宿迁市必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(答案解析)

一、选择题
1．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22
； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④ 3．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：
①1AP B C ⊥；
②BP 与1CD 所成的角是60°；
③1P AD C V -为定值；
④1//B P 平面1D AC ；
⑤二面角P
AB C 的平面角为45°．
其中正确命题的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．MN //AB
B ．MN 与B
C 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VAC
D ．平面VAC ⊥平面VBC 5．正三棱锥底面边长为a 6，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A ．234a B ．232a C 233 D 233 6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（ ）
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β
C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
7．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于( )
A ．3π
B ．
323
π C ．12π D ．643π 8．下列说法正确的是（ ） A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α
B ．若直线a 在平面α外，则a ∥α
C ．若直线a b φ⋂=，直线b α⊂，则a ∥α
D ．若直线a ∥b ，b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线
9．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．12π
C ．8π
D ．6π
10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若
1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．[17,5]
B ．[4,5]
C ．[3,5]
D ．[3,17] 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）
A 25
B 45
C 5
D ．2512．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、
E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A ．3
B ．13
C ．58
D ．387 13．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β
B ．若,,m αβα⊥⊥则//m β
C ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥
D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥
14．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（ ）
A ．75518π
B ．62516π
C ．36π
D ．34π
二、解答题
15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体
11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．
（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；
（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．
16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中
点．
（1）求证：1//AD 平面EMN ；
（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．
17．如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，
BM MD DC ==，且ACD 为正三角形.
（1）证明：CM AD ⊥；
（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.
18．如图，已知AB 是圆O 的直径，2AB =，C 是圆O 上一点，且AC BC =，6PA =，22=PC ，10PB =.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）求三棱锥
P ABC -的体积. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ， 2PD AB ==，,,E F G 分别为,,AB PC PD 的中点.
（1）证明：直线/ /EF 平面PAD ；
（2）求EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.
20．如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD ∠=α.
（1）求证：//BF 平面CDE ；
（2）若60α=︒，12
AF AD DE ==，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 21．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1
60AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.
（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；
（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，PAD △为正三角形，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：//DF 平面PEB ；
（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PEB ．
23．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====，，.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）求证：//AC 平面BEF ；
（3）若AC 与BD 相交于点O ，求四面体BOEF 的体积.
24．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．
（1）证明：AD CE ⊥；
（2）若在梯形ABCD 中，π3
ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且
AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．
（1）求证：PA BC ⊥．
（2）求二面角D PA C --的余弦值．
26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．
求证：（1）BF //平面PAD
（2）平面BEF ⊥平面PCD
参考答案
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.
【详解】
对于A ，如下图所示，连接,AE GB
由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；
对于B ，如下图所示，连接,BF AF
因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误； 对于C ，如图所示，连接HD
因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；
对于D ，如下图所示，连接GB
因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误； 故选：A
【点睛】
本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.
2．B
解析：B
【分析】
利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1122223226
⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.
【详解】
①90,BAD AD AB ︒∠==，
45ADB ABD ︒∴∠=∠=，
//,45AD BC BCD ︒∠=，
BD DC ∴⊥，
平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，
A D '⊂平面A BD '，
CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立， 故A D BC '⊥不成立，故①错误；
②棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；
④由①知CD ⊥平面A BD '，
又
A B '⊂平面A BD '，
CD A B '∴⊥， 又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，
A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，
∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.
故选：B .
【点睛】
本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.
3．C
解析：C
【详解】
①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，
所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；
②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，
故1BP CD 与所成的角是60°正确；
③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，
故1P AD C V -为定值正确；
④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，
1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，
所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，
所以不正确；
⑤P 点变化，但二面角P
AB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角P
AB C 的平面角为45°正确；
故选：C. 4．D
解析：D
【分析】
由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.
【详解】
M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，
在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；
AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；
因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；
故选：D
【点睛】
本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.
5．A
解析：A
【分析】
根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
【详解】
因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233
a ⨯=，且棱锥高
22632632a a a ，斜高2221222a a a ，所以侧面积为21133224
S a a a .选A. 【点睛】
本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.
6．B
解析：B
【分析】
根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．
【详解】
若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；
若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；
若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错； 若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错． 故选：B ．
【点睛】
本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．
【详解】
三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；
且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM =
==112OG CD ==， 所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=， 所以三棱锥外接球的体积为3344232333
R V πππ===． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 8．D
解析：D
【分析】
根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.
【详解】
解：A 项，若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l 可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A 项错误；
B 项，直线a 在平面α外，则直线a 与平面α可能平行，也可能相交，故B 错误；
C 项，直线,a b b φα⋂=⊂，所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误；
D 项，直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行；当a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行,因此直线a 平行于平面α内的无数条直线,故D 项正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.
9．A
解析：A
【分析】 首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.
【详解】
如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，
因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.
设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，
又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .
分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，
则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心. 因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
EB DE ，四边形12OO EO 为矩形， 所以123==O B DO 1213===O E O E OO ()223153=2⎛⎫+
⎪ ⎪⎝⎭
15π. 故选：A
【点睛】 本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.
10．A
解析：A
【分析】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.
【详解】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，
由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ， P 是侧面四边形
11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，
∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，
点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =，
2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.
∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].
故选：A.
【点睛】
本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 11．C
解析：C
【分析】
取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.
【详解】
取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：
因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
所以11B F BF ==,DO BO OC ===111
D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，
所以1OD ==OF ==
13D F ==，
所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，
所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，
由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，
所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，
又112C F C C ==>=,
所以11D C P △面积的最大值11111222S C F D C =
⋅=⨯=. 故选：C.
【点睛】
本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.
12．C
解析：C
【分析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值.
【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且1112
EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且1112BD A B =
，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC ==，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242
AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF 中，由余弦定理得((22229222958cos 29
22922CDF +-∠=
=⨯⨯. 故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题. 13．C
解析：C
【分析】
利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.
【详解】
对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误;
对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;
对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;
对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C
【点睛】
本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.
14．B
解析：B
【分析】
如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．
【详解】
如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .
∵四棱锥P ABCD -中，32AB =，
∴3AO '=.
∵4PO '=，
∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，
∴2223(4)R R =+-，解得258R =
， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：B .
【点睛】
本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）
30
【分析】
（1）利用222
11
EP EB PB
+=可得
1
PE EB
⊥，又根据CE⊥平面
1
PEB可得CE PE
⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE⊥平面1B CE；
（2）过E作1
EG CB
⊥，垂足为G，连PG，可得
1
CB PG
⊥，可得PEG
∠为二面角1
D B C E
--的平面角，在直角三角形PEG中计算可得结果.
【详解】
（1）因为点P为11
A B的中点，
11
=2
A B EF，
11
//
A B EF，
所以EF与1A P平行且相等，所以四边形1
FEPA为平行四边形，所以
1
2
EP A F AF
===，
又12
EB EB
==，
111
1
22
2
PB A B EF CD
====，
所以222
11
EP EB PB
+=，所以
1
PE EB
⊥，
因为1
,
CE EF CE EB
⊥⊥，
1
EF EB E
=，
所以CE⊥平面1
PEB，所以CE PE
⊥，
因为1
CE EB E
=，所以PE⊥平面
1
B CE，
（2）过E作1
EG CB
⊥，垂足为G，连PG，
因为PE⊥平面1B CE，所以1
PE CB
⊥，又PE EG E
=，
所以1
CB⊥平面PEG，所以
1
CB PG
⊥，
所以PEG
∠为二面角
1
D B C E
--的平面角，
因为1
CE=，
1
2
EB=，所以22
11
145
CB CE CB
=+=+=
所以1
1
25
5
5
CE EB
EG
CB
⋅
===，所以22
430
4
55
PG PE EG
=+=+=，
所以sin
EP
PGE
PG
∠==230
=30
=.
【点睛】
关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE⊥平
面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角. 16．（1）证明见解析（2
）885 【分析】
（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ； （2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果.
【详解】
（1）连1BC ，1EC ，如图：
因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =， 所以11//AB C D ，11AB C D =， 所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ， 因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ， 因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ， 所以1//AD 平面EMN . （2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，
依题意知12BB =，112EB =
，111B C =， 所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144
EC EB B C =+=+=， 所以22
21111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********
+-⨯⨯88585=. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角． 17．（1）证明见解析 ；（2
）3
. 【分析】
（1）取AD 中点P ，连结MP ，CP ，推导出CP AD ⊥，MP AD ⊥，从而AD ⊥面
CMP ，由此能证明CM AD ⊥．
（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，则MH ⊥面ACD ，MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，由此能求出直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值． 【详解】
（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，
由ACD 为正三角形可得CP AD ⊥， 又由,//2
BAD MP AB π
∠=得MP AD MP CP P ⊥⋂=，，
∴
AD ⊥面CMP ， 又∵CM ⊂面MPC ， ∴CM AD ⊥；
（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，,AD MH CP AD P ⊥⋂=， ∴MH ⊥面ACD ，
∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，
不妨设1CD =
，则CM MP CP =
=
=
，
∴cos 3MCP ∠==
∴sin 3
MCP ∠=
所以直线CM 与平面ACD
【点睛】
求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 18．（1）证明见解析；（26
. 【分析】
（1）根据已知条件证明BC ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定定理证明出平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）由（1）的分析可知：BC ⊥平面PAC ，由此得到三棱锥 P ABC -的体积计算公式为13
PAC
S
BC ⋅⋅，结合线段BC 的长度以及PAC
S
求解出结果.
【详解】
（1）因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥. 在Rt ABC 中，2AB =，AC BC =，所以2AC BC ==
因为在PCB 中，
10PB =22=PC 2BC =222PB PC BC =+，所以BC PC ⊥.
又 PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC .
（2）由（1）知BC ⊥平面PAC ，所以BC 是三棱锥 B PAC -的高. 在 PAC 中，2AC =
6PA =22=PC
222268AC PA PC ∴+=+==，即PAC △是直角三角形. 11
26322
PAC
S
AC PA ∴=
⋅==. 1
16
323
3P ABC B PAC PAC
V V S
BC --∴==⋅⋅==. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的第二问的关键是通过变换三棱锥的顶点位置，使三棱锥能较容易得到对应的高和底面积，从而求解出体积.
19．（1）证明见解析；（2）5
. 【分析】
（1）证明四边形AEFG 为平行四边形即可得直线//EF 平面PAD ；
（2）将EF 与平面ABCD 所成角转化为AG 与平面ABCD 所成角，进而得GAD ∠为
AG 与平面ABCD 所成角，即可求解. 【详解】
证明：（1）
F 为PC 的中点，
//FG CD ∴，且1
2
FG CD =，
又//AE CD ，且1
2
AE CD =
， ∴四边形AEFG 为平行四边形， ∴//EF AG ，
又EF ⊄ 平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，
//EF ∴平面PAD .
（2）由（1）知，//EF AG ， 又因为PD ⊥面ABCD ，
所以，AG 在平面ABCD 内的射影为AD ， 则GAD ∠为AG 与平面ABCD 所成角， 2AD PD ==，1GD =，
在RT ADG 中，AG =
=，
sin
GD GAD AG ∠=
==
，
∴EF 与平面ABCD 【点睛】
本题考查线面平行与线面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题. 常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质；
常见的线面角的求解方法有：①几何法——即找出线面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解.
20．（1）证明见解析；（2）10
. 【分析】
（1）根据四边形ABCD 是菱形得到//AB CD ，再由//AF DE ，证得平面//ABF 平面
CDE 即可.
（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结
AM ，EM ，易知AM ⊥平面CDE ，则AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，然后由
sin AM
AEM AE
∠=求解. 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AB CD ，又//AF DE ，AB AF A =，CD DE D =，
∴平面//ABF 平面CDE ， 又BF ⊂平面ABF ， ∴//BF 平面CDE .
（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，如图所示：
过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ， 而AF ⊥平面ABCD ，又AF DE ∥， ∴DE ⊥平面ABCD ，
∴DE AM ⊥，又AM CD ⊥，CD DE D =，
∴AM ⊥平面CDE ，
∴AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角， ∴cos303sin 3515
AM AD AEM AED AE AE =
︒∠=
=∠=. ∴直线AE 与平面CDE 15
. 【点睛】
方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄
α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 21．（1）证明见解析；（2）239
13
【分析】
（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法
1111
3
C ABC A ABC ABC V V S A
D --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离.
【详解】
（1）证明：
1AA AC =，1
60AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，
D 为线段AC 的中点， 1A D AC ∴⊥，
平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C
平面ABC AC =，
1A D ∴⊥平面ABC ， 1A D ⊂平面1A DE ， ∴平面1A DE ⊥平面ABC ；
（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，
可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =
1111
3C ABC A ABC ABC V V S A D --∴==⋅△
113223132=⨯⨯⨯=， 在1ABC 中，2AB =，()
2
222113323C F AF AC +=
+==
21122221BF C F BD DF C F BC +=++=
=
=
2
2
2
12cos 20
ABC +
-∠∠=
=
1sin ABC ∴∠=
1
22202
ABC S ∴=⨯=
△.
记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则1
13
ABC S h ⋅⋅=△，解得13
h =
，
即点C 到平面1ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.
22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】
（Ⅰ）取PB 中点G ，可证得四边形DEGF 是平行四边形，进而可得//DF EG ，最后可证
//DF 平面PEB ；
（Ⅱ）由条件可得PE AD ⊥，BE AD ⊥，进而由线面垂直的判定定理得出结论. 【详解】
（Ⅰ）取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，∴//FG BC ，且1
2
FG BC =， ∵E 是AD 的中点，则//DE BC ，且1
2
DE BC =
，∴//FG DE ，且FG DE =， ∴四边形DEGF 是平行四边形，∴//DF EG ，又∵DF ⊄平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，∴//DF 平面PEB ；
（Ⅱ）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥， ∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，
∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，∵PE BE E ⋂=，∴AD ⊥平面PEB ，∵//AD BC ，
∴BC ⊥平面PEB ．
【点睛】
方法点睛：本题考查线面平行、线面垂直的判定，解题关键是熟记线面平行和线面垂直的判定定理，以及定理成立时的条件，考查空间想象能力，属于常考题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23
. 【分析】
（1）证明DE AC ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面BDE 即得证； （2）设AC
BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，证明//AO 平面BEF ，即证
//AC 平面BEF ；
（3）先求出四面体BDEF 的体积4
3V =，再根据12
BOEF BDEF V V =求解. 【详解】 （1）证明：
平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒，
DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．
ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,
AC ∴⊥平面BDE . （2）证明：
设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，
OG 为BDE 的中位线
1
//2
OG DE ∴
//AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，
∴四边形AFGO 是平行四边形，
//FG AO ∴．
FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ， //AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．
3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，
AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，
DEF ∴的面积为1
22
DEF
S
ED AD =⨯⨯=， ∴四面体BDEF 的体积1
433
DEF V S
AB =⋅⨯=
又因为O 是BD 中点，所以1223
BOEF BDEF V V =
= 2
.3
BOEF V ∴=
【点睛】
方法点睛：求几何体的体积的方法：方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 24．（1）证明见解析；（2）3V =. 【分析】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为3
2
，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．
因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形， 所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，AB
BD B =，所以EC ⊥平面ABD ，
因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥． （2）因为在菱形BCDE 中，π
3
EDC ∠=，2BC BE ==， 所以2CE =，23BD =
因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以142
BH BD ==
． 因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ， 又π3ABD ∠=
，所以3
tan 2
AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32． 即三棱锥D ABC -的高为3
2
.
易得BCD 的面积11
122
BCD
S
BD OC =
⋅=⨯=，
所以三棱锥D ABC -的体积13322
A BCD D ABC V V --===
. 【点睛】
方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下： （1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 25．（1）证明见解析；（2）3
4
. 【分析】
（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】
（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥． 又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，
PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．
（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．
因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12
BAC DAC CBA ∠=∠=∠，
13
+=+==9022
CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，
所以2AB =，AC =
30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．
以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
()
0,0,0C ，()1,0,0B ，()
A ，12D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()0,0,P a ，
平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,
()1,0,PB a =-，()
1,3,0AB =-有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
30x az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，令3z =，
所以(
)
1=
33n a a ,,，1223
1cos60cos ,2
43n n a ︒==
=+，所以3
2a =，
平面PAC 法向量()21,0,0n =，
133,,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,30,3,2PA ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即111
11
133022330
2x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩
，令12z =，所以()
3-3,3,2n =． 233
cos ,4
934n n =
=++，
所以二面角D PA C --的余弦值为
34
．
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；
（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可. 【详解】
（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，
∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．
∴BE AD ．
∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，
又EF PD ，
EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，
EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF
BE E =，
∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．
（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，
∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．
又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，
∴CD ⊥平面BEF ．
∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．
【点睛】
本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。