人教版高中数学课件-导数及其应用
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45°dx＋ 20dx 90
＝ 83500(x＋20)dx＋ 825900(x＋20)dx＋9102020dx
＝
8312x2＋20x| 500＋
8212x2＋20x|
9500＋20x|
120 90
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求變速直線運動的路程、位移
有一動點P沿x軸運動，在時間t的速度為v(t)＝8t －2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：
(1)P從原點出發，當t＝3時，離開原點的路程； (2)當t＝5時，P點的位置； (3)從t＝0到t＝5時，點P經過的路程； (4)P從原點出發，經過時間t後又返回原點時的t值． [思路點撥] 首先要確定的是所要求的是路程還是位移， 然後用相應的方法求解．
解析： 在AB段運動時F在運動方向上的分力F1＝Fcos 30°.在BC段運動時F在運動方向上的分力F2＝Fcos 45°.
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由变力做功公式得
W＝∫50014x＋5cos
30°dx＋590014x＋5cos
120
2
3
s＝0(2－t)dt－2(2－t)dt
＝2t－12t2| 20－2t－12t2| 32＝52.
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
合作探究 課堂互動
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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＝4t2－23t3| 40－4t2－23t3| 54＝26.
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第一章 导数及其应用
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高效测评 知能提升
t
(4)依题意0(8t－2t2)dt＝0， 即4t2－23t3＝0， 解得t＝0或t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t＝6是所求的值．
20，90≤x≤120. 方向成 30°角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
[思路點撥] 物體由A到B，再由B到C，再由C到D運動， 物體運動的方向與力F的方向一致嗎？若不一致，那在其運動 方向上的力如何表示？
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
從空中自由下落的物體，在第一秒時刻恰經過電視塔頂， 在第二秒時刻物體落地，已知自由落體的運動速度為v＝gt(g為 常數)，
[問題] 你能求出電視塔的高度嗎？
[提示] 能．塔高 h＝21gtd选修2-2
第一章 导数及其应用
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變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體所經過的路程s，等於其速度函數v
b
＝v(t)(v(t)≥0)在時間區間[a，b]上的定積分，即s＝__a_v_(t_)_d_t .
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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1．一辆汽车以 v＝3t2 的速度行驶，这辆汽车从 t＝0 到 t ＝3 这段时间内所行驶的路程为( )
A．13
B．1
C．3
D．27
3
解析： s＝03t2dt＝t3| 30＝27，故选D.
答案： D
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20
所以BD＝ (24－1.2t)dt 0
＝(24t－0.6t2)| 200＝240(m)．
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(3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)． 从C到D的时间t3＝6 27420＝280(s)， 所以从A站到B站的时间为20＋280＋20＝320(s)．
答案： 0.18
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4．一動點P從原點出發，沿x軸運動，其速度v(t)＝2－t(速 度的正方向與x軸的正方向一致)，求t＝3時，動點P離開原點的 路程．
解析： 由v(t)＝2－t≥0
得0≤t≤2，
∴t＝3时，点P离开原点的路程为
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第一章 导数及其应用
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高效测评 知能提升
用定積分求變速直線運動的路程： (1)把物理問題轉化為數學問題是關鍵：積分變數是時間， 被積函數是速度對時間的函數，積分區間是運動的起止時間 點． (2)路程是位移的絕對值之和，在求路程時，要注意先判斷 速度在時間段內是否恒正，否則，要分段求解． 特別提醒：忽視速度的正負判斷，是導致此類問題出錯的 主要原因．
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
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2．設有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸 長到30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成 正比，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功．
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(1)A，C間的距離； (2)B，D間的距離； (3)電車從A站到B站所需的時間．
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解析： (1)设从A到C经过t1 s， 由1.2t1＝24得t1＝20，
20
所以AC＝0 1.2tdt＝0.6t2| 200＝240(m)． (2)设从D到B经过t2 s， 由24－1.2t2＝0得t2＝20，
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(1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程 s1＝30(8t－2t2)dt＝4t2－23t3| 30＝18.
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2．做直線運動的質點在任意位置x處，所受的力F(x)＝1＋
ex，則質點沿著與F(x)相同的方向，從點x1＝0處運動到點x2＝1 處，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e
B．e
C．
D．e－1
1
1
解析：
W＝0F(x)dx＝0(1＋ex)dx＝(x＋ex)|
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變力作功
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如图所示，一物体沿斜面在 拉力 F 的作用下由 A 经 B，C 运动到 D， 其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动
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變力作功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着 与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做
b
的功W＝__a_F_(_x_)d_x___.
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高效测评 知能提升
利用定積分求變速直線運動的路程與求變力所做功的區別 利用定積分求變速直線運動的路程，其積分變數是時間， 被積函數是速度對時間的函數； 利用定積分求變力所做的功，其積分變數是位移，被積函 數是力對位移的函數．
1 0
＝(1＋e)－1＝e.
答案： B
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3．如果用1 N的力能拉長彈簧1 cm，那麼為了將彈簧拉長 6 cm需作功________J.
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
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5
(2)当t＝5时，点P离开原点的位移s2＝0(8t－2t2)dt
＝4t2－23t3| 50＝530.
∴点P在x轴正方向上距原点530处．
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
4
5
s3＝0(8t－2t2)dt－4(8t－2t2)dt
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解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
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1．通過具體實例瞭解定積分在物理中的應用． 2．會求變速直線運動的路程、位移和變力做功問題．
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【正解】 当v(t)＝8t－2t2≥0时，即0≤t≤4时，P点向x 轴正方向运动；
当t>4时，P点向x轴负方向运动． 因此，所求路程应为： 40(8t－2t2)dt＋458t－2t2dt ＝4t2－23t3| 40－4t2－23t3| 54＝26.
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1．A，B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車 開出t s後到達途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到C點速度達 24 m/s，從C點到B站前的D點以等速行駛，從D點開始刹車， 速度為(24－1.2t) m/s，在B站恰好停車．試求：
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◎有一動點P，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2.求t＝0到t ＝5時，點P經過的路程．
【错解】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程为： S＝50(8t－2t2)dt＝4t2－23t3| 50＝530. 【錯因】 t＝0到t＝5時，點P經過的路程與點P的位置不 同．當t>4時，點P向x軸負方向運動．
＝ 83500(x＋20)dx＋ 825900(x＋20)dx＋9102020dx
＝
8312x2＋20x| 500＋
8212x2＋20x|
9500＋20x|
120 90
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
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用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求變速直線運動的路程、位移
有一動點P沿x軸運動，在時間t的速度為v(t)＝8t －2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：
(1)P從原點出發，當t＝3時，離開原點的路程； (2)當t＝5時，P點的位置； (3)從t＝0到t＝5時，點P經過的路程； (4)P從原點出發，經過時間t後又返回原點時的t值． [思路點撥] 首先要確定的是所要求的是路程還是位移， 然後用相應的方法求解．
解析： 在AB段運動時F在運動方向上的分力F1＝Fcos 30°.在BC段運動時F在運動方向上的分力F2＝Fcos 45°.
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由变力做功公式得
W＝∫50014x＋5cos
30°dx＋590014x＋5cos
120
2
3
s＝0(2－t)dt－2(2－t)dt
＝2t－12t2| 20－2t－12t2| 32＝52.
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＝4t2－23t3| 40－4t2－23t3| 54＝26.
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t
(4)依题意0(8t－2t2)dt＝0， 即4t2－23t3＝0， 解得t＝0或t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t＝6是所求的值．
20，90≤x≤120. 方向成 30°角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
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[思路點撥] 物體由A到B，再由B到C，再由C到D運動， 物體運動的方向與力F的方向一致嗎？若不一致，那在其運動 方向上的力如何表示？
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從空中自由下落的物體，在第一秒時刻恰經過電視塔頂， 在第二秒時刻物體落地，已知自由落體的運動速度為v＝gt(g為 常數)，
[問題] 你能求出電視塔的高度嗎？
[提示] 能．塔高 h＝21gtd选修2-2
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變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體所經過的路程s，等於其速度函數v
b
＝v(t)(v(t)≥0)在時間區間[a，b]上的定積分，即s＝__a_v_(t_)_d_t .
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1．一辆汽车以 v＝3t2 的速度行驶，这辆汽车从 t＝0 到 t ＝3 这段时间内所行驶的路程为( )
A．13
B．1
C．3
D．27
3
解析： s＝03t2dt＝t3| 30＝27，故选D.
答案： D
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20
所以BD＝ (24－1.2t)dt 0
＝(24t－0.6t2)| 200＝240(m)．
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(3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)． 从C到D的时间t3＝6 27420＝280(s)， 所以从A站到B站的时间为20＋280＋20＝320(s)．
答案： 0.18
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4．一動點P從原點出發，沿x軸運動，其速度v(t)＝2－t(速 度的正方向與x軸的正方向一致)，求t＝3時，動點P離開原點的 路程．
解析： 由v(t)＝2－t≥0
得0≤t≤2，
∴t＝3时，点P离开原点的路程为
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用定積分求變速直線運動的路程： (1)把物理問題轉化為數學問題是關鍵：積分變數是時間， 被積函數是速度對時間的函數，積分區間是運動的起止時間 點． (2)路程是位移的絕對值之和，在求路程時，要注意先判斷 速度在時間段內是否恒正，否則，要分段求解． 特別提醒：忽視速度的正負判斷，是導致此類問題出錯的 主要原因．
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
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2．設有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸 長到30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成 正比，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功．
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(1)A，C間的距離； (2)B，D間的距離； (3)電車從A站到B站所需的時間．
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解析： (1)设从A到C经过t1 s， 由1.2t1＝24得t1＝20，
20
所以AC＝0 1.2tdt＝0.6t2| 200＝240(m)． (2)设从D到B经过t2 s， 由24－1.2t2＝0得t2＝20，
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(1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程 s1＝30(8t－2t2)dt＝4t2－23t3| 30＝18.
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2．做直線運動的質點在任意位置x處，所受的力F(x)＝1＋
ex，則質點沿著與F(x)相同的方向，從點x1＝0處運動到點x2＝1 處，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e
B．e
C．
D．e－1
1
1
解析：
W＝0F(x)dx＝0(1＋ex)dx＝(x＋ex)|
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如图所示，一物体沿斜面在 拉力 F 的作用下由 A 经 B，C 运动到 D， 其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动
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如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着 与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做
b
的功W＝__a_F_(_x_)d_x___.
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利用定積分求變速直線運動的路程與求變力所做功的區別 利用定積分求變速直線運動的路程，其積分變數是時間， 被積函數是速度對時間的函數； 利用定積分求變力所做的功，其積分變數是位移，被積函 數是力對位移的函數．
1 0
＝(1＋e)－1＝e.
答案： B
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3．如果用1 N的力能拉長彈簧1 cm，那麼為了將彈簧拉長 6 cm需作功________J.
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
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5
(2)当t＝5时，点P离开原点的位移s2＝0(8t－2t2)dt
＝4t2－23t3| 50＝530.
∴点P在x轴正方向上距原点530处．
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
4
5
s3＝0(8t－2t2)dt－4(8t－2t2)dt
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解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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1．通過具體實例瞭解定積分在物理中的應用． 2．會求變速直線運動的路程、位移和變力做功問題．
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第一章 导数及其应用
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【正解】 当v(t)＝8t－2t2≥0时，即0≤t≤4时，P点向x 轴正方向运动；
当t>4时，P点向x轴负方向运动． 因此，所求路程应为： 40(8t－2t2)dt＋458t－2t2dt ＝4t2－23t3| 40－4t2－23t3| 54＝26.
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第一章 导数及其应用
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1．A，B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車 開出t s後到達途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到C點速度達 24 m/s，從C點到B站前的D點以等速行駛，從D點開始刹車， 速度為(24－1.2t) m/s，在B站恰好停車．試求：
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第一章 导数及其应用
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◎有一動點P，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2.求t＝0到t ＝5時，點P經過的路程．
【错解】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程为： S＝50(8t－2t2)dt＝4t2－23t3| 50＝530. 【錯因】 t＝0到t＝5時，點P經過的路程與點P的位置不 同．當t>4時，點P向x軸負方向運動．