D24极限运算法则

无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂 除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
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例9.
lim
x
x2arc 2x2
tan x
x
x2arc tan x
解:原式= lim x
x2 2x2 x
x2
= lim arc tan x
x 2 1
x
lim arc tan x
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例8 . 求
解:
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
型：
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
为非负常数 )
lim x x x 1 lim x lim x x 1 0
x
x
x
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定理4
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 与已知条件 矛盾.
存在 ,
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2. 已知 x1 1, xn1 1 2xn (n 1, 2,) , 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
n
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
定理1 , 2 , 3 直接得出结论 .
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例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(x)
Pn
(
x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(
x)
直接求函数值
试证
例3. 设有分式函数
多项式 , 若
试证:
其中
都是
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
xx0
lim Q(x)
= x
lim
x
2
1 x
= 2
20 4
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例10.lim n
2n 2n1
5n 5n1
解:原式= lim n
2n
5n1 2n1
5n1
5n
5n1 5n1
5n1
lim
n
1 5
2
n
5
2
n1
5
1 5
1
1 5
0
1 5
1
01 5
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故应当考虑左、右极限.
lim arctan 1 令u
x 0
x
1 lim arctan u
x u
2
lim arctan 1 令u 1 lim arctan u
x 0
x
x u
2
limarctan 1 不存在
x0
x
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解：
1
1
1
1
ex
(2). lim x0
1
ex
1arctan 1 x
1
lim e x
x0 1
1
1
1
lim arctan
x0
x
, 2
ex
1
lim
x0
ex
1
ex
1arctan 1
1 x
0 0
1 1
2
2
,
1
ex 1
1
lim x0
1
arctan x2
ex 1
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思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 . 说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
推论 3 . 若 lim fi (x) Ai , ki是常数，(i 1,2,...,n)
B B B(B ) 无穷小
有界
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
由极限与无穷小关系定B 理 ,
得
1 g(x)
2 B
x U (x0 )
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注意公式使用的条件！
lim x sin 1 lim x limsin 1 0
x0
x x0 x0 x
n
a 1 2a
a 1
不对!
此处
lim
n
xn
a
,
lim
n
xn
,
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3设
是多项式 , 且
求
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
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1 n2
=
2
1
10 10
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例 解
求 lim x 1 ( x 2 x) . ( ( ) ) x
lim x 1 ( x 2 x)
x
lim x 1 ( x 2 x)( x 2 x)
x
x2 x
lim 2 x 1
x x 2 x
lim
则有
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定理 3 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A 1 (B A )
2
1.
x 1 1 1 1
x 1
x 1
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例 解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
ex 1, f (x)
x 0 , 问 b 取何值时,
x b, x 0
lim f (x) 存在, 并求其值.
x0
lim f (x) lim (ex 1) 2 ,
x0
x0
lim f (x) lim (x b) b ,
例5 . 求
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
将无穷大量转化为无穷小量研究。
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例6.
x2
lim(
x2
x2
4
x
1
) 2
解:原式
lim
x2
x
2
(x x2
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
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例4.
x = 3 时分母为 0 !
lim (x 3)(x 1) x3 (x 3)(x 3)
lim x 1 x3 x 3
为什么可以 约去x-3?
0 型： 0
分解因式， 约去零因子
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感谢您的欣赏！
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x2 4 2）（
x2 9 3）
x0（ x2 9 3）（ x2 9 3）（ x2 4 2）
lim x（2 x2 9 3） x x0 2 x2 4 2）
lim x2 9 3 x0 x2 4 2
有理化分子分母！
02 9 3 6 3 02 4 2 4 2
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .
提示: 令 (x) f (x) g(x)
说明: 定理 1可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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定理 2. 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
4
2)
lim ( x 2)( x 1) x2 ( x 2)( x 2)
x 1 lim
x2 x 2
21 3 22 4
型：
通分； 约去零因子
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例7.lim x2 4 2 x0 x2 9 3
0 型： 0
解:原式
（ lim
x2 4 2）（
x0
x0
由函数的极限与其左、右极限的关系, 得
b = 2 , lim f (x) 2 . x0
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1
例
1
ex 1
1
(1).limarctan ;(2).lim
x0
x
x0
1
arctan . x
ex 1
解:(1)
令u 1, x
则
lim u
x0
当 x 0时 当 x 0时
例11.
lim
n
n
n2 1
n2
1
n n2 1 n2 1 n2 1 n2 1
解:原式= lim n
n2 1 n2 1
= lim n n2 1 n2 1 0型： n n2 1 n2 1
2n = lim
n n2 1 n2 1
化成 0 或 型 0
= lim
2
n
1
1 n2
1