河南省开封市2019届高三数学5月第四次质量检测试题 理

开封市2019届高三5月第四次模拟考试
数 学 试 题（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22－23题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1． 已知复数z 满足iz ＝i ＋z ，则z ＝
A ．－12＋12I
B ． －12－12i
C ． 12－12i
D ． 12＋12
i
2． 集合{||1|1},{|A x N x B x y ∈-＝≤＝，则A B ∩的子集个数为
A ．2个
B ．4个
C ．8个
D ．16个
3． 下列结论正确的是
A ．命题P ：x ∀＞0，都有2x ＞0，则p ⌝：0x ∃≤0，使得20x ≤0；
B ．若命题p 和p ∨q 都是真命题，则命题q 也是真命题；
C ．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，则a b ＜的充要条件是cosA ＞cosB ；
D ．命题“若x 2＋x －2＝0，则x ＝－2或x ＝1”的逆否命题是“x≠－2或x≠1，则x 2＋x －2≠0”
4． 已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b ＝
A ．16
B ．8
C ．2
D ．4
5． 已知12sin α－5cos α＝13，则tan α＝
A ．－512
B ．－125
C ．±125
D ．±712
6． 按如下程序框图，若输出结果为S ＝170，则判断框内应补充的条件为
A ．i≥9
B ．i≥7
C ．i ＞9
D ．i ＞5
7． 已知函数f （x ）＝sin ωx （x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g （x ）＝
sin （ωx ＋
4
π）的图象，只要将y ＝f （x ）的图象 A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4
π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度 8． 甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别
相等，则:x y 为
A ．3 ：2
B ．2 ：3
C ．3 ：1 或5 ：3
D ．3：2 或7：5
9．若椭圆221x y m ＋＝（m ＞1）与双曲线2
21(0)x y n n
－＝＞ 有共同的焦点F 1，F 2,P 是两曲线的一个交点，则△F 1PF 2
的面积是
A ． 3
B ．1
C ． 13
D ．12 10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的
是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小
的一个侧面的面积为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．11．已知非零向量a 、b 的夹角为钝角，｜b ｜＝2，当t ＝－12
时｜b －ta ｜（t∈R）的最小
，向量c 满足（c －b ）⊥（c －a ），当c ·（a ＋b ）取最大值时，则｜c －b ｜＝
A B ． C ． D ．
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12．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，x ∀∈R ，有f （－x ）＋f （x ）＝2x ，且在（0， ＋∞）上()f x '＜x ，若f （4－m ）－f （m ）≥8－4m, 则实数m 的取值范围为
A ．[－2，2]
B ．[2，＋∞）
C ．[0，＋∞）
D ．（－∞，－2]∪[2，＋∞）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．二项式(1)n x ＋（n∈N ＊）的展开式中4
x 的系数为15，则n ＝___________．
、B c，设
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知等比数列{n a}的公比q＞1，前n项和为S n，S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4成等差数
列。

（Ⅰ）求数列{n a}的通项公式；
（Ⅱ）设n c＝（3n－2）n a，求数列{n c}的前n项和n T．
18．（本小题满分12分）
为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1 ：2 ：3，其中第2小组的频数为12．
（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A，B，C，a是该校报考体育专业的4
名学生，A，B，C的体重小于55千克，a
的体重不小于70千克．且A，B各有5分
体育加分，C，a各有10分体育加分．其他
学生无体育加分，从体重小于55 千克的学
生中抽取2人，从体重不小于70 千克的学
生中抽取1人，组成3人训练组，训练组中
3人的体育总加分记为ξ，求ξ的分布列和数学期望
19．（本小题满分12分）
如图，已知长方形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，
使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（II）若E是线段DB上的中点，求AE与平面BDM所成角的正弦
值．
20．（本小题满分12分）
已知动圆Q 过定点F （0，－1），且与直线l ：y ＝1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A （0，2）在椭圆N 上．
（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；
（Ⅱ）若过F 的动直线m 交椭圆N 于B ，C 点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC
的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z ＝S 1S 2，试求Z 的取值范围．
21．（本小题满分12分） 已知函数2
()12x
x f x e ax ＝－－－，x R ∈． （Ⅰ）若12a ＝，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意0x ≥都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
（Ⅲ）设函数2()()()2F x f x f x x ＝＋－＋＋，求证：F （1）· F（2）……F（n ）＞12
(2)n n e
＋＋ （*n N ∈）．
22．（本小题满分10分） 选修4－1：平面几何选讲
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B 、C 两点，且 13
AB AC ＝，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 与 点D ，已知圆E 的半径为2，30EBC ∠＝．
（Ⅰ）求AF 的长；
（Ⅱ）求证：3AD ED ＝．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos (0)a a ρθθ＝＞，过点(2,4)P －－的直线l 的参数方程
为2242
x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋＝－（t 为参数）直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2·PA PB AB =，求a 的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数f （x ）＝｜x ＋2｜－2｜x －1｜．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥－2；
（Ⅱ）对任意x∈[a，＋∞），都有f（x）≤x－a成立，求实数a的取值范围．。