高考数学考前提醒的82个问题

12.要知道函数 f x ax b a 0,b 0 的有关性质:
x
①定义域：,0 0, ， ②奇偶性：奇函数；
③单调性：在区间
,
b a
和
b a
,
上单调递增，
b a
,
0
和
0,
b a
上单调递减；
④ 在定义域内的极值是 x b 时有极大值， a
x b 时有极小值。在指定的定义域内的极值或最 a
高考数学 考前提醒的 82 个问题
3.映射的概念你理解吗?是否注意到了在 f : A B 中, A 中元素 的任意性和 B 中元素的唯一性?
4.记住函数的几个 重要性质： （ 1）关于对称性 .
①如果函数 y f x 对于 x R ,都有 f a x f a x ,那么 , 函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称;
必须满足 (3a 1)1 4a f 1 0 ,即 a 1 ,于是 1 a 1 ,故选(C).
7
7
3
(5) 关于图象变换.
①函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x
轴向左平移 a 个单位得到的;
②函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x
5. 求方程或不等式的解集,或者求定义域,值域时,要按要求写成 集合的形式.
6. 求函数的解析式,特别是解应用题是的函数式,以及求反函数时, 一定要注明定义域.
7. 充要条件的概念要掌握好,特别是会用集合的子集的方法判断 充要条件.
8. 要区分逻辑联结词的不同用法,了解四种命题的相互关系,知道 什么时候用反证法.
②任何一个定义域关于原点对称的函数 F x ,总可以表示为一个
奇函数 f x 和一个偶函数 g x 的和,其中
f x F x F x, gx F x F x .
2
2
(8) 关于反函数.
①你掌握求反函数的步骤了吗?(求 y f x 的值域 反求 x
互换 x, y 注明定义域)
②反函数存在的充分条件是: y 与 x 一一对应或 y f x 在区间
其周期T 2(a b)
⑤若 偶函数 y f x 的 图象关 于直线 x a 对 称 , 则 其周期
T 2a (即④中的b 0 );
⑥若函数满足 f x a f x b ( a b ),其周期T a b ; ⑦若函数满足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于点b,0 对称(a b ), 则其
值要根据单调性或图象来判断。
⑤ 记住 f x ax b a 0,b 0 的图象的草图。
x
⑥
要能够类比得出
f
x
ax2
b x2
,
f
x
axn
b xn
n N
的有
关性质.
13. 是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图象?在解指数函
数和对数函数的有关问题时要注意“底”的要求：a 0.a 1 ，在解对
② 若函数满足 f a x f x ,则其周期T 2a
③
若函数满足 f x a
f
1
x
(其中
f
x
0, a
0
),则其周期
T 2a
④若函数满足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即函数
y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于直线 x b 对称(a b ), 则
数函数的有关问题时，要注意定义域.
14.
要记住对数恒等式： aloga N
N
和换底公式：loga
b
logc logc
b a
，
特别是 loga
b
1 logb
a
log 1
a
1 b
log an
bn
.
15. 记住弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： l r, S 1 lr.
2
16.
应用三角函数线可以得到：
9.“方程 ax2 bx c 0 有实数解”转化为“ b2 4ac 0 ”，你是 否注意到“a 0 ”（除解决二次方程的有关问题时要注意之外，在解 决直线与圆锥曲线的位置关系时，也常常遇到），在题目中没有指出 是“二次”函数，方程，不等式时，就要分类讨论a 0, a 0 的不同情
周期T 4(a b)
⑧若 奇函数 y f x 的 图象关 于直线 x a 对 称 , 则 其周期
T 4a (即⑦中的b 0 );
【例 1】(2006 年安徽卷,理)函数 f x 对于任意实数 x 满足条件
f
x 2
f
1
x
，若
f
1 5, 则 f f 5 __________.
【分析及解】由
(3) 关于复合函数的单调性.
如果函数 y f u,u g x 在区间 D 上定义,
①若 y f u 为增函数, u g x 也为增函数,则 y f x 为
增函数;
②若 y f u 为增函数, u g x 为减函数,则 y f g x 为减
函数;
③若 y f u 为减函数, u g x 也为减函数,则 y f g x 为
f
x 2
f
1得
x
f
x 4
f
1
x 2
f (x) ，
所以 f (5) f (1) 5 ，则 f f 5 f (5) f (1) 1 1 。
f (1 2) 5
【 例 2 】 (1996 年 全 国 卷 ) 设 f x 是 , 上 的 奇 函
数, f x 2 f x ,当 0 x 1 时, f x x ,则 f 7.5 等于(
2
⑤函数 y f x 与 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称;
(2) 关于奇偶性与单调性的关系.
① 如 果 奇 函 数 y f x 在 区 间 0, 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数
y f x 在区间,0 上也是递增的;
② 如 果 偶 函 数 y f x 在 区 间 0, 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数 y f x 在区间,0 上是递减的;
若 f x (3a 1)x 4a 为减函数,则3a 1 0 a 1 ,
3
若
f
x loga x 为减函数,则 0 a 1 ,于是
a
的取值范围是
0,
1 3
但是 ,这个结 果是错误的 ,对 (B)是误选 .为什么呢？解题时，忽略了 分段函数的问题. 因为是分段函数,又要求在(, ) 上是减函数,就
f x 在a,b c, d 上=不一定是增函数,需补充条件:g b hc .
【例】（ 2006
年北京 卷）已知
f
(x)
(3a 1)x loga x,
4a,
x 1 x 1
是
(, ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是
（A）0,1
（B）
0,
1 3
（ C）
1 7
,
1 3
（
D）
1 7
,1
【分析及解】本 题从表面上看并不困难 ,
D 上单调;
③若函数 y f x 在区间 D 上单调递增,则其反函数也在区间 D
上单调递增
④关于反函数的一个结论: f f 1 a a, f 1 f a a 或者
f 1 a b f b a.
⑤ 求一个函数的反函数时,要先求反函数,后求值.(例如求
f 1 x 1 ,顺序是先求 f 1 x ,再代入 x 1得 f 1 x 1 ).
于是 3k 2 7 3k 2 1
6, 解此不等式得 k 2
13 或k 2 15
1. 3
③
由①、②、③得 1 k 2 1 或13 k 2 1.
4
3 15
故 k 的取值范围为 (1, 13 ) ( 3 , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 13 ,1)
15
3 2 23
15
10.判断函数的奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称? 11.证明函数的 单调性的方法为定义法和导数法 .
由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得
1 (8
2 ) 2 k 2 16(1 4k 2 ) 16(4k 2 1) 0, 即 k 2 1 . 4
①
将 y kx 2 代入 x2 y2 1得(1 3k 2 )x2 6 2kx 9 0 . 3
由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A，B 得
对称 ;
③函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 x 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 y 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于原点0, 0 对称; ④函数 y f a x 与 y f a x 的图象关于直线 x 0 对称; 函数 y f a x 与 y f b x 的图象关于直线 x a b 对称;
况，不要忽略 a 0 的讨论.
【例】 (2005 年，重庆卷)
已知椭圆
C1
的方程为
x2 4
y2
1 ，双曲线
C2 的左、右焦点分别
为 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线 C2 的方程； （Ⅱ）若直线l : y kx 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同
如果函数 y f x 对于x R ,都有 f a x f b x ,那么, 函 数 y f x 的图象关于直线 x a b 对称;
2
②如果函数 y f x 对于x R ,都有 f a x f a x ,那么, 函数 y f x 的图象关于点 (a, 0) 对称;如果函数 y f x 对于x R , 都有 f a x f a x 2b ,那么, 函数 y f x 的图象关于点(a, b)
并掌握：
① 定义域,值域,单调性,奇偶性,最值,对称性,周期性.(在求单调区
x
0,
2
时,
sin
x
x
tan
x
.
17. 三角函数 y sin x, y cos x, y tan x 的图象能迅速画出吗?
对于它们的性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,最值,对称性,周期性等) 是否熟练掌握和运用?
18. 要会用五点法画 y Asinx , y Acosx 的图象,
f 7.5 f 7.5 8 f 0.5 f 0.5 0.5. 故选(B).
关于 f x 是以 4 为周期的周期函数.还可作如下证明:
f x 2 f x f x 4 f x 2 f x .
(7) 关于奇偶性.
①若奇函数 y f x 在 x 0 处有定义,则 f 0 0 ;
轴向右平移 a 个单位得到的;
③函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y
轴向上平移 a 个单位得到的;
④函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y
轴向下平移 a 个单位得到的.
(6) 关于周期性.
① 若函数满足 f a x f x ,则其周期T a ;
增函数;
④若 y f u 为减函数, u g x 为增函数,则 y f g x 为减
函数;
(4)关 于分段函数的单调性 .
若函数
f
x
g x , x a,b h x , x c, d
,
g
x
在a, b
上 是增函数 ,
hx 在
c, d 上是增函数 ,则 f x 在 a,b c, d 上不一定是增函数 ,若使得
).
（A）0.5 （B）0.5
（C）1.5
（D） 1.5
【分析及解】因为 f x 是 , 上的奇函数,且 f x 2 f x
则 f x 2 f x ，于是， f x 关于原点成中心对称，关于 x 1 成
轴对称，因此， f x 是以 4 为周期的周期函数. 由 0 x 1时, f x x ,及 f x 是以 4 为周期的周期函数,则
1 3k 2 0,
2 (6
2k )2
36(1 3k 2 )
0.
即k2
1 3
且k2
1
②
设
A(xA ,
yA ), B(xB ,
yB ),
则 xA
xB
6 2k 1 3k 2
, xA
xB
9 1 3k 2
由OA OB
6得xA xB
yA yB
6, 而xA xB
yA yB
3k 2 7 3k 2 1 .
的交点，且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足OA OB 6 （其中 O 为原 点），求 k 的取值范围.
【分析及解】（Ⅰ）设双曲线
C2
的方程为
x a
2 2
y2 b2
1 ，则
a2
4 1 3,再由a2
b2
c 2得b2
1. 故
C2
的方程为
x2 3
y2
1.
(Ⅱ)将 y k x 2 代入 x 2 y 2 1 得 (1 4k 2 )x 2 8 2kx 4 0. 4