[广州]2001年广东省广州市中考数学试题及答案

2001年广州市数学中考试卷
第I 卷
一、选择题（本题共有15小题，第1—1l 题每小题2分，第12～15题每小题3分，共34分）
1．9600000这个数，用科学记数法表示为（ ）．
A ．9.6×105
B ．9.6×106
C ．9.6×107
D ．9.6×108
2．下列运算中，正确的是（ ）．
A ．x 3＋2x 3＝3x 6
B ．（x 3）3＝x 6
C ．x 3·x 3＝x 9
D ．x ÷x 3＝x －2
3．化简2
53
+，甲、乙两同学的解法如下：
甲：
25)25)(25()25(3253-=-+-=
+；
乙：252
5)
25)(25(2
53-=+-+=+．
对于他们的解法，正确的判断是（ ）． A ．甲、乙的解法都正确
B ．甲的解法正确，乙的解法不正确
C ．乙的解法正确，甲的解法不正确
D ．甲、乙的解法都不正确
4．已知x 1、x 2是方程2x 2
＋3x 一4＝0的两个根，则（ ）．
A ．2
321-=+x x ，x 1x 2＝2 B ．23
21=
+x x ，x 1x 2＝－2 c ．2
321-=+x x ，x 1x 2＝－2 D ．23
21=+x x ，x 1x 2＝2
5．若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，－n ）在（ ）．
A ．第一象限 D ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知2是关于x 的方程
2
3x 2
－2a ＝0的一个解，则2a －l 的值是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7．方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=-++=-+0320
12y x x y x 的解是（ ）．
A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨
⎧==21012211y x y x ，；，
B ．⎩⎨
⎧-=-=⎩⎨
⎧==21012211y x y x ，
；，
C ．⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧=-=21012211y x y x ，；
， D ．⎩⎨
⎧=-=⎩⎨⎧=-=21012
211y x y x ，
；
，
8．一次函数y ＝2x －3的图象不经过（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．从一组数据中取出a 个x 1，b 个x 2，c 个x 3，组成一个样本，那么这个样本的平均数
是（ ）．
A ．3
321x x x ++ B ．3
c
b a ++ C ．3
321cx bx ax ++ D ．c
b a cx bx ax ++++321
10．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分蘖数后，计算出样本方差分别为 S 甲2＝11，S 乙2
＝3．4，由此可估计（ ）．
A ．甲种水稻分蘖比乙种水稻分蘖整齐
B ．乙种水稻分蘖比甲种水稻分蘖整齐
C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
11．如果α是锐角，且54
cos =
α，那么sin α的值是（ ）． A ．259 B ．54 C ．53 D ．25
16
12．把2x 2
＋4x －1化为a （x ＋h ）2
＋k （其中a ，h ，k 是常数）的形式是（ ）． A ．2（x ＋1）2－3 B ．2（x ＋1）2
－2
C ．2（x ＋2）2－5
D ．2（x ＋2）2
－9 13．把方程
2
1
)3(2
222=
+-+y x y x 化为整式方程，得（ ）． A ．x 2
＋3y 2＋6x －9＝0 B ．x 2
＋3y 2
－6x －9＝0
C ．x 2＋y 2－2x －3＝0
D ．x 2＋y 2
＋2x －3＝0 14．已知点A 和点B （图1），以点A 和点B 为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（ ）．
图1
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
15．若两个半径不等的圆相外切，则它们的一条外公切线的长（ ）． A ．大于这两圆半径的和 B ．等于这两圆半径的和 C ．小于这两圆半径的和
D ．与这两圆半径之和的大小关系不确定
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共有7小题，第16—20题每小题2分，第2l 、22题每小题3分，共16分）
16．求值：︒⨯
︒45cos 2
2
60sin 21＝ ． 17．函数32+--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ．
18．在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，若AE ＝4，EB ＝7，CE ＝28，则ED ＝ ．
19．已知：如图2，⊙O 的半径为l ，C 为⊙O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与⊙O 相交于A 、B 两点，则图中阴影部分的面积是 ．
图2
20．D是半径为5cm的⊙O内的一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB ＝cm．
21．抛物线y＝x2＋6x＋5的顶点坐标是．
22．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是．
三、（本题满分8分）
23．已知：点A（图3）．求作：
（1）⊙O，使它经过点A；
（2）直角三角形ABC，使它内接于⊙O，并且∠B＝90°．
（说明；要求写出作法，只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形．）
图3
四、（本题共2小题，每小题9分，共18分）
24．如图4，燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中燕尾角∠B＝55°，外口宽AD＝190mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到lmm）．（已知cot55°＝0.7002）
图4 25．一艘船由A至B顺水航行每小时走v1千米，由B至A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？
五、（本题满分12分）
26．已知点A（1，2）和B（—2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．
六、（本题满分12分）
27．如图5，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．
（1）求∠ACM的度数；
（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC，为什么？
图5
七、（本题共有2小题，每小题11分，共22分）
28．如图6，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC 上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大（要求说明理由）？
图6 29．已知一次函数y ＝－x ＋6和反比例函数x
k
y
（k ≠0）． （1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？ （2）设（1）中的两个公共点分别为A 、B ，∠AOB 是锐角还是钝角？ 八、（本题满分14分） 30．（1）已知：如图7，过B 、C 两点的圆与△ABC 的边AB 、AC 分别相交于点D 和点E ，且DE ＝
21
BC ．求证：S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝3
1．
图7 （2）在△ABC 的外部取一点P （直线BC 上的点除外），分别连结PB 、PC ，∠BPC 与∠BAC 的大小关系怎样？（不要求证明）
九、（本题满分14分）
31．在车站开始检票时，有a （a ＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需l0分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
2001年广州市数学中考试卷答案
第I 卷
一、 1．B 2．D 3．A
（题3要求对所给两种解法加以判别，关键是要熟悉各种基本知识与基本技能，乙的解法比较灵活，把3分解成5—2，再分解因式，体现了思维的灵活性．判断时不要误以为这与分式基本性质有关。

）
4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D
（题9的正确结果选D ，即平均数=所有数据的个数所有数据的和
，其他三个选择支涉及的都是与平
均数计算有关的易错点，注意体会。

）
10．B 11．C 12．A 13．D 14．C
（题14中，连结AB ，则AB 可能是直角边，也可能是斜边，当AB 是直角边时，以A 为直角顶点，可作两个Rt △；同样分析以B 为直角顶点时，可作两个等腰Rt △，以AB 为斜边时，又可作两个等腰Rt △，故共可作6个。

）
15．C
第Ⅱ卷
二、（16～20题，每题满分2分；2l ～22题，每题满分3分，共16分）
16．
83 17．x ≥2 18．1 19．2
3
32-π 20．8（题20中，过⊙O 内一点D 的最长弦是直径，最短弦是与过D 点直径垂直的弦。

） 21．（－3，－4） 22．192° 三、 23．
（1）作法：①取—点O （不同于点A ）；②以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求． （2）作法：①作⊙O 的直径AC ；②在⊙O 上取一点B ，分别连结AB 和BC ．则△ABC 为所求．
四、 24．解：连结AD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ．在Rt △ABE 中，∠B ＝55°，AE ＝70mm ．BE ＝AE ·cotB ＝70×0.7002≈49.0。

BC ＝2BE ＋AD ≈98＋190＝288（mm ）．
25．解：设A 、B 间的航程为S 千米．依题意，得
2
12
12
122v v v v v S
v S S +=
+．答：此船在A 、B
间往返一次平均每小时走
2
12
12v v v v +千米．
（题25是代数式的应用题，A 、B 间距离可设为S 千米，也可设成单位1，易错成把两个已知速度相加除以2就得平均速度。

）
五、
26．本题答案不唯—，下列解法仅供评分比照．
解法一：抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A （1，2），B （一2，5）两点．得⎩⎨
⎧+-=++=②
．①，
c b a c b a 2452②一①得3a －3b ＝3，a －b ＝1．
设a ＝2，则b ＝1．代入①得c ＝－1，得y ＝2x 2
＋x －1；
设a ＝1，则b ＝0．代入①得y ＝x 2
＋1．
解法二：抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A （1，2），B （－2，5）和C （0，0）三点，依题
意得⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=．，，
c 0c b 2a 45c b a 2解得⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
===，
，，02123c b a 得x x y 21232+=．
用同样的方法可得另一个二次函数。

（题26是开放型考题，可以设出函数解析式y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0），把A ，B 坐标代入求出过这两点的函数解析式的通式，再任取点的坐标代入，也可直接再取一个点的坐标与A ，B 坐标结合求出解析式。

）
六、 27．解：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．又∵∠A ＝28°，∴∠B ＝62°．又MN 是切线，C 为切点，∴∠ACM ＝62°．
（2）在MN 上存在符合条件的点D ．证明如下：
过点A 作AD ⊥MN ，垂足为D ．
在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∵MN 切半圆ACB 于点C ，∴∠B ＝∠ACD ∴△ABC ∽△ACD ．∴
CD
BC AC AB ．∴AB ·CD ＝AC ·BC ．另证：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．在MN 上截取CD ＝CE ．∵S Rt △ABC ＝21AC ·BC ＝2
1
AB ·CE ．∴AB ·CE ＝AC ·BC ．∴AB ·CD ＝AC ·BC ．
（题27（2）的结论与比例线段有关，可联想构造Rt △；又AC 、BC 是Rt △ABC 中两直
角边乘积，也可从面积法角度探寻解题途径。

）
七、
28．解：作△ABC 的角平分线AD ，作DE ⊥AC ，垂足为E ．以点D 为圆心，以DE 为半径在△ABC 内作半圆，交BC 于点F 和点G ，则依样截出的半圆形板块的面积最大．
现证明如下：
在BC 上任取一点P （不同于点D ），作PQ ⊥AC ，PR ⊥AB ，垂足分别为Q 、R ，连结AP ，则PQ ＝APsin ∠PAQ ，PR ＝APsin ∠RAP ．∵∠PAQ ＜∠RAP ，∴sin ∠PAQ ＜sin ∠RAP ． ∴PQ ＜PR ．
因此，以点P 为圆心，在△ABC 内所作面积最大的半圆应是以PQ 为半径的半圆． PQ ＝PCsinC ，DE ＝DCsinC ． ∵PC ＜DC ，∴PQ ＜DE ．∴以点D 为圆心，以DE 为半径的半圆的面积大于以点P 为圆心，以PQ 为半径的半圆的面积．
另证：以BC 为轴，把△ABC 翻折（如图），则在四边形ABA'C 中，BC 平分∠ABA'，BC 平分∠ACA'，所以BC 上任一点到BA 和BA'的距离相等，到CA 和CA'的距离相等．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．则点D 到AB 和AC 的距离相等．所以点D 到AB 、BA'、A'C 、CA 的距离相等．因此，以点D 为圆心，DE 为半径作⊙D 即为四边形ABA'C 的内切圆．⊙D 即为四边形ABA'C 中所作的一切圆中面积最大者．所以，以点D 为圆心，以OE 为半径在△ABC 内作半圆必与AB 、AC 相切，且为面积最大者．
（题28考查几何最值，其证法采取任取一点作图，与规范作图的面积进行比较，再推出合理性，思路不易为人理解，这种思路教材中出现过，要注意体会。

）
29．解：（1）依题意，得⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+-=②．①，)0(6k x k
y x y 由①，②消去y ，得x 2
－6x ＋k ＝0．③ △＝36—4k ，由36—4k ＞0得k ＜9．∴当k ＜9且k ≠0时，方程③有两个不相等的非零的
实数解．∴由方程①和②组成的方程组有两个解．故当k ＜9且k ≠0时，一次函数y ＝－x ＋6和反比例函数y ＝
x
k
（k ≠0）的图象有两个公共点． （2）∵y ＝－x ＋6的图象经过第一、二、四象限，∴当0＜k ＜9时，双曲线两分支分别在第一、三象限，由此知这两个函数图象的两个公共点A 、B 在第一象限，此时∠AOB 是锐角．
当k ＜0时，方程③两根异号，双曲线两分支分别在第二、四象限，由此知这两个函数图象的公共点A 、B 分别在第二、四象限。

此时∠AOB 是钝角．
（题29（1）综合考查了函数与方程知识，两图象有两个交点即指两个点的坐标同时满足两个函数解析式，构造出方程组，应用方程知识求解。

本题中k 是待定系数，要分k ＞0，k ＜0两种情形讨论。

＝
八、 30．解：（1）∵∠ADE 、∠AED 是圆内接四边形DBCE 的外角，∴∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝
∠B ．∴△ADE ∽△ACB ．∴41)21(BC DE S S 222ACB ADE ===∆∆．∴S △ADE ∶S 四边形DBEC ＝3
1．
（2）作△ABC 的外接圆，取点A 关于BC 的对称点F ，作△FBC 的外接圆．
①当点P 取在弓形BAC 内（△ABC 外）或弓形BFC 内时，∠BPC ＞∠BAC ； ②当点P 取在弧BAC 或弧BFC （点A 、B 、C 除外）上时，∠BPC ＝∠BAC ；
③当点P 取在弓形BAC 与弓形BFC 所围成的图形外（除直线BC 上的点）时，∠BPC ＜∠BAC ．
（题30（2）中P 的位置不惟一确定，要分类讨论。

） 九、
31．解：设检票开始后每分钟新增加的旅客为x 人，检票的速度为每个检票口每分钟检y 人，5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口．
依题意，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧⋅≤+⋅=+=+③．②，①，5y n 5x a 10y 210x a 30y 30x a ②×3一①，得2a ＝30y ，得15
a
y =．④ 把④代入①，得30
a
x =
．⑤ 把④、⑤代入③，得36a n a a ⋅≤+． ∵a ＞0，∴n ≥6
21
＝3.5，n 取最小的整数，∴n
＝4．
答：至少需同时开放4个检票口．
（题31考查方程，不等式组的综合应用，考题文字较长，条件较杂，并有一个未知字
母a参与计算，这增加了解题难度；应注意检票过程中，候车的人数不是固定不变，有增有减；本题涉及数量关系复杂，有等量的，也有不等量的，应注意把握；解题时依题意应列出方程、不等式的混合组，计算时须掌握方法与技巧。

）。