卷积定理与相关函数

f1 ( ) e
jw
jw
f 2 (t ) e
jw ( t )
d d t
f1 ( ) e

f (t ) e jw (t ) d t d 2

F1 (w ) F2 (w )


因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类 似数的运算中的1的作用.
在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元 素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵 乘数, 等等,都是代数运算. 如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有 0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相 应的集合叫做加法群, 简称群. 如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运 算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应 的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称环. 如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作域了.
因 d (t ) 1, 由位移性质得 d (t t0 ) e 由 1 2d (w ), 得 e
jw 0t jw 0t
2d (w w 0 )
1 由 u (t ) d (w ) jw d j tu(t ) dw tu(t ) 1 jw
2
1 1 d ( w ) d (w ) 2 jw jw jd (w )
t0 t0
( 0)
t
f(t+)
t
当>0时, 积分区间为[0,+)
R( ) f (t ) f (t ) d t e e
0 t ( t )
dt
0 当<0时, 积分区间为[, +)
e 2 t e 2
f1 (t ) f 2 (t )

1 F1 (w ) F2 (w ) 2
证 按傅氏变换的定义, 有
F [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] e


jwt
dt
jwt f1 ( ) f 2 (t )d e d t
例2 若
0 t 0 0 f1 (t ) f 2 (t ) t 1 t 0 e
f1()
t0 t0
求f1(t)*f2(t) 1 O
1 O
f2(t) t


由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d

f1 (t u ) f 2 (u ) d u


f 2 (u ) f1 (t u ) d u f 2 (t ) f1 (t )


即卷积满足交换律.
下证卷积满足结合律, 即 [f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)] 为此, 令 g (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
1 | | R( ) e 2
并求得能量谱密度为
1 | | jw S (w ) R( ) e d e e d 2 1 1 e cos w d 2 2 0 w
jw
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0), jw 0t e ,以及tu(t )的傅氏变换


卷积的图示
f1() O
f2()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

f2()
O
f2(t)

O
t

在积分



f1 ( ) f 2 (t ) d

中, 令ut, 则tu, dud, 则
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
工程数学
第18讲
卷积定理与相关函数
卷积的概念 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分



f1 ( ) f 2 (t ) d
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d


1 e
0 t
t
( t )
d e
t
e d

0
t
e (e 1) 1 e
t
t
1 O
1et t
卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理 中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w) 则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w) 以及
f1 ( ) s(t ) d f1 (t ) s (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )


例1 证明 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 证 根据卷积的定义
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 ( )[ f 2 (t ) f 3 (t )] d

1 2 1 2



F1 (w )F2 (w ) e
jw
dw

S12 (w ) e jw d w
即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w)
0 f (t ) t e 的自相关函数和能量谱密度 f(t) 1
例3 求指数衰减函数 O f(t+) 1 O t 1 O
f (t ) F (w ) e
jw
假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称 S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则 jw f 2 (t ) F2 (w ) e
可得 R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t ) d t

f1 ( ) f 2 (t ) d f1 ( ) f 3 (t ) d

f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ).
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t ) d (t ) f (t )d ( ) d f (t )

s(t ) f 2 (t ) f 3 (t ) f 2 (t v) f 3 (v) d v


则 [ f (t ) * f (t )] * f (t ) g (t ) * f (t ) 1 2 3 3
g (u ) f 3 (t u ) d u


f1 ( ) f 2 (u ) d f 3 (t u ) d u



e 2

R( ) f (t ) f (t ) d t e e


t ( t )
dt
e 2 t e 2


e e 2 e 2 2


因此, 当<<时, 自相关函数可合写为

交换二重积分的次序, 得
f1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

令v=tu, 则u=tv, 上式 f1 ( ) f 2 (t v ) f 3 (v) d v d
f1 ( ) f 2 (u ) d f 3 (t u ) d u f1 ( ) f 2 (u ) f 3 (t u ) d u d
例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F [f(t)] 1 u (t ) d (w ) jw
e f (t ) u (t ) 2 1 1 F (w ) d (w w 0 ) 2 j(w w 0 ) e 1 d (w w 0 ) j(w w 0 ) jw 2 [d (w w 0 ) d (w w 0 )] 2 2 w0 w


根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(t)=R(t) 事实上, 令t=u+, 可得
R( ) f (t ) f (t ) d t



R( ) f (u ) f (u) d u R( )

关于互相关函数, 有如下的性质: R21()=R12()
jw 0t jw 0t
例6 若F(w)=F [f(t)], 证明 t F (w ) F f (t ) d t F (0)d (w ) jw
证 : f (t ) d t f ( )u (t ) d f (t ) u (t )
记为R21 ( ), 即 R21 ( ) f1 (t ) f 2 (t ) d

当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分



f (t ) f (t ) d t
称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号 R()表示, 即
R( ) f (t ) f (t ) d t

t
t
1 u (t ) d (w ), f (t ) F (w ) jw 1 u (t ) f (t ) F (w ) d (w ) jw 1 F (w ) F (0)d (w ) jw
相关函数 对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分 称为两个函数的互相关函数, 记为R12(), 即



f1 (t ) f 2 (t ) d

R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t ) d 而积分



f1 (t ) f 2 (t ) d
前面已经证明过
1 f1 (t ) f 2 (t ) d t 2 F1 (w )F2 (w )dw 令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+), 设f(t)F(w), 则

, 则有 1 jw f (t ) f (t ) d t 2 F (w )F (w ) e d w 1 1 2 jw jw F (w ) e d w S (w ) e d w 2 2 1 jw 即R( ) S (w ) e d w 2