学高二数学第一学期基础精练(90)

数学基础知识复习
高二数学基础精练 （90）
1、若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为_______ ； 2. 在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则
()AB AC AD +⋅的值为 ；
3．若2
2
2cos n xdx π
π
-
=⋅
⎰，则n x )1(-的展开式中2
x 项系数为___________;
4．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22
121a a +=，那么11a a +证明如下：构造函数()()()()22
2
1212221f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对
一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以△≤0，从而得
()2
1212480,a a a a +-≤+≤所以根据上述证明方法，若n 个正实数满足22
2121n a a a ++
+=，你能得到的结论为_______.
5.（本小题满分12分）已知向量(,),(,),0m a c b n a c b a m n =+=--⋅=且，其中,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.
（1）求角C 的大小，并用A 表示B ； （2）求sin sin A B +的取值范围.
6．(本小题满分12分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球 得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3 个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．
(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．
7．（本小题满分14分）已知等腰直角三角形ABC 的直角边长为2，如图，沿其中位线DE 将平面ADE 折起，使平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，设CD 、BE 、
AE 、AD 的中点分别为M 、N 、P 、Q .
（1）求证：M 、N 、P 、Q 四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角. 。

1
数学参考答案
1、a＝1；
2、 4；
3、6；
4、
12n
a a a
+++≤
5、解：（1）由0
m n⋅=得222
()()()0
a c a c
b b a a b
c ab
+-+-=⇒+-=
由余弦定理得
2221
cos
222
a b c ab
C
ab ab
+-
===
0π
C
<<
π
3
C
∴= ,
2
3
A B
π
∴+=
2
3
A B
π
∴=-
（2）
π
3
C=
2π
3
A B
∴+=
2π2π2π
sin sin sin sin()sin sin cos cos sin
333
A B A A A A A
∴+=+-=+-
31
sin cos)
22
A A A A
=+=+
π
)
6
A
=+
2π
3
A
<<
ππ5π
666
A
∴<+<
1π
sin()1
26
A
∴<+≤
π
)
6
A
<+≤
sin sin
A B
<+≤sin sin
2
A B
⎛
∴+
⎝
的取值范围是
6、解：(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．
3
5
3
9
5
(3)
42
C
P X
C
===；
21
54
3
9
20
(4)
42
C C
P X
C
===；
A
D E
C B
A
D
E
B
Q
A
D
E
B
M
N
P
R C
B
A
12543915(5)42C C P X C ===； 3439
2
(6)42C P X C ===． 故，所求X 的分布列为
(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为：
E (X )＝6
4
91()21
i i P X i =⋅==
∑． 7、解：(1)由条件有PQ 为ADE ∆的中位线，MN 为梯形BCDE 的中位线
∴PQ ∥DE ，MN ∥DE ∴PQ ∥MN ∴ M 、N 、P 、Q 四点共面．
（2）证明:由等腰直角三角形ABC 有AD DE ⊥，CD ⊥DE ，DE ∥BC 又D CD AD =⋂，⊥∴DE 面ACD ， 又DE ∥BC
∴BC ⊥平面ACD ，BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD 。

(3) 解法一： 平面ADE ⊥平面BCDE ,交线为DE, AD ⊥DE ∴AD ⊥面BCDE ∴AD 、DC 、DE 两两互相垂直 可以以D 为原点建立如图空间直角坐标系， 由条件得AD=1，DC=1，BC=2， 则C （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， B （1，2，0） ()()1,1,0,1,0,1BE AC =--=- 设异面直线BE 与MQ 所成的角为θ，∵MQ ∥BC,
∴|,cos |cos ><=AC BE θ 21
|
== 2
0π
θ<
< ，3
π
θ=
∴
∴异面直线BE 与MQ 所成的角大小为3π
．
解法二：由条件知AD=1，DC=1，BC=2， 延长ED 到R ，使DR ＝ED ，连结RC 则ER ＝BC ，ER ∥BC ，故BCRE 为平行四边形 ∴RC ∥EB ，又AC ∥QM
∴ACR ∠为异面直线BE 与QM 所成的角θ（或θ的补角） DA=DC=DR ，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得， ∆∴ACR 为正三角形
∴ACR ∠＝
3π ∴异面直线BE 与QM 所成的角大小3
π
解法三：由条件得AD=1，DC=1，BC=2，取BC 中点K ，再取CK 中点H 连结MH ，则在梯形BCDE 中可得MH ∥BE 、（或θ的补角）
B
D
且MH ＝
21BE ，CH ＝41BC ＝12，又CM ＝1
2
，∆∴Rt CHM 中，可得MH
又∆Rt MDQ 中可得QM
＝
2， 又∆Rt DK 中可得DK
＝2
， ∆Rt QDH 中可得QH
2
==
|2||cos |cos 2
22MH QM QH MH QM QMH ⨯-+=∠=∴θ
12= 2
0π
θ<
< ，3
π
θ=
∴ ∴异面直线BE 与MQ 所成的角大小为
3
π。