浙江省富阳市第二中学年高二下学期期中质量检测数学(理)试题及答案

考试时长100分钟 满分120分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 设全集,R U =集合{}
012＜-=x x A ，{}
02≥+=x x B ，则B A ⋂=（ ） A.A B.B C.{}12＜x x ≤- D.{}
21≤-x x ＜ 2．设i 是虚数单位，若复数10
()3i
a a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为( ) （A ）3-
（B ）1- （C ）1 （D ）3
3．函数f (x )＝1ln x ＋1
＋4－x 2
的定义域为( )．
A ．[－2,0)∪(0,2]
B ．(－1,0)∪(0,2]
C ．[－2,2]
D ．(－1,2] 4.条件42:<<-x p ，条件:(2)()0q x x a ++<；若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）
A ．(4,)+∞
B ．(,4)-∞-
C ．(,4]-∞-
D ． [4,)-+∞ 5．已知0.30.20.20.2,log 3,log 4a b c ===，则（ ）
A 、a>b>c
B 、a ＞c ＞b
C 、b ＞c ＞a
D 、c ＞b ＞a 6．下列命题中,正确命题的个数为（ ） ①若,则或”的逆否命题为“若且,则；
②函数
的零点所在区间是
；
③是的必要不充分条件 A ．0 B ．1 C ．2 D. 3
7．下列四个函数中，是奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( )．
A ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x | B ．y ＝x －42－x C ．y ＝log 2|x | D ．y ＝－x 3
8. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)()1(1*+∈+N n nS S n n n ＜.若1-7
8
＜a a ，则（ ） A.n S 的最大值为8S B.n S 的最小值为8S C.n S 的最大值为7S D.n S 的最小值
为7S
9.函数)2
||,0,0)(sin()(π
φωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()
y f x =
的图象向右平移
6
π
个单位后，得到的图象解析式为( )
A ．x y 2sin =
B ．x y 2cos =
C ．)322sin(π+=x y
D ．)6
2sin(π-=x y 10．函数
的定义域为，若存在闭区间，使得函数
满足：①在内是单调函数；②在
上的值域为
，则称区间
为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”
的有（ ） ①；②
；
③
；④
A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.①③
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．判断函数1)(0-=x x f 的奇偶性：__________________________________。

12. 设52)的展开式中x 2
项的系数为A ，则A ＝_________
13. 在△ABC 中，若42
sin 52cos
322
=++-B
A B A ，则=B A tan tan ________. 14 .由0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，从
这些四位数中任取一个数它能被3整除的概率是 ． 15．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2 x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x <2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围
是_______.[来源:]
16．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，
若方程f (x )＝m (m ＞0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
17．设21,F F 为椭圆)0(1:22
221＞＞b a b
y a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在
第一
象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭
圆1C 的离心率8
3＝e ，则双曲线2C 的离心率是__________。

三 解答题（本大题有5小题，共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
18．（10分）已知向量)sin ,)62(sin(x x π
+
=，)sin ,1(x n =，2
1
)(-⋅=n m x f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =1()22
A f =
, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.
19．（10分）已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，
m ＋n ≠0时，有f m ＋f n
m ＋n
＞0.
(1)判断f (x )的单调性，并证明；
C D
E B
A
(2)若f (x )≤t 2
－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 20．（10分)C 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线
BD 折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD ，AE=a ， （Ⅰ）若22=a ，求证：AB∥平面CDE ；
（Ⅱ）求实数a 的值，使得二面角A-EC-D 的大小为60°．
21．(10分) 如图，已知圆022222=--+y x y x G ：，经过
椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b
y a x 的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点))(0,(a m m >倾斜角为65π的直线l 交椭圆于C ，D 两点， （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．
22．（12分）已知函数()e kx f x =（k 是不为零的实数，e 为自然对数的底数）. (1)若曲线)(x f y =与2x y =有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k 的值；
(2)若函数)22)(()(2--=kx x x f x h 在区间)1
,(k
k 内单调递减，求此时k 的取值范围.
高二期中考数学答案（理）
一、 选择题
二、
解答题
18解: （Ⅰ）2
1sin )6
2sin()(2-
++
=x x x f π
11cos 21
2cos 2222x x x -=
++-x 2sin 2
3=…………………3分 所以()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦.……………………4分
（Ⅱ）由1()22A f =
和x x f 2sin 23
)(=得: sin A =……………5分
若cos A =，而C C C A sin 36
cos 33)sin(+=+
又C C A cos 2)sin(3=+,所以C C sin 2cos =
因为π<<C 0，所以3
6cos =
C
19解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2＞x 1，则
f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f x 2 ＋f －x 1
x 2＋ －x 1
·(x 2－x 1)＞0，
∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )是增函数． ………………………………4分 (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，
∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2
－2at ＋1≥1对任意a ∈[－
1,1]恒成立⇔t 2
－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．
把y ＝t 2
－2at 看作a 的函数，
由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段，
∴t 2
－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立
⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
t 2
－2× －1 ×t ≥0t 2
－2×1×t ≥0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
t 2
＋2t ≥0
t 2
－2t ≥0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
t ≤－2或t ≥0
t ≤0或t ≥2⇔t ≤－2，或t ＝0，
或t ≥2.
20解：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,2),D(0,2,0),E(0,0,22),
()()(
)
2,0,0,0,2,22,1,1,2AB DE DC ==-=-
----------2分
设平面CDE 的一个法向量为()1,,n x y z =
，
则有2220,20y z x y z -+=-+=，
取2z =时，()
10,2,2n =
------------3分
10AB n ∴⋅=
，又AB 不在平面CDE 内，所以//AB 平面CDE ； ------------4分
（Ⅱ）E(0,0,a ), ()()
0,2,,1,1,2DE a DC =-=-
，
设平面CDE 的一个法向量为()2,,n x y z =
，
则有20,20y az x y z -+=-+=，取2z =时，()
222,,2n a a =-
------------6分
21 解：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ．[来源:]
∴F （2，0），B （0，2）， ∴2=c ，2=
b ． ------------2分
∴62
=a ．故椭圆的方程为 ------------3分 （Ⅱ）设直线l 的方程为)6)((3
3
>--
=m m x y ．
∵点F 在圆G 的外部，
∴0FC FD ⋅>
，
即
2(3)
03
m m ->，解得0m <或3m >． ------------8分 由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．…………9分
又6>m ，326<<m ． ∴3m << --------10分
22解：（1）设曲线()y f x =与2
y x =有共同切线的公共点为00(,)P x y ，则0
2
kx e
x =． 又曲线()y f x =与2y x =在点00(,)P x y 处有共同切线，且'()kx
f x ke =，
2()'2x x =，
∴0
02kx ke
x =， 解得 2
k e
=±．......4分
（2）由()kx f x e =得函数2()(22)kx
h x x kx e =--，
所以22(())[(22)4]kx
h x kx k x k e '=+--
22
[(2)4]kx k x k x e k
=+--
2
(2)()kx k x k x e k
=-+．
又由区间1(,)k k 知，1
k k
>，解得01k <<，或1k <-．
①当01k <<时，由(())h x '=2
(2)()0kx
k x k x e k -+<，得2
2x k k
-
<<，即函数()h x 的单调减区间为2
(,2)k k
-
， 要使得函数2()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k
内单调递减，则有
01,2,1
2,k k k k k ⎧
⎪<<⎪
⎪≥-⎨
⎪⎪≤⎪⎩
1k ≤<．......8分
综上，
当
12
k ≤<时，函数2()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k 内单调递
减.......12分。