴∠EGF＝120°. 由 GF∥CD，GE∥AB 可知， AB 与 CD 所成的角应是∠EGF 的补角为 60°.
(2)是异面直线．证明如下：
∵ABCDA1B1C1D1是长方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与B、C、C1、D1不共面矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
异面直线的判定方法
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后 证明平面α、β重合．
③反证法
(2)证明空间点共线问题：①一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据 公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后 证明其余点也在该直线上．
(3)证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上．
【例 3】 正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 2，底面边长为 3，E 为 SA 的中点，求异面直线 BE 和 SC 所成的角．
解：连接 AC 和 BD 交于点 O，则 O 为 AC 中点，又 E 为 SA 的中点，则 OE∥SC，则 ∠BEO(或其补角)即为异面直线 BE 和 SC 所成的角，
EO＝12SC＝ 22，BO＝12BD＝ 26，
2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( B ) (A)1 (B)3 (C)6 (D)0
解析：如图所示，可知确定3个平面．
3．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果 EF与HG交于点M，那么( A ) (A)M一定在直线AC上 (B)M一定在直线BD上 (C)M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 (D)M既不在直线AC上，也不在直线BD上
(2)解：C、D、F、E 四点共面，证明如下： 法一：由 BE 綊12AF，G 为 FA 中点知，
BE 綊 FG，
∴四边形 BEFG 为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH， ∴EF∥CH， ∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面．
法二：如图，延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M，M′，
(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直 线．(此结论可作为定理使用)．
(3)反证法：即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平 行)，结合原题中的条件，得出矛盾，否定假设．
异面直线所成的角
2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线相平交行直直线线 异面直线：不同在任何一个平面内
质疑探究：如何判断两直线是异面直线？
提示：①可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内．
②利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线” 去判断．
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0，π2]．
错源：忽略异面直线所成角的取值范围
【例题】 已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是 BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
错解：如图，取 AC 的中点 P，连结 PM、PN，则 PM∥AB 且 PM＝12AB.PN∥CD，且 PN ＝12CD.
∴∠MPN 为异面直线 AB 与 CD 所成的角， 即∠MPN＝60°， ∵PM∥AB， ∴∠PMN 是异面直线 AB 与 MN 所成的角． 又∵AB＝CD，∴PM＝PN. ∴△PMN 是等边三角形， ∴∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 错解分析：空间几何体的直观图与平面图形有差异，无法通过观察来确定是锐角还是钝 角．
3．直线与平面的位置关系
4.两个平面的位置关系
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022
则 PM∥AB，且 PM＝12AB.
PN∥CD，且 PN＝12CD， 所以∠MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°， 因为 PM∥AB， 所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因 AB＝CD，所以 PM＝PN， 则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN＝120°， 则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°. 即 AB 与 MN 所成的角为 30°.
(对应学生用书第99～100页) 共点、共线、共面问题
【例 1】 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊12AD， BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
解析：由题意EF⊂平面ABC，M∈EF，故M∈平面ABC，同理M∈平面 ACD，由公理3，M必在平面ABC和平面ACD的交线AC上，故选A.
4．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为________．
解析：易证EF∥BD，BD∥B1D1， 故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角． 连接B1D1，D1C知△CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60°. 答案：60°
∵BE 綊12AF，∴B 为 MA 的中点， ∵BC 綊12AD，∴B 为 M′A 的中点， ∴M 与 M′重合，即 EF 与 CD 相交于点 M(M′)， ∴C、D、F、E 四点共面．
(1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法如下：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
cos∠AB1D1＝24＋264－18＝12， ∴∠AB1D1＝60°. 答案：60°
【例1】 (2010年湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为 A1A的中点． 求证：(1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．
证明：(1)分别连接 EF、A1B、D1C. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点， ∴EF 綊12A1B.
第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
(对应学生用书第98页)
3．理解两条异面直线所成角、直线 与平面所成角、二面角的概念． 4．能证明一些空间位置关系的简单 命题．
(对应学生用书第98～99页)
1．平面的基本性质及公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线． 公理4：(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行．
思路点拨：(1)用三角形中位线定理证之 (2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内． 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交 证得四点共面．
(1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊12AD. 又 BC 綊12AD，
∴GH 綊 BC，
∴四边形 BCHG 为平行四边形．
18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/1/162022/1/16
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5.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补．
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是( D ) (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)异面或相交 解析：因为a∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.
备14
典例研习
15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
考点演练
16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022
又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
∴四边形 A1D1CB 为平行四边形， ∴A1B∥CD1，从而 EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面， ∴E、F、D1、C 四点共面．
(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交，设 D1F∩CE＝P， ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D， ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈CE 且 CE⊂平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点， 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD， ∴P∈AD， ∴CE、D1F、DA 三线共点．
异面直线的判定
【例2】 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 解：(1)不是异面直线．理由：
连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
(对应学生用书第280页) 【选题明细表】
知识点、方法 平面基本性质的应用
题号 3、4、7、9
两直线位置关系的判定
1、2、8、10
异面直线所成的角
5、6、8、9、10
1
3
△SAB
中，cos
A＝2SAAB＝
2＝ 2
6 4
＝AB2＋AE2－BE2， 2AB·AE
∴BE＝ 2.
△BEO 中，cos ∠BEO＝12， ∴∠BEO＝60°.
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图 中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线； ②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角．
变式探究31：如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB ＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角的大小为________．
解析：取 A1C1 的中点 D1，连接 B1D1，AD1，易证 B1D1∥BD.故∠AB1D1 就是异面直线 AB1 与 BD 所成的角或所成角的补角，设 AB＝2 2，则 AA1＝4，AB1＝2 6，B1D1＝ 6，AD1 ＝3 2，在△AB1D1 中，由余弦定理得
AB＝CD＝3，EF＝ 7，求 AB、CD 所成角的大小
解：如图所示，在线段 BD 上取一点 G，使GGDB＝12.连接 GF、GE、EF.
EADE ＝GBGD＝BFCF＝12，GE∥AB， 且 GE＝23AB＝2， 同理，GF∥CD，且 GF＝13CD＝1， 在△EGF 中，cos∠EGF＝222＋×12×2－17＝－12， ∴∠EGF＝120°. 由 GF∥CD，GE∥AB 可知， AB 与 CD 所成的角应是∠EGF 的补角为 60°.
(2)是异面直线．证明如下：
∵ABCDA1B1C1D1是长方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与B、C、C1、D1不共面矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
异面直线的判定方法
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后 证明平面α、β重合．
③反证法
(2)证明空间点共线问题：①一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据 公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后 证明其余点也在该直线上．
(3)证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上．
【例 3】 正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 2，底面边长为 3，E 为 SA 的中点，求异面直线 BE 和 SC 所成的角．
解：连接 AC 和 BD 交于点 O，则 O 为 AC 中点，又 E 为 SA 的中点，则 OE∥SC，则 ∠BEO(或其补角)即为异面直线 BE 和 SC 所成的角，
EO＝12SC＝ 22，BO＝12BD＝ 26，
2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( B ) (A)1 (B)3 (C)6 (D)0
解析：如图所示，可知确定3个平面．
3．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果 EF与HG交于点M，那么( A ) (A)M一定在直线AC上 (B)M一定在直线BD上 (C)M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 (D)M既不在直线AC上，也不在直线BD上
(2)解：C、D、F、E 四点共面，证明如下： 法一：由 BE 綊12AF，G 为 FA 中点知，
BE 綊 FG，
∴四边形 BEFG 为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH， ∴EF∥CH， ∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面．
法二：如图，延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M，M′，
(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直 线．(此结论可作为定理使用)．
(3)反证法：即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平 行)，结合原题中的条件，得出矛盾，否定假设．
异面直线所成的角
2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线相平交行直直线线 异面直线：不同在任何一个平面内
质疑探究：如何判断两直线是异面直线？
提示：①可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内．
②利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线” 去判断．
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0，π2]．
错源：忽略异面直线所成角的取值范围
【例题】 已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是 BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
错解：如图，取 AC 的中点 P，连结 PM、PN，则 PM∥AB 且 PM＝12AB.PN∥CD，且 PN ＝12CD.
∴∠MPN 为异面直线 AB 与 CD 所成的角， 即∠MPN＝60°， ∵PM∥AB， ∴∠PMN 是异面直线 AB 与 MN 所成的角． 又∵AB＝CD，∴PM＝PN. ∴△PMN 是等边三角形， ∴∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 错解分析：空间几何体的直观图与平面图形有差异，无法通过观察来确定是锐角还是钝 角．
3．直线与平面的位置关系
4.两个平面的位置关系
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022
则 PM∥AB，且 PM＝12AB.
PN∥CD，且 PN＝12CD， 所以∠MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°， 因为 PM∥AB， 所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因 AB＝CD，所以 PM＝PN， 则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN＝120°， 则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°. 即 AB 与 MN 所成的角为 30°.
(对应学生用书第99～100页) 共点、共线、共面问题
【例 1】 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊12AD， BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
解析：由题意EF⊂平面ABC，M∈EF，故M∈平面ABC，同理M∈平面 ACD，由公理3，M必在平面ABC和平面ACD的交线AC上，故选A.
4．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为________．
解析：易证EF∥BD，BD∥B1D1， 故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角． 连接B1D1，D1C知△CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60°. 答案：60°
∵BE 綊12AF，∴B 为 MA 的中点， ∵BC 綊12AD，∴B 为 M′A 的中点， ∴M 与 M′重合，即 EF 与 CD 相交于点 M(M′)， ∴C、D、F、E 四点共面．
(1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法如下：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
cos∠AB1D1＝24＋264－18＝12， ∴∠AB1D1＝60°. 答案：60°
【例1】 (2010年湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为 A1A的中点． 求证：(1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．
证明：(1)分别连接 EF、A1B、D1C. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点， ∴EF 綊12A1B.
第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
(对应学生用书第98页)
3．理解两条异面直线所成角、直线 与平面所成角、二面角的概念． 4．能证明一些空间位置关系的简单 命题．
(对应学生用书第98～99页)
1．平面的基本性质及公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线． 公理4：(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行．
思路点拨：(1)用三角形中位线定理证之 (2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内． 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交 证得四点共面．
(1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊12AD. 又 BC 綊12AD，
∴GH 綊 BC，
∴四边形 BCHG 为平行四边形．
18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
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5.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补．
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是( D ) (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)异面或相交 解析：因为a∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.
备14
典例研习
15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
考点演练
16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022
又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
∴四边形 A1D1CB 为平行四边形， ∴A1B∥CD1，从而 EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面， ∴E、F、D1、C 四点共面．
(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交，设 D1F∩CE＝P， ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D， ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈CE 且 CE⊂平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点， 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD， ∴P∈AD， ∴CE、D1F、DA 三线共点．
异面直线的判定
【例2】 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 解：(1)不是异面直线．理由：
连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
(对应学生用书第280页) 【选题明细表】
知识点、方法 平面基本性质的应用
题号 3、4、7、9
两直线位置关系的判定
1、2、8、10
异面直线所成的角
5、6、8、9、10
1
3
△SAB
中，cos
A＝2SAAB＝
2＝ 2
6 4
＝AB2＋AE2－BE2， 2AB·AE
∴BE＝ 2.
△BEO 中，cos ∠BEO＝12， ∴∠BEO＝60°.
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图 中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线； ②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角．
变式探究31：如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB ＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角的大小为________．
解析：取 A1C1 的中点 D1，连接 B1D1，AD1，易证 B1D1∥BD.故∠AB1D1 就是异面直线 AB1 与 BD 所成的角或所成角的补角，设 AB＝2 2，则 AA1＝4，AB1＝2 6，B1D1＝ 6，AD1 ＝3 2，在△AB1D1 中，由余弦定理得