2020-2021学年甘肃省武威六中高一(上)第二次段考数学试卷(解析版)

2020-2021学年甘肃省武威六中高一（上）第二次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（）
A．f（x）＝3x+2B．f（x）＝3x+1C．f（x）＝3x﹣1D．f（x）＝3x+4 3．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]
4．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝﹣2，实数a＝（）A．2B．3C．4D．5
5．已知幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，则k+α等于（）A．B．1C．D．2
6．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．f（x）＝B．f（x）＝x2﹣2x+1
C．f（x）＝D．f（x）＝lgx
7．用分数指数幂的形式表示•a为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
8．函数f（x）＝（）的单调减区间为（）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．R
9．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
10．设函数，则不等式f（x）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．B．
C．D．（﹣∞，1）
11．已知函数f（x）＝2x+log2x，g（x）＝2﹣x+log2x，h（x）＝2x•log2x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
12．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有
，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a ＝．
14．设log a2＝m，log a3＝n，则log a12的值为（用m，n表示）．
15．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b ＝．
16．已知f（x）＝是R上的增函数，那么a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在（﹣1，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．
19．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）＝log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
21．已知不等式9x﹣4•3x+3≤0的解集为A，函数f（x）＝4﹣x﹣3•2﹣x﹣1+1，x∈A．（1）求集合A；
（2）求函数f（x）的值域．
22．已知奇函数f（x）＝是定义域为R的减函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【分析】根据补集、交集的定义即可求出．
解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，
∴∁R B＝{x|x＜1}，
∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
2．已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（）
A．f（x）＝3x+2B．f（x）＝3x+1C．f（x）＝3x﹣1D．f（x）＝3x+4【分析】换元法整体代入求解．
解：设t＝x+1，
∵函数f（x+1）＝3x+2＝3（x+1）﹣1
∴函数f（t）＝3t﹣1，
即函数f（x）＝3x﹣1
故选：C．
3．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]
【分析】根据f（x）的定义域即可得出，函数g（x）需满足条件：，解
出x的范围即可．
解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]；
∴g（x）需满足：；
解得0＜x＜1；
∴g（x）的定义域是（0，1）．
故选：B．
4．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝﹣2，实数a＝（）A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题意，先求出f（0）的值，进而可得f（f（0））＝4﹣2a＝﹣2，解可得a 的值，即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝2，
则f（f（0））＝4﹣2a＝﹣2，
解可得a＝3，
故选：B．
5．已知幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，则k+α等于（）A．B．1C．D．2
【分析】由幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，列方程组求出k＝1，α＝﹣，由此能求出k+α的值．
解：∵幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，
∴，
解得k＝1，α＝﹣，
∴k+α＝．
故选：A．
6．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．f（x）＝B．f（x）＝x2﹣2x+1
C．f（x）＝D．f（x）＝lgx
【分析】分别求出各选项的单调区间，再进行判断．
解：函数f（x）＝，f（x）＝在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．
函数f（x）＝x²﹣2x+1在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，不符合题意．
函数f（x）＝lgx在（0，+∞）上递增，符合题意．
故选：D．
7．用分数指数幂的形式表示•a为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】有意义，可得﹣a≥0，解得a≤0．再利用指数幂的运算性质即可得出．解：∵有意义，可得﹣a≥0，解得a≤0．
∴•a＝﹣．
故选：B．
8．函数f（x）＝（）的单调减区间为（）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．R
【分析】令t＝x2﹣2x+3，求出该二次函数的增区间，由复合函数的单调性即可求得原函数的减区间．
解：令t＝x2﹣2x+3，该函数的对称轴方程为x＝1，其图象是开口向上的抛物线，
当x∈（1，+∞）时，函数单调递增，
而外层函数y＝是定义域内的减函数，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）＝（）的单调减区间为（1，+∞）．故选：C．
9．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
【分析】根据log34＞log33＝1，，结合f（x）的奇偶和单调性
即可判断．
解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴，
∵log34＞log33＝1，，
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴＞＞，
故选：C．
10．设函数，则不等式f（x）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．B．
C．D．（﹣∞，1）
【分析】利用函数的奇偶性以及函数的单调性转化不等式求解即可．
解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，
∵f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝lnx﹣单调递增，
由f（x）＞f（2x﹣1），
可得，解得＜x＜1且x≠，
故选：B．
11．已知函数f（x）＝2x+log2x，g（x）＝2﹣x+log2x，h（x）＝2x•log2x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
解：f（x）＝2x+log2x＝0，可得log2x＝﹣2x，
g（x）＝2﹣x+log2x＝0，可得log2x＝﹣2﹣x，
h（x）＝2x log2x﹣1＝0，可得log2x＝2﹣x，
∵函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为a，b，c，
作出函数y＝log2x，y＝﹣2x，y＝﹣2﹣x，y＝2﹣x的图象如图，
由图可知：a＜b＜c．
故选：D．
12．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有
，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）＝0得出f （x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．
解：∵在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）＝0，
∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，
又f（x）是偶函数，
∴当x＜﹣2时，f（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，
∴xf（x）＜0的解为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a＝0，或．
【分析】化简A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，由B⊆A，分类讨论B集合即可．
解：A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，
①当B＝∅时，ax﹣1＝0无解，即a＝0，
②当B＝{3}时，ax﹣1＝0的解为3，即a＝，
③当B＝{5}时，ax﹣1＝0的解为5，即a＝，
故答案为：0，或．
14．设log a2＝m，log a3＝n，则log a12的值为2m+n（用m，n表示）．【分析】由log a2＝m，log a3＝n，12＝2×2×3，结合对数运算求解即可．
解：∵log a2＝m，log a3＝n，12＝2×2×3，
∴log a12＝log a（2×2×3）
＝log a2+log a2+log a3
＝2m+n，
故答案为：2m+n．
15．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b＝．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．解：当a＞1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是增函数，
所以，
解得b＝﹣1，＝0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是减函数，
所以，
解得b＝﹣2，a＝，
综上a+b＝，
故答案为：
16．已知f（x）＝是R上的增函数，那么a的取值范围是．
【分析】利用题意逐段考查函数的单调性，然后考查函数在x＝1处的性质即可求得最终结果．
解：指数函数当x≥1时为增函数，则：a＞1，①
一次函数（2﹣a）x+1在x＜1时为增函数，则：2﹣a＞0，解得：a＜2，②
且当x＝1时应有：（2﹣a）×1+1≤a1，解得：，③
综合①②③可得实数a的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】由指数与对数的运算性质化简即可．
解：（1）
＝﹣1﹣+
＝﹣1＝；
（2）
＝2lg5+lg4+lg5（lg5+2lg2）+（lg2）2
＝2（lg5+lg2）+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．
18．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在（﹣1，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．
【分析】（1）由分母≠0求出函数的定义域；
（2）判定函数的单调性并用定义证明出来；
（3）由函数f（x）的单调性求出f（x）在[3，5]上的最值．
解：（1）∵函数y＝，x+1≠0；
∴x≠﹣1，
∴函数的定义域是{x|x≠﹣1}；
（2）∵y＝f（x）＝＝2﹣，
∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（2﹣）﹣（2﹣）
＝﹣
＝，
∵﹣1＜x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；
（3）∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[3，5]上单调递增，
它的最大值是f（5）＝＝，
最小值是f（3）＝＝．
19．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．解：（1）设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），于是x＜0时f（x）＝x2+2x，
所以f（x）＝．
（2）
（3）要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，
结合f（x）的图象知，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．
20．已知函数f（x）＝log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
【分析】（1）只要使1﹣x＞0，x+3＞0同时成立即可；
（2）先把f（x）化为f（x）＝，再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f（x）的最小值，根据最小值为﹣4，列方程解出即可．
解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．
（2）f（x）＝log a（1﹣x）+log a（x+3）＝log a（1﹣x）（x+3）＝＝
，
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴≥log a4，即f（x）min＝log a4；
由log a4＝﹣4，得a﹣4＝4，
∴a＝＝．
21．已知不等式9x﹣4•3x+3≤0的解集为A，函数f（x）＝4﹣x﹣3•2﹣x﹣1+1，x∈A．（1）求集合A；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）解一元二次不等式求得1≤3x≤3，可得x的范围．
（2）令t＝2﹣x，可得t的范围，问题转化为求函数在在上的值域，再利用二次函数的性质，得出结论．
解：（1）由题，9x﹣4•3x+3≤0，（3x）2﹣4•3x+3≤0，即（3x﹣1）•（3x﹣3）≤0，解得1≤3x≤3，故有0≤x≤1，
故集合A＝[0，1]．
（2），
令t＝2﹣x，则f（x）可化为．
∵x∈A＝[0，1]，∴，
函数的对称轴为：，
函数在区间单调递减，在区间单调递增；
故g（t）在上的最大值为，
g（t）在上的最小值为，
故函数f（x）的值域为．
22．已知奇函数f（x）＝是定义域为R的减函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f（0）＝0，定义域为R，f（﹣1）＝﹣f（1）即可求得a，b的值．
（Ⅱ）将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）0变形为：f（t2﹣2t）+＜﹣f（2t2﹣k），因为f（x）是奇函数，﹣f（2t2﹣k）＝﹣f（k﹣2t2），在利用f（x）减函数解不等式即可．
解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，
即；
∴；
又∵定义域为R，则有f（﹣1）＝﹣f（1），
可得：；
经检验：f（x）是奇函数，满足题意．
所以a，b的值分别为2，1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f （2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因f（x）为减函数，f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），得：t2﹣2t＞k ﹣2t2
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，开口向上，
从而判别式．
所以k的取值范围是（﹣∞，﹣）．。