4.2 三角形中与比例线段有关的几个定理-塞瓦定理及应用--沈文选

4.2 塞瓦定理及应用
塞瓦定理设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，若///CC BB AA 、、
三直线平行或相交于一点，则
.1...//
///
/=B
C AC A B CB C A BA (4.2-1) 注 若采用有向线段，上式右边仍为1（下面均同）．
证明 若/
/
/
CC BB AA 、、交于一点P ，如图4-7(a)，则过A 作BC 的平行线，分别交/
/
CC BB 、 的延长线于D 、E ．从而，有
BC EA
B C AC AD BC A B CB ==////, 又由 ,///EA C A PA P A AD BA ==有⋅=EA AD C A BA // 故 .1....//////==
BC
EA
AD BC EA AD B C AC A B CB C A BA 若///CC BB AA ⋅、、三线平行，如图4-7(b)，可类似证明（略）．
塞瓦定理的逆定理 设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点（其中在延
长线上的点或者没有，或者有两个），若
,1..//
////=B
C AC A B CB C A BA (4.2-2) 则///CC BB AA 、、三直线相交于一点或互相平行．
证明 若/
AA 与/
BB 交于点P ，设CP 与AB 的交点为1C ，则由塞瓦定理，有.1..1
1
////=B C AC A B CB C A BA 又已知有,1..//////=B C AC A B CB C A BA 由此得
=B C AC 11,//
B
C AC 即,/1AB AC AB AC =亦即,/1AC AC =故1C 与/C 重合．从而、
、//BB AA /
CC 三直线相交于同一点．
若,///
/
BB AA 则⋅=⋅///BA
CB A B CB 代人已知条件式，有,///CB C
A B C AC =由此知//.//AA CC 故.///////CC BB AA
塞瓦定理也是导出线段比例式的重要途径之一，塞瓦定理的逆定理是证明三直线共点的理论依据之
一．
例1 如图4-8，设M 为△ABC 内一点，BM 交AC 于E ，CM 交AB 于F.若EF∥BC，求证：AM 通过BC 的中点．
证明 设直线AM 交BC 于D ．对△ABC 及点M ，由塞瓦定理，得
.1..=FB
AF
EA CE DC
BD
因EF∥BC，则
,⋅=EC AE
FB AF 代入上式，得 ,1=DC
BD
故BD ＝DC ，
所以，D 为BC 中点，即AM 通过BC 的中点．
例2 如图4-9，若通过△ABC 各顶点的直线AD 、BE 、CF 共点P ，并且它们在边BC 、CA 、AB 所在直线
上的截点D 、E 、F 关于所在边中点的对称点分别为,/
/
/
F E D 、、则直线/
//CF BE AD 、、直线共点，
证明 对△ABC 及点P ，由塞瓦定理，有
.1..=FB
AF
EA CE DC BD 由题设，有,,,,,/
/
/
/
/
BF AF C E EA AE CE B D DC CD BD ==⋅===./
A F F
B =故
,1..1
..../
/////==∝=FB
AF EA CE DC BD AF FB CE EA BD B
F AF A E CE C
D BD
由塞瓦定理的逆定理，知/
/
/
CF BE AD 、、三线共点，
例3 如图4-10，BE 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG 、CG 交BC 、AB 于D 、F ，过D 作DN∥CG 交BG 于N.若△DGL、△FGM 均为正三角形．求证：△LMN 为正三角形， 证明 连NF ，对△ABC 及点G ，由塞瓦定理，
有
.1..=EA DC FB 而AE ＝ CE ，则 ⋅=BD DC
FB AF
又DN∥CG,有 ,BN
NG
BD CD =
于是 ,BN
NG
FB AF = 即有FN∥AD.
则由□ DGFN 有
.,,FN DG GF DN GFN GDN ==⋅∠=∠
又 ,60
=∠=∠GFM GDL
则 .NFM LDN ∠=∠
注意到 ,,NF DG DL FM GF DN ====
则 ,NFM LDN ∆≅∆
故 .,NMF DNL MN LN ∠=∠=
于是 )(MNF DNL DNF MNTL ∠+∠-∠=∠
)180()180(NFM NFG ∠--∠-=
NFG NFM ∠-∠=
.60 =∠=MFG
所以△LMN 为正三角形，
例4 如图4-11，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD，在CD 上取一点E ，连BE 交AC 于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：∠GAC＝∠EAC. （1999年全国高中联赛题） 证明 连结BD 交AC 于H ，对△BCD 及点F ，由塞瓦定理，有
.1..=EC
DE
HD BH GB CG 又AH 平分∠BAD ，有
⋅=AD AB
HD BH 于是 .1..=EC
DE
AD AB GB CG
过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，作AD 的平行线交AE 的延长线于J ．则有
⋅==CJ AD
EC DE AB CI GB CG , 所以 ,1..=CJ
AD
AD AB AB CI 从而CI ＝CJ ．
又CI // AB, CJ//AD, 则有
,180180J C
A DAC BAC ACI o ∠=∠-=∠-=∠ 于是 △ACI≌△ACJ， 故∠IAC＝∠JAC.
因此 ∠GAC=∠EAC.
例5 AD ．BE 、CF 为△ABC 的内角平分线，D 、E 、F 在边上．如果,90
=∠EDF 求∠BAC 的所有可能值． （第16届美国奥林匹克题）
解 设三条内角平分线交于点I ，对△ABC 及点I ，由塞瓦定理，有
.1..=EA
CE DC BD FB AF 所以 ⋅=AD
CD
CE AE AD BD FB AF ..
分别在△ADF 、△BDF 、△CDE 、△ADE
中运用正弦定理，并令
,,βα=∠=∠ADF EDA ,,δγ=∠=∠BDF CDE 则有
,sin sin AFD AD AF ∠=β
,sin sin BFD BD BF ∠=δ
,sin sin CED CD CE ∠=γ
⋅∠=AED
AD AE sin sin α
于是
,sin sin .sin sin .γ
αδβ===AD CD CE AE AD BD BF AF
注意到,90,90,90 =+=+=∠δγβα有EDF 故
,sin sin cos cos γ
α
γα=即 tan γ = tan α. 从而 α＝γ， 即DE 平分∠ADC.又点E 在∠DBA 的平分线上，因此
点E 到直线BA 的距离=点E 到直线BC 的距离
=点E 到直线AD 的距离，
于是点E 在∠BAD 的外角∠DAT 的平分线上．即有
.BAD CAD TAC ∠=∠=∠ 而 ,180o
BAD CAD TAC =∠+∠+∠ 所以 .120
=∠BAC
习 题 4.2
1 锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、
F ．求证：∠EDH =∠FDH.（第26届加拿大竞赛题，同§3.1中例4）
2 在△ABC 的边BC 上任取一点D ，设∠ADB 和∠ADC 的角平分线分别交AB 、AC 于F 和E 求证：AD 、BE 、
CF 交于一点．
3 试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点，
4 △ABC 中，D 是BC 上的点，
,3
1
=DC BD E 是AC 中点，AD 、BE 交于点O ，CO 交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积之比．
5 设△ABC 是等边三角形，P 是其内部一点，延长线段AP 、BP 、CP 依次交三边BC 、CA 、AB 于111C B A 、、
三点．证明：≥⋅⋅111111A C C B B A .111A C C B B A ⋅⋅ （第37届IMO 预选题）
答案。