高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数：
绝对值得性质：
(1)|a+b|≤|a|+|b|
(2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b|
(4)|b a |=)0(||||≠b b a
函数的表示方法：
（1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质：
（1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数：
定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1
x f
y -=存在，且是
单值、单调的。

基本初等函数：
（1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数
（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：
定义：设
{}n x 是一个数列，a 是一个定数。

如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小）
，
总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n
x ，不等式
ε
<-a x n 都成立，则称数a 是数列
{}n x 的
极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a
x n
n =∞
→lim ，或
a
x n →（∞→n ）
收敛数列的有界性：
定理：如果数列
{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界
推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛
函数的极限：
定义及几何定义 函数极限的性质：
（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0
，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0
x 可除外），有0)(>x f （或0)(<x f ）。

（2）如果
A
x f x x =→)(lim 0
，且在
x 的某一邻域内（
x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ），
则0≥A （0≤A ）。

（3）如果
)(lim 0
x f x x →存在，则极限值是唯一的
（4）如果)
(lim 0
x f x x →存在，则在)(x f 在点0x
的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。

无穷小与无穷大：
注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。

但是零是可作为无穷小
的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε
<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。

除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。

无穷小与无穷大之间的关系：
（1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1
x f 为无穷小
（2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1
x f 为无穷大
具有极限的函数与无穷小的关系：
（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和
（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理：
（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小
（2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小
推论：
（1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和
两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积
极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理） 设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x
可除外）满足条件：
（1）)()()(x h x f x g ≤≤
（2）
A
x g x x =→)(lim 0
，
A
x h x x =→)(lim 0
则A
x f x x =→)(lim 0
准则二 单调有界数列必有极限
定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在
重要极限：
（1）1
sin lim
0=→x x
x
（2）
21
cos 1lim
20=-→x x x （3）e x x
x =+∞→)11(lim 或e
x x x =+→1
0)1(lim
无穷小阶的定义：
设βα、为同一过程的两个无穷小。

（1）如果
0lim
=αβ
，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo = （2）如果
∞=αβlim
，则称β是比α低阶的无穷小
（3）如果
)1,0(lim
≠≠=c c c αβ
，则称β与α是同阶无穷小
（4）如果
1lim
=αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~
几种等价无穷小：
对数函数中常用的等价无穷小：
0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x
)0(ln 1
~
)1(log →+x x a x a
三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：
0→x 时，x x ~sin x x ~tan
2
21~
cos 1x
x - x x ~arcsin x x ~arctan
指数函数中常用的等价无穷小：
0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=-
二项式中常用的等价无穷小：
0→x 时，ax x a
~1)1(-+
n x x n
~
11-+
函数在某一点处连续的条件：
由连续定义)()(lim 00
x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x 处连续必须同时满足下列三个条件：
（1）)(x f 在点0x
处有定义
（2）当
x x →时，)(x f 的极限)
(lim 0
x f x x →存在
（3）极限值等于函数)(x f 在点0x
处的函数值)(0x f
极限与连续的关系：
如果函数)(x f 在点0x
处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，反
之，则不一定成立 函数的间断点：
分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数)(x f 、)(g x 在点0x
处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点
x 也连续
反函数的连续性：
定理：如果函数)(x f y =在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数
)(y x ϕ=也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数
最大值与最小值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必有最大值和最小
值
推论：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界
介值定理：
定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，两端点处的函数值分别为)()(,)(B A B b f A a f ≠==，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间),(b a 内至少有一点
ξ，使得
μξ=)(f )(b a <<ξ
推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值
推论（2）：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<∙b f a f (两端点的函数值异号)，
则在),(b a 的内部，至少存在一点ξ，使0)(=ξf
导数与微分 导数：
定义：
x x f x x f y x ∆-∆+=→∆)
()(lim
'
导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率
函数可导性与连续性之间的表示：
如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导：
（1）
x x f x x f x y
y x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=)()(lim
lim |'00000
（2）
0)
()(lim
|'0
0x x x f x f y x x x x --=→=
（3）
x x f x x f y x x x ∆-∆+=→∆=)
()(lim
|'0
基本初等函数的导数公式： （1）常数导数为零 0)'(=c
（2）幂函数的导数公式 1
)'(-=n n nx x
（3）三角函数的导数公式 x x cos )'(sin = x x sin )'(cos -=
x x x 22
sec cos 1
)'(tan ==
x
x x 22csc sin 1
)'(cot -=-= x x x tan sec )'(sec =
x x x cot csc )'(csc -=
（4）对数函数的导数公式： a x e x x a a ln 1
log 1)'(log ==
（5）指数函数的导数公式：
a a a x x ln )'(=
（6）x
x e e =)'(
（7）反三角函数的导数公式：
211
)'(arcsin x x -=
211
)'(arccos x x --
=
211
)'(arctan x x +=
211
)'cot (x x arc +-
=
函数和、差、积、商的求导法则：
法则一（具体内容见书106）
'')'(v u v u +=+ '')'(v u v u -=-
函数乘积的求导法则：
法则二（具体内容见书108）
'')'(uv v u uv +=
函数商的求导法则：
法则三（具体内容见书109）
2'')'(v uv v u v u -=
复合函数的求导法则：（定理见书113页）
反函数的求导法则：
反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）
高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )(2
2dx dy
dx d dx
y d = 求n 阶导数：（不完全归纳法）
）2sin()(sin )(π⋅+=n x x n ）
2cos()(cos )(π
⋅+=n x x n 隐函数的导数：（见书126页）
对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的
导数用记号dx dy
（或'y 表示）
对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）
由参数方程所确定的函数的导数：)()()
(βαφϕ≤≤⎩⎨
⎧==t t y t x
)
()
(1''t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕφ=
⋅=⋅=
微分概念：
函数可微的条件 如果函数)(x f 在点0x 可微，则)(x f 在点0x
一定可导 函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x
可导
x
x f dy ∆=)(0'
函数的微分dy 是函数的增量y ∆的线性主部（当0→∆x ），从而，当
x
∆很小时，有dy y ≈∆
通常把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记做dx 。

即于是函数的微分可记为
dx x f dy )('
=，从而有)
('x f dx dy
=
基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式： x f f x f )0()0()('
+≈
x n x n
111+
≈+
x x ≈sin （x 用弧度）
x x ≈tan （x 用弧度）
x e +≈12
x x ≈+)1ln(
中值定理与导数应用
罗尔定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数
（3）在端点处函数值相等，即)()(b f a f =，则在()b a ,内至少有一点ξ，使0)('=ξf
拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续
（2）在开区间()b a ,内具有导数，则在()b a ,内至少有一点ξ，使得
))(()()(f 'a b f a f b -=-ξ
定理几何意义是：如果连续曲线)(x f y =上的弧⋂
AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的
切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧⋂
AB
推论：如果函数)(x f 在区间()b a ,内的导数恒为零，那么)(x f 在()b a ,内是一个常数
柯西中值定理：如果函数)(x f 与)(F x 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数
（3）)(F x ‘
在()b a ,内的每一点处均不为零，则在()b a ,内至少有一点ξ使得
)()()()()()('
'ξξF f a F b F a f b f =--
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理） 00
未定式
1、a x →情形 定理：如果 (1)当a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零
（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ
（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞），则极限)()
(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且
)()
(lim
x x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→
在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
达法则
2、∞→x 情形 推论：如果 （1）当∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于零
（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ
（3）)
()
(lim '
'x x f x ϕ∞→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f x ϕ∞→存在（或为∞），且
)()(lim x x f x ϕ∞→=)
()
(lim ''x x f x ϕ∞→
∞∞
未定式
1、a x →情形 如果 （1）a x →时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大
（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ
（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)
()
(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），且
)()
(lim
x x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→
2、∞→x 情形
推论：如果 （1）∞→x 时，)(x f 与)(x ϕ都趋于无穷大
（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ϕ都存在且0)('≠x ϕ
（3）)()(lim ''x x f a x ϕ→存在（或为∞） ，则则极限)
()
(lim x x f a x ϕ→存在（或为∞），
且)
()
(lim
x x f a x ϕ→=)()(lim ''x x f a x ϕ→
注意：1、洛必达法则仅适用于00型及∞∞
型未定式
2、当)()(lim
'')
(x x f x a x ϕ∞→→不存在时，不能断定
)()(lim
)(x x f x a x ϕ∞→→不存在，此时不能应用洛必达法则
泰勒公式（略）
迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法：
必要条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数，如果)(x f 在[]b a ,上单调增
加（减少），则在()b a ,内，0)('≥x f （0)('≤x f ）
充分条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数， （1）如果在()b a ,内，0)('
>x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加
（2）如果在()b a ,内，0)('<x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调减少
函数的极值及其求法
极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件
必要条件：设函数)(x f 在点0x 处具有导数，且在点0x 处取得极值，则0)('
=x f
函数的极值点一定是驻点
导数不存在也可能成为极值点
驻点：使0)('=x f 的点，称为函数)(x f 的驻点
充分条件（第一）：设连续函数)(x f 在点0x 的一个邻域（0x 点可除外）内具有导数，当
x 由小增大经过0
x 时，如果
（1）)('
x f 由正变负，则0x 是极大点
（2）)('
x f 由负变正，则0x 是极小点
（3）)('
x f 不变号，则0x 不是极值点
充分条件（第二）：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0;;≠x f
（1）如果0)(0;;<x f ，则)(x f 在0x
点处取得极大值
（2）如果
)(0;;>x f ，则)(x f 在0x
点处取得极小值
函数的最大值和最小值（略） 曲线的凹凸性与拐点：
定义：设)(x f 在[]b a ,上连续，如果对于[]b a ,上的任意两点1x 、2x 恒有
2)
(()2(
2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 在[]b a ,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）
凸的。

判别法： 定理：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内具有二阶导数 （1）如果在),(b a 内0)(0;;>x f ，那么)(x f 的图形在[]b a ,上是凹的
（2）如果在),(b a 内0)(0;;<x f ，那么)(x f 的图形在[]b a ,上是凸的
拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分
原函数：如果在某一区间上，函数)(F x 与)(x f 满足关系式：
)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=，则称在这个区间上，函数)(F x 是函数)(x f 的一个原
函数
结论：如果函数)(x f 在某区间上连续，则在这个区间上)(x f 必有原函数
定理：如果函数)(F x 是)(x f 的原函数，则C )(F +x （C 为任意常数）也是)(x f 的原函数，且)(x f 的任一个原函数与)(F x 相差为一个常数 不定积分的定义：
定义：函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分，记做⎰dx
x f )(
不定积分的性质：
性质一：)
())(('x f dx x f =⎰或dx
x f dx x f d )())((=⎰
及⎰
+=C
x f dx x f )()('
或⎰
+=C
x f x df )()(
性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。

即
⎰⎰⎰⎰+++=+++dx
x f dx x f dx x f dx x f x f x f n n )()()()]()()([2121 性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数，且k ≠0
基本积分表：
（1）⎰
+=C
kx kdx （k 是常数）
（2）⎰-≠++=+)1(11
a C a x dx x a a
（3）⎰+=C x dx x ||ln 1
（4）⎰
+=C
e
dx e x
x
（5）)1,0(ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x
x
（6）⎰
+-=C
x xdx cos sin
（7）⎰
+=C
x xdx sin cos
（8）⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 12
2
（9）⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 1
22 （10）⎰+=C x xdx x sec tan sec
（11）⎰
+-=C x xdx x csc cot csc （12）
⎰
+=-C
x dx x
arcsin 112
（13）
⎰
+=+C
x dx x
arctan 112
第一类换元法（凑微分法）
C x F dx x x f +=⎰)]([)()](['
ϕϕϕ
⎰+-=C x xdx |cos |ln tan ⎰+=C
x xdx |sin |ln cot 第二类换元法：变量代换
被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。

将无理式化为有理式 基本积分表添加公式： 结论：
如果被积函数含有22x a -，则进行变量代换t a x sin =化去根式
如果被积函数含有2
2a x +，则进行变量代换t a x tan =化去根式
如果被积函数含有2
2a x -，则进行变量代换t a x sec =化去根式
分部积分法：
对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法
⎰⎰-=vdu uv udv
分部积分公式
1、如果被积函数是幂函数与指数函数
的积，可以利用分部积分法
令u 等于幂函数
2、如果被积函数是幂函数与
反三角函数
的积，可使用分部积分法
令u=
反三角函数
对数函数
3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。

定积分
定积分的定义
定理：如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积
定理：如果函数在],[b a 上只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积 定积分的几何意义：
1、在],[b a 上0)(≥x f ，这时⎰b
a dx
x f )(的值在几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成的曲边梯形的面积 2、在],[b a 上0)(≤x f ，其表示曲边梯形面积的负值 3、在],[b a 上，)(x f 既取得正值又取得负值
几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成平面图形位于x 轴上
方部分的面积减去x 轴下方部分的面积 定积分的性质：
性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即 ⎰⎰⎰±=±b
a b a b
a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([
性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
⎰
⎰=b
a
b
a dx
x f k dx x kf )()(（k 是常数）
性质三、如果将区间],[b a 分成两部分],[c a 和],[b c ，那么
⎰
⎰⎰+=b
a
c
a
b
c
dx
x f dx x f dx x f )()()(、
性质四、如果在],[b a 上，1)(=x f ，那么⎰⎰-==b
a b
a a
b dx dx x f )( 性质五、如果在],[b a 上，0)(≥x f ，那么⎰≥b
a dx x f 0
)( 性质六、如果在],[b a 上，)()(x g x f ≤，那么
⎰
⎰≤b
a
b
a
dx
x g dx x f )()(
性质七、设M 及m ，分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则
m(b-a)⎰≤≤b
a dx x f )(M(b-a) (a<b) ……估值定理
性质八、积分中值定理
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，那么在积分区间],[b a 上至少有一点ξ，使得
⎰
-=b
a
a b f dx x f )
)(()(ξ
微积分基本公式
积分上限的函数：
⎰=Φx
a
dt
t f x )()( （a ≤x ≤b ）
性质：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么积分上限的函数
⎰=Φx
a
dt
t f x )()(在],[b a 上
具有导数，且)()()(x f dt t f dx d x x
a ==Φ⎰‘
定理：在区间],[b a 上的连续函数)(x f 的原函数一定存在
牛顿——莱布尼茨公式
如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么
⎰
-=b
a
a F
b F dx x f )
()()(
定积分的换元法
假设（1）函数)(x f 在区间],[b a 上连续； （2）函数)(t x ϕ=在区间],[βα上单值，且具有连续导数；
（3）当t 在区间],[βα上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且a =）
（αϕ，b =）（βϕ ，则有定积分的换元公式⎰⎰=b
a dt
t t f dx x f β
α
ϕϕ)()]([)('
设)(x f 在区间],[a a -上连续，则
（1）如果函数)(x f 为奇函数，则⎰-=a
a dx x f 0)(
（2）如果函数)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a
a a
dx
x f dx x f 0)(2)(
⎰
⎰=20
20cos sin π
π
xdx
xdx n n
定积分的分部积分法
设)(x u 、)(x v 在],[b a 上具有连续导数)('x u 、)('x v ，那么''')(vu uv uv +=，在等式的两边
分别求a 到b 的定积分得dx
vu a b
dx uv a b a b uv '')(+=
……定积分的分部积分公式
即⎰⎰-=b
a b a dx vu a b uv dx uv ''
)( 或⎰⎰-=b a b a vdu a b uv udv )(
无穷区间上的广义积分
定义：设函数)(x f 在区间],[+∞a 上连续，取b>a ，如果极限⎰+∞→b
a b dx x f )(lim 存在，则称此极
限为函数)(x f 在区间],[+∞a 上的广义积分，记做⎰+∞
a dx x f )(即⎰
⎰+∞→+∞
=b
a
b a
dx
x f dx x f )(lim
)(
无界函数的广义积分（见书279页） 定积分的应用（见书286页）
元素法 在极坐标系中的计算法。