中考数学一轮复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(试卷部分)

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4.(2017北京(běi jīnɡ),19,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.
证明(zhèngmíng) ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠ABD=∠A, ∴AD=BD. ∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C, ∴BD=BC,∴AD=BC.
解析 如图,在△ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于D. ①若三角形是锐角三角形,则∠A=90°-36°=54°, 此时,底角=(180°-54°)÷2=63°; ②若三角形是钝角三角形,则∠BAC=36°+90°=126°, 此时,底角=(180°-126°)÷2=27°.
综上,该等腰三角形底角的度数是63°或27°. 评析 本题考查(kǎochá)等腰三角形的性质和三角形内角和定理,属容易题.
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7.(2017湖南株洲,22,8分)如图所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上, EF与BC相交于点G,连接(liánjiē)CF. 求证:△DAE≌△DCF.
证明 ∵四边形ABCD是正方形,△EDF是等腰直角三角形,∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE =DF, ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE=∠CDF,
A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
答案 D ∵AC⊥BC,M是AB的中点,∴MC= 1 AB=AM=1.2 km.故选D. 2
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4.(2018福建,13,4分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中点(zhōnɡ diǎn),则CD=
=2CE=2 a2 ,故选B.
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2.(2016湖北荆州(jīnɡ zhōu),8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂 直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A ∵DE垂直平分AB,∴DA=DB, ∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB. ∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°, ∴∠CAD=30°.
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5.(2015北京(běi jīnɡ),20,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE=∠BAD.
证明 ∵AB=AC,AD是BC边上(biān shànɡ)的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. ∵BE⊥AC, ∴∠BEC=∠ADC=90°. ∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C. ∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE= 1BD.
∵BC=3,∴CD=DE=1.
2
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3.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相(hù xiāng)垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长 为1.2 km,则M,C两点间的距离为 ( )
答案 D 依题意,可知题图中的△ABC,△AED,△BDC,△BDE,△ADB为等腰三角形,则共有5
个等腰三角形.故选D. A.2个 B.3个 C.4个
D.5个
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2.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个(yī ɡè)底角为50°,则它的顶角的度数为
向下(xiànɡ xià)翻折,使点A落在点C处.若AE3= ,则BC的长是
.
答案 3
解析 ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB= 1=8702 °,36 2
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处, ∴AE=CE,∴∠A=∠ECA=36°,∴∠CEB=72°,∴BC=CE=AE= . 3
A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm
答案 C 已知等腰三角形的两边(liǎngbiān)长分别为4 cm和8 cm,当腰长是4 cm时,三角形的三边长分 别为4 cm,4 cm,8 cm,这违背了三角形任意两边之和大于第三边的原理;当腰长是8 cm时,三角 形的三边长分别为8 cm,8 cm,4 cm,符合三角形的三边关系,此时三角形的周长是20 cm.
中考(zhōnɡ kǎo)数学 (湖南专用)
§4.3 等腰三角形与直角三角形
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五年中考
A组 2014—2018年湖南中考题组
考点(kǎo diǎn)一 等腰三角形
1.(2016湖南怀化,8,4分)等腰三角形的两边长分别(fēnbié)为4 cm和8 cm,则它的周长为 ( )
.
答案(dáàn) 30°
解析 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC. 又点D是边BC的中点,
∴∠BAD= 1 ∠BAC=30°. 2
思路分析 根据等腰三角形三线合一的性质和等边三角形三个内角(nèi jiǎo)相等的性质求解.
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5.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC中的∠A沿DE
思路分析 由折叠的性质可知AE=CE,再证明△BCE是等腰三角形即可得到(dédào)BC=CE,问题得解. 解题关键 本题考查了等腰三角形的判定和性质、折叠的性质以及三角形内角(nèi jiǎo)和定理,证明 △12BC/8E/是20等2腰1 三角形是解题的关键.
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6.(2016湖南长沙(chánɡ shā),17,3分)如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC
解析(jiě xī) 设AH=x,则AE=x+2,BH=AE=x+2. 在Rt△ABH中,AB2=AH2+BH2, 即102=x2+(x+2)2,解得x1=6,x2=-8(舍),故AH=6.
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5.(2014湖南邵阳,17,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点(zhōnɡ diǎn),DE⊥AC于点E.∠A=30°,
.
答案(dáàn) 80°
解析(jiě xī) ∵等腰三角形的两底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴顶角为80°.
3.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角
形的底角的度数为
.
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答案(dáàn) 63°或27°
故选C.
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2.(2016湖南湘西,14,4分)一个等腰三角形一边(yībiān)长为4 cm,另一边(yībiān)长为5 cm,那么这个等腰三角
形的周长是 ( )
A.13 cm
B.14 cm
C.13 cm或14 cm
D.以上都不对
答案 C 当4 cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形 的三边关系,此时(cǐ shí),等腰三角形的周长为13 cm;
∴∠ABC=∠ACB= 1 (180°-∠A)=72°. 2
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD= 1 ∠ABC=36°, 2
∵∠1是△ABD的外角,
∴∠1=∠A+∠ABD=2×36°=72°,故选C.
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4.(2018湖南湘潭,12,3分)如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点(zhōnɡ diǎn),则∠BAD=
当5 cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三边关 系,此时,等腰三角形的周长为14 cm,故选C.
思路(sīlù)分析 分4 cm为等腰三角形的腰长和5 cm为等腰三角形的腰长,先判断是否符合三角形 的三边关系,再求周长.
易错警示 此题是等腰三角形的性质题,主要考查了等腰三角形的性质.易在两个方面出错:①
忽视三角形的三边关系;②没有进行分类讨论.
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3.(2015湖南湘西,16,3分)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分(píngfēn)∠ABC,∠A=36°,则∠1的度 数为 ( )
答A.3案6° CB.6∵0°AB=CA.C72,°∠A=D36.1°0,8°
载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数
学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方
程为
.
答案(dáàn) x2+32=(10-x)2
解析(jiě xī) ∵AC=x,AC+AB=10, ∴AB=10-x. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2. 故可列方程为x2+32=(10-x)2. 12/8/2021
为
.
答案(dáàn) 75°
解析 ∵BC∥DE,∴∠FBC=∠EAB=45°, ∵∠AFC是△AEF的外角, ∴∠AFC=∠FAEHale Waihona Puke ∠E=45°+30°=75°.
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2.(2018湖南湘潭,15,3分)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作(zhùzuò)之一,在“匀股”章中记
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考点(kǎo diǎn)二 直角三角形
1.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足(chuízú)为D,点E是AB的中点,CD= DE=a,则AB的长为 ( )
A.2a
B.2 a C.3a 2
D. a 4 3
3
答案 B ∵CD⊥AB,CD=DE=a,∴CE= a,2∵在△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,∴AB
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3.(2017湖南益阳,10,3分)如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上(biān shànɡ)的中线,则CD=
.
答案(dáàn) 6.5
解析 ∵在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13, ∴AC2+BC2=52+122=132=AB2, ∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°, ∵CD是AB边上的中线,
于点E,则△BCE的周长为
.
答案(dáàn) 13
解析(jiě xī) ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=
13.
评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等.
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∴CD= 1 AB=1 ×13=6.5.
2
2
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4.(2015湖南株洲,15,3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等
的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么(nàme)AH等于
.
答案(dáàn) 6
AB=8,则DE的长度是
.
答案(dáàn) 2
解析 ∵D为AB的中点,AB=8, ∴AD=4, ∵DE⊥AC于点E,∠A=30°, ∴DE= 1 AD=2.
2
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B组 2014—2018年全国(quán ɡuó)中考题组
考点(kǎo diǎn)一 等腰三角形
1.(2015陕西,6,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截 取BE=BC,连接(liánjiē)DE,则图中等腰三角形共有 ( )
DE DF,
在△ADE和△CDF中,
ADE
CDF
,
∴12△/8A/2D02E1≌△CDF. D A D C ,
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考点(kǎo diǎn)二 直角三角形
1.(2018湖南衡阳,16,3分)将一副三角板如图放置(fàngzhì),使点A落在DE上,若BC∥DE,则∠AFC的度数