高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.1~02《空间向量及其运算》(2)(人教A版选修2-1)

课题：空间向量及其运算（2）
课时：02 课型：新授课 教学目标：
1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
平行向量。

读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r
r ．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r
r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．
推论：如果l 为经过已知点，且平行于已知向量a r
的直线，那么对任一点O ，点在直线l 上的
充要条件是存在实数，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r
叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ②
当1
2t =时，点是线段AB 的中点，此时1()2
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于或在内，那么我们说向量a r
平行于
平面，记作：//a αr ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：
a
l
P
B
A O a r
a r
α
如果两个向量,a b r r 不共线，p r
与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r
．
推论：空间一点位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使
MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①
上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：
例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555
OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，
试判断：点与,,A B C 是否一定共面？
解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，
所以，点与,,A B C 共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的
充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？
解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r
，∴点与点,,A B C 共面．
例2．已知
ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量
,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u r uuu r ，
（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．
解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r
，
E
∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，
()()
()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE
EF EH
=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r
u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；
（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，
∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．
五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线，如果21AB e e =+u u u r u r u u r ，2128AC e e =+u u u r u r u u r ，2133AD e e =-u u u r u r u u r
，
求证：,,,A B C D 共面．
2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++r r r r r r r r
，0a ≠r r ，若//a b r r ，求实数,x y 的值。

3．如图，,,,E F G H 分别为正方体1AC 的棱11111111,,,A B A D B C D C 的中点， 求证：（1）,,,E F D B 四点共面；（2）平面AEF //平面BDHG ．
4．已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB BC CD DA 的中点，
（1）用向量法证明：,,,E F G H 四点共面；
（2）用向量法证明：//BD 平面EFGH ．
D 1
C 1
B 1
A 1
H G F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
F
E
G
H。