2021年北京重点校初二(上)期中数学试卷汇编：三角形全等的判定2

2021北京重点校初二（上）期中数学汇编
三角形全等的判定2
一、单选题
1．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连
t t
接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
2．（2021·北京八中八年级期中）下列命题中正确的有（）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·北京八十中八年级期中）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S是（）
A．50 B．62 C．65 D．68
4．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列判断中错误的是( )
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
6．（2021·北京八中八年级期中）如图，用尺规作图作∠AOC =∠AOB 的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧
B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧
C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧
D ．以点
E 为圆心，E
F 长为半径画弧
二、填空题
7．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上.若想知道两点A ，B 的距离，只需要测量出线段______________即可．
8．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，已知AC 与BD 交于点E ，且AB=CD ，请你再添加一个边或角的条件使△ABC ≌△DCB ，添加的条件是：________．（添加一个即可）
9．（2021·北京八中八年级期中）如图，点，，，在的边上，，且A C D E Rt MON 90MON ∠=︒AE AB ⊥，且，于点，于点，，，，，AE AB =BC CD ⊥BC CD =BH ON ⊥H DF ON ⊥F 12OM =6OE =3BH =4DF =，图中阴影部分的面积为__．
8FN =
10．（2021·北京八十中八年级期中）如图，，欲使，只需添加一个条件__________，若AC DB =ABC DCB △≌△，，可利用__________判定方法证明．
AC DB =90A D ∠=∠=︒ABC DCB △≌△
11．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作，AOB ∠OM ON =M N OA 的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_______．（请从“、、、OB P OP OMP ONP ≅△△SSS SAS AAS 、”中选择一个填入）．
ASA HL
12．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，BE 与CD 交于点A ，且．请添加一个条件使得
B E ∠=∠，这个条件是：_________（写出一个即可）
ABC AED ≌△△
三、解答题
13．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴ABC 90ABC ∠=︒AB BC =A B 上．
（1）如图①，若点的横坐标为-3，点的坐标为______；
C B （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与x BAC ∠BC x M C C
D x D CD AM 的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，与OB BF =90OBF ∠=︒CF y P B y BPC △AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
14．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠BAC =∠DAM ，AB =AN ，AD =AM ，求证：∠B =∠ANM ．
15．（2021·北京八中八年级期中）如图，在中，已知，过点作于点，过点作ABC ∆45ABC ∠= C CD AB ⊥D B 于点，连接，过点作，交于点.
BM AC ⊥M MD D DN MD ⊥BM N
（1）求证：≌；
DBN ∆DCM ∆（2）设与相交于点，若点是的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结CD BM E E CD NE ME CM 论.
16．（2021·北京·101中学八年级期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知：∠O ，
求作：一个角，使它等于∠O.
作法：如图：
①在∠O 的两边上分别任取一点A ，B ；
②以点A 为圆心，OA 为半径画弧；以点B 为
圆心，OB 为半径画弧；两弧交于点C ；
③连结AC,BC ，所以∠C 即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结AB ，
∵OA=AC ，OB= ， ，
∴≌（ ）（填推理依据）．
OAB CAB △∴∠C=∠O ．
17．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．
18．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.
19．（2021·北京八中八年级期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：
∠BEF=∠CEF．
20．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 为垂足．求证：DE＝DF．
21．（2021·北京八中八年级期中）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：
老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？
同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：
“勾尺”的直角顶点为，“宽臂”的宽度，勾尺的一边为，且满足，，三点共线（所以P PQ QR ==MN M N Q ．
)PQ MN ⊥小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法．
方法一：
简要步骤：
1．如图4，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线；
OP BC MN EF 2．如图5，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线，
OP BA MN GH 3．如图6，直线与交于点，作射线；射线即为的平分线．
EF GH D BD BD ABC ∠（1）证明过程：
过点分别作于，于，
D DS BC ⊥S DT BA ⊥T 勾尺宽臂的宽度相同，
，
DS DT ∴=平分 ．
BD ∴(ABC ∠)方法二：
简要步骤：
1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点落在边上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上；P BC MN B R BA 2．标记此时点所在位置，作射线．射线是的平分线．证明过程： ；
Q BQ BQ ABC ∠（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．
22．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，∠B =∠DEF ，∠ACB =∠F ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．
23．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在中，D 是边的中点，于点E ，于点ABC BC DE AB ⊥DF AC ⊥F ，且．
BE CF =
求证：平分．
AD BAC ∠24．（2021·北京八中八年级期中）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠C ＝∠E ．
25．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．
26．（2021·北京·101中学八年级期中）已知：如图，AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．
参考答案
1．C
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．
故选C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．
2．B
【详解】
根据三角形全等的判定定理SSS ，SAS ，AS A ，AAS ，HL ，可得出正确结论．
解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
④等底等高的两个三角形不一定全等，错误．
故选B ．
3．A
【分析】
由AE ⊥AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥AG ，可以得到∠EAF=∠ABG ，而AE=AB ，∠EFA=∠AGB ，由此可以证明△EFA ≌△AGB ，所以AF=BG ，AG=EF ；同理证得△BGC ≌△CHD ，GC=DH ，CH=BG ．故可求出FH 的长，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】
∵如图，AE ⊥AB 且AE=AB,EF ⊥FH,BG ⊥FH ⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90º，∠EAF+∠BAG=90º，
∠ABG+∠BAG=90º⇒∠EAF=∠ABG ，
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG ⇒△EFA ≌△AGB ，
∴AF=BG ，AG=EF.
同理证得△BGC ≌△CHD 得GC=DH ，CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S= (6+4)×16−3×4−6×3=50.
1
2
故选A.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.
4．B
【详解】
试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选B．
考点：全等三角形的判定．
5．C
【详解】
试题分析：对于三角形全等的判定，已知两边和一角的情况，这个角必须是两边的夹角.
考点：三角形全等的判定.
6．D
【详解】
解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
7．DE
【分析】
由对顶角相等，两个直角相等及BD=CD，可以判断两个三角形全等；所以AB=DE.
【详解】
根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB=DE
即只需要测量出线段DE即可.
故答案为：DE
【点睛】
解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．
8．AC=DB
【分析】
本题已知条件是一条公共边BC=BC 和AB=CD ，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS 、SAS ，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．
【详解】
添加AC=DB 或∠ABC=∠DCB 或△AOB ≌△DOC 后可分别根据SAS 、SSS 、SSS 判定△ABC ≌△DCB ．
故答案为：AC=DB 或∠ABC=∠DCB 或△AOB ≌△DOC ．（添加一个即可）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．50
【分析】
易证△AEO ≌△BAH ，△BCH ≌△CDF 即可求得AO ＝BH ，AH ＝EO ，CH ＝DF ，BH ＝CF ，即可求得梯形DEOF 的面积和△AEO ，△ABH ，△CBH ，△CDF 的面积，即可解题．
【详解】
解：∵∠EAO +∠BAH ＝90°，∠EAO +∠AEO ＝90°，
∴∠BAH ＝∠AEO ，
在△AEO 和△BAH 中，
，
90AEO BAH O BHA AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△AEO ≌△BAH （AAS ），
同理△BCH ≌△CDF （AAS ），
∴AO ＝BH ＝3，AH ＝EO ＝6，CH ＝DF ＝4，BH ＝CF ＝3，
∴梯形DEOF 的面积（EO +DF ）•FO ＝80， 12=
S △AEO ＝S △ABH AO •OE ＝9， 12=
S △BCH ＝S △CDF CH •BH ＝6， 12
=∴图中实线所围成的图形的面积S ＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO ≌△BAH ，△BCH ≌△CDF 是解题的关键．
10． AB ＝DC （答案不唯一） HL
【分析】
添加一个条件AB ＝DC 可以利用SSS 定理证明△ABC ≌△DCB
；由已知条件利用HL 可证明△ABC ≌△DCB ．
【详解】
解：添加一个条件AB ＝DC ；
在△ABC ≌△DCB 中，
，
AB DC AC BD BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DCB （SSS ）；
∵，，
AC DB =90A D ∠=∠=︒又BC=CB
故可用HL 判定△ABC ≌△DCB ．
故答案为： AB ＝DC （答案不唯一）；HL ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．．
HL 【分析】
根据题意得到和均为直角三角形，再由判断三角形全等，即可得出答案．
MPO △PNO HL 【详解】
由题意可得
PM OA PN OB ⊥⊥，∴和均为直角三角形
MPO △PNO 在和中
RT MPO RT NPO OM ON OP OP =⎧⎨=⎩
∴
()RT MPO RT NPO HL ≌故答案为：．
HL 【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
12．（答案不唯一）
AB AE =【分析】
根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定．
ABC AED ≌△△【详解】
，
B E ∠=∠BA
C EA
D ∠=∠当时，依据ASA 可得，，
∴AB AE =ABC AED ≌△△故答案为：（答案不唯一）
AB AE =【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
13．（1）；（2）；理由见详解；（3）与的面积比不变；比值为 (0,3)12
CD AM =
BPC △AOB 12【分析】 （1）过点C 作轴于点，通过证明可得，进而即可求得点B 的坐标； CH y ⊥H BCH ABO △≌△CH BO =（2）延长AB 与CD 交于点N ，先通过证明可得，再通过证明可得
ABM CBN △≌△AM CN =ADN ADC △≌△，进而即可得证； 12
CD ND CN ==12CD AM =（3）过点C 作轴于点，先通过证明可得，再通过证明可CQ y ⊥Q AOB BQC △≌△AOB BQC S S =△△PQC PBF △≌△得，进而得到，即可得证，则． 12PQ PB BQ ==12
BPC BQC S S =△△12
BPC AOB S S =△△1:2
BPC AOB S S =△△【详解】
（1）如下图，过点C 作轴于点
CH y ⊥H ∵轴
CH y ⊥∴
90CBH BCH ∠+∠=︒∵
90ABC ∠=︒∴
90CBH ABO ∠+∠=︒∴
BCH ABO ∠=∠在与中
BCH ABO
BHC AOB
BCH ABO
AB BC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴
()BCH ABO AAS △≌△∴
CH BO =∵点的横坐标为
C 3-
∴
3CH BO ==∴点的坐标为；
B (0,3)
（2）
1
2CD AM =证明：如下图，延长AB 与CD 交于点N
∵
90ABC ∠=︒∴
90CBN ∠=︒∵轴
CD x ⊥∴
90CDA ∠=︒∵ DMC BMA ∠=∠
∴
BCN BAM ∠=∠在与中
ABM CBN
CBN ABM
AB CB
BCN BAM
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴
()ABM CBN ASA △≌△∴
AM CN =∵轴平分
x BAC ∠∴
NAD CAD ∠=∠又∵轴
CD x ⊥∴
90ADC ADN ∠=∠=︒在与中
ADN △ADC
NAD CAD
AD AD
ADN ADC
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴
()ADN ADC ASA △≌△∴
1
2CD ND CN ==∴；
1
2CD AM
=
（3）与的面积比不变；比值为 BPC △AOB 1
2
如下图，过点C 作轴于点
CQ y ⊥Q ∵轴
CQ y ⊥∴，
90CQB ∠=︒90QCB CBQ ∠+∠=︒∵
OA OB ⊥∴
90BOA ∠=︒∴
BOA CQB ∠=∠∵
90ABC ∠=︒∴
90CBQ ABO ∠+∠=︒∴
BCQ ABO ∠=∠在与
中
AOB BQC
CQB BOA BCQ ABO AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
()AOB BQC AAS △≌△∴，
AOB BQC S S =△△OB QC =∵
OB BF =∴
QC BF =又∵轴，
CQ y ⊥90OBF ∠=︒∴
FBP CQP ∠=∠在与中
PQC △PBF △ CPQ FPB FBP CQP BF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
()PQC PBF AAS △≌△∴ 12PQ PB BQ ==
∵ 111222BPC S PB QC BQ QC =
⋅=⋅⋅△ 12
BQC S BQ QC =⋅△∴ 12
BPC BQC S S =△△∴ 12BPC AOB S S =
△△∴． 1:2
BPC AOB S S =△
△
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的综合应用，熟练掌握相关三角形全等的构造及全等的证明是解决本题的关键． 14．证明见解析.
【分析】
要证明∠B =∠ANM ，只要证明△BAD ≌△NAM 即可，根据∠BAC =∠DAM ，可以得到∠BAD =∠NAM ，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD ≌△NAM ，本题得以解决．
【详解】
证明：∵∠BAC =∠DAM ，∠BAC =∠BAD +∠DAC ，∠DAM =∠DAC +∠NAM ，
∴∠BAD =∠NAM ．
在△BAD 和△NAM 中，∵AB =AN ，∠BAD =∠NAM ，AD =AM ，
∴△BAD ≌△NAM （SAS ），
∴∠B =∠ANM ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.
15．（1）见解析；（2），见解析.
NE ME CM -=【分析】
（1）根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明．
（2）结论：NE−ME ＝CM ，作DF ⊥MN 于点F ，由（1）△DBN ≌△DCM 可得DM ＝DN ，证明△DEF ≌△CEM ，推出，由此即可证明．
EF EM =DF CM =【详解】
解：（1）证明：∵，，
45ABC ∠= CD AB ⊥∴，
45ABC DCB ∠=∠= ∴
BD DC =∵，
90BDC MDN ∠=∠= ∴，
BDN CDM ∠=∠∵，，
CD AB ⊥BM AC ⊥∴
90ABM A ACD ∠=-∠=∠ 在和中， DBN ∆DCM ∆BDN CDM BD DC
DBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴≌；
DBN ∆DCM ∆（2）结论：
NE ME CM -=证明：由（1）≌可得．
DBN ∆DCM ∆DM DN =作于点，又，
DF MN ⊥F ND MD ⊥∴，
DF FN =在和中，，
DEF ∆CEM ∆DEF CEM DFE CME DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴≌，
DEF ∆CEM ∆∴，，
EF EM =DF CM =∴.
CM DF FN NE FE NE ME ===-=
-
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
16．（1）见解析；（2）BC，AB= AB，边边边
【分析】
（1）根据描述利用尺规作出图形；
（2）根据作图可得AO=AC，BO=BC,AB=AB，再利用SSS判定△AOB≌△ACB即可得出∠O=∠C．
【详解】
解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）BC，AB= AB，边边边
【点睛】
此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等的判定方法．17．见解析
【分析】
要直接证明∠DEA＝∠C，没有全等三角形也没有等腰三角形，不好证明，所以添加辅助线，过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，可证△ADF≌△ABC，从而利用全等三角形的性质DF＝BC，从而有DE＝DF，进而通过等量代换可得∠C＝∠DEA
【详解】
证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，
∴∠C ＝∠F ．
∵点A 是BD 的中点，
∴AD ＝AB ．
在△ADF 和△ABC 中，
C F DAF BAC A
D AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△ABC （AAS ）
∴DF ＝BC ，
∵DE ＝BC ，
∴DE ＝DF ．
∴∠F ＝∠DEA ．
又∵∠C ＝∠F ，
∴∠C ＝∠DEA ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
18．见解析.
【分析】
根据平行线性质得∠EDA =∠DAC ，由ED=AE ，得∠EAD =∠EDA ．证△ADB ≌△ADC （SAS ）可得.
【详解】
证明：∵ED ∥AC ，
∴∠EDA =∠DAC ，
∵ED=AE ，
∴∠EAD =∠EDA ．
∴∠EAD =∠DAC ．
在△ADB 和△ADC 中，
,,,AB AC DAB DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△ADC （SAS ）．
∴BD=CD ．
【点睛】
考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.
19．详见解析.
【分析】
可先利用“AAS”证明△AEB ≌△DEC ，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC ，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF =∠CEF.
【详解】
证明：在△AEB 和△DEC 中，
∠A =∠D ，
∠AEB =∠DEC ，
AB =DC .
∴△AEB ≌△DEC （AAS ）
∴EB =EC .
∵F 是BC 中点，
∴∠BEF =∠CEF .
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键. 20．见解析．
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，运用AAS 证明△DEB ≌△DFC 即可．
【详解】
∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，
∴∠B =∠C ，DB =DC ，
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠BED =∠CFD =90°，
∴△DEB ≌△DFC （AAS ），
∴DE =DF ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 21．方法一：（1）到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；方法二：证明见解析；（2）见解析
【分析】
（1）方法一，利用角平分线的判定定理证明即可．
方法二：利用线段的垂直平分线的性质证明BR ＝BP ，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC ，BA 上截取BM ＝BN ＝OP ，BH ＝BG ＝PR ，连接NH ，GM 交于点O ，作射线BO ，则BO 平分∠ABC ．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】
解：（1）方法一：如图6中，过点分别作于，于，
D DS BC ⊥S DT BA ⊥T
勾尺宽臂的宽度相同，
，
DS DT ∴=平分（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）． BD ∴ABC ∠故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 方法二：如图8中，
，，
BQ PR ⊥ PQ QR =，
BR BP ∴=，
QBR QBP ∴∠=∠平分．
BQ ∴ABC ∠（2）如图9中，利用“勾尺”分别在，上截取，，连接，交于点，作射BC BA BM BN OP ==BH BG PR ==NH GM O 线，则平分．
BO BO ABC ∠
，，，
GB BH = GBM HBN ∠=∠BM BN =，
()GBM HBN SAS ∴∆≅∆，
BMG BNH ∴∠=∠，，
BN BM = BG BH =，
NG MH ∴=，
NOG MOH ∠=∠ ，
()NOG MOH AAS ∴∆≅∆
，
OG OH ∴=，
BO BO = ，
()BOG BOH SSS ∴∆≅∆，
GBO HBO ∴∠=∠平分．
BO ∴ABC ∠【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
22．答案见详解．
【分析】
由BE=CF 可得BC=EF ，然后再利用SAS 证明△ABC ≌△DEF 即可．
【详解】
证明：
∵BE=CF ，
∴BE+EC=FC+EC ，
即BC=EF ．
在△ABC 和△DEF 中，
B DEF B
C EF
ACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．见解析
【分析】
由于D 是BC 的中点，那么BD ＝CD ，而BE ＝CF ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，利用HL 易证Rt △BDE ≌Rt △CDF ，可得DE ＝DF ，利用角平分线的判定定理可知点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．
【详解】
证明：∵，D 是的中点，
,DE AB DF AC ⊥⊥BC ∴．
90,DEB DFC BD CD ∠=∠=︒=在和中， Rt BDE Rt CDF ,,BD CD BE CF =⎧⎨=⎩
∴，
()Rt BDE Rt CDF HL ≌∴．
DE DF =又∵，
,DE AB DF AC ⊥
⊥
∴平分．
AD BAC ∠【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt △BDE ≌Rt △CDF ． 24．见解析
【分析】
根据∠BAE ∠DAC ，可推出∠BAC ∠DAE ，解题已知可证△BAC ≌△DAE 即可得出答案．
==【详解】
∵∠BAE ∠DAC ，
=∴∠BAE ＋∠EAC ∠DAC ＋∠EAC ，
=即：∠BAC ∠DAE ．
=在△BAC 和△DAE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAC ≌△DAE ．
∴∠C ∠E ．
=【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAC ≌△DAE 是解题关键．
25．相等，理由见解析
【分析】
连接AD ，证明ACD ≌△ABD ，可得，进而根据角平分线的性质即可证明DE 和DF 相等．
DAE DAF ∠=∠【详解】
连接AD ，如图，
在△ACD 和△ABD 中，
，
AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴ACD ≌△ABD （SSS ），
DAB DAC ∴∠=∠即
DAE DAF ∠=∠∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，
∴DE ＝DF ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
26．见解析
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAB =∠DAB ，推出△ACB ≌△ADB ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵AB 平分∠CAD ，
∴∠CAB=∠DAB ．
在△ABC 和△ABD 中，
∵， AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△ABD ，
∴∠C=∠D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。