2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)

上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．,{}1P a =，若21a P +∈，则a 可取的值有 A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】由21a P +∈得到211a +=或21a a +=，解出a 的值后分别代入集合P 进行验证即可得到答案. 【详解】
由,{}1P a =，21a P +∈，得：211a +=或21a a +=， 若211a +=，解得0a =，此时{0,1}P =； 若21a a +=，解得1a =-，此时,1{}1P =-；. 综上，a 可取的值有2个. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查集合中元素的特征，属于基础题. 2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．
11a b
> B ．
11
a b a
>- C ．|a|>|b|
D ．22a b >
【答案】B
【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】
选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a
a b ab --=>，所以11a b
>，所以成立；
选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a
<-，所以不成立；
选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；
选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B.
【点睛】
本题考查不等关系和不等式，属于基础题. 3．已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“11
22
a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】 若
11
22
a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“
11
22
a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件； 若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b b
a a -
=-，所以1122a b a b =成立，所以“
1122
a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件. 综上，“
11
22
a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题. 4．定义,(,),a a b
F a b b a b
≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命
题中为真命题的是
①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()()F f x g x ，为奇函数： ②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()()F f x g x ，为偶函数； ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()()F f x g x ，为增函数； ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()(
)
F f x g x ，为减函数．
A ．②③④
B ．③④
C ．②④
D ．①②③④
【答案】A
【解析】利用函数的奇偶性和单调性分别对四个选项逐一判断即可. 【详解】
,(,),a a b
F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，
①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()()
F f x g x ，不一定为为奇函数，如y x
=与3
y x =，故为假命题；
②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()()F f x g x ，为偶函数，故为真命题； ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()()F f x g x ，为增函数，故为真命题； ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()(
)
F f x g x ，为减函数，故为真命题． 故选：A. 【点睛】
本题主要考查判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
二、填空题
5．已知集合0123{}A =，
，，，4{}13B =，，，则A B =I _________． 【答案】{}1,3
【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】
Q 0123{}A =，，，，4{}13B =，，，
∴{}1,3A B =I .
故答案为：{}1,3. 【点睛】
本题考查交集及其求法，属于基础题.
6．一元二次不等式2320x x -+>的解集是__________． 【答案】{|1x x <或}2x > 【解析】∵2320x x -+>，
∴(1)(2)0x x -->， 解得1x <或2x >，
故不等式2320x x -+>的解集是{|1x x <或}2x >．
7．已知集合{}3A =，集合{}
2
|2 0x x x B a -+==，且A 是B 的真子集，则实数
a =_________．
【答案】3-
【解析】由A 是B 的真子集知，23230a -⨯+=，解得a 的值即可. 【详解】
Q A 是B 的真子集，
∴3B ∈，即23230a -⨯+=，
解得：3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】
本题主要考查真子集的概念，属于基础题.
8．已知命题“若0a >且0b >，则0ab >”，那么它的逆命题为_________． 【答案】“若0ab >，则0a >且0b >” 【解析】根据逆命题的定义直接写出即可. 【详解】
命题“若0a >且0b >，则0ab >”的逆命题为“若0ab >，则0a >且0b >”. 故答案为：“若0ab >，则0a >且0b >”. 【点睛】
本题考查逆命题的定义，属于基础题.
9．已知函数()f x =()g x =
()()()F x f x g x =⋅=_________．
【答案】2x x -(1)x ≥
【解析】根据题中所给积函数的定义直接写出答案即可. 【详解】
()()()
2(1)(1)F x f x g x x x x x x ===-=-≥⋅.
故答案为：2x x -(1)x ≥.
【点睛】
本题考查函数解析式的定义及其求法，属于基础题.
10．若函数2()2(2)5f x x m x =--+在区间(]4-∞，
上单调递减，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】(]2-∞-，
【解析】利用二次函数的对称轴，确定单调区间与对称轴之间的关系进行判断即可． 【详解】
函数2
()2(2)5f x x m x =--+的对称轴为2(2)
22
m x m --=-=-， 则函数在区间(],2m -∞-上单调递减，
所以要使函数在区间(]4-∞，
上单调递减， 则有：42m ≤-，解得2m ≤-，
所以实数m 的取值范围是(]2-∞-，． 故答案为：(]2-∞-，
． 【点睛】
本题考查函数单调性的应用以及二次函数的性质，属于基础题.
11．若函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]
1?
2a a -，，则a b += ．
【答案】
1
3
【解析】试题分析：因为函数()2
3f x ax bx a b =+++是偶函数，则0b =，即
()23f x ax a =+，且1? 2a a -=-，解得13a =，所以a b +=1
3
.
【考点】函数的奇偶性及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到函数的定义域、一元二次函数的奇偶性及其应用，二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与应用意识，本题的解答中根据二次函数的性质，应用函数的奇偶性是解得的关键，试题比较基础，属于基础题. 12．若不等式对一切
成立，则的取值范围是 _ _ .
【答案】
【解析】当
，
时不等式即为
，对一切
恒成立 ①
当时，则须 ，∴
②
由①②得实数的取值范围是
，故答案为
.
点睛：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质，注意对二次项系数是否为0进行讨论；当
，
时不等式即为
，对一切
恒成立，当
时 利用二次函数的性质列出满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围.
13．已知()f x ，
()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=___________.
【答案】1
【解析】试题分析：∵32
()()1f x g x x x -=++，∴(1)(1)1111f g ---=-++=，
又∵()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴(1)(1)f f =-，
(1)(1)g g =--，∴(1)(1)(1)(1)f g f g ---=+，
∴(1)(1)1f g +=． 【考点】函数的奇偶性． 14．若0x >，0y >，且82
x
y x =-，则x y +的最小值为_________． 【答案】18
【解析】将式子82
x
x y x x +=+-适当变形后，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】
Q 0x >，0y >，且802
x
y x =
>-，解得2x >， ∴82
x
x y x x +=
+- ()82162x x x -+=+-
16
2822
x x =-+
++-， ()16
2
2822
x x -⋅
+-… 18=，
所以x y +的最小值为18. 故答案为：18.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子82
x
x y x x +=+-进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题.
15．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，对于系数a 、b 、c ，有如下结论：
①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>． 其中正确的结论的序号是______． 【答案】③⑤
【解析】根据不等式解集的特征及不等式的解与对应方程的关系可得,,a b c 满足的条件，从而可得正确的选项． 【详解】
因为x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-， 所以0a <且20ax bx c ++=的两个根为2,1-，
所以02121a b a c a ⎧
⎪<⎪
⎪
-+=-⎨⎪
⎪
-⨯=⎪⎩
，所以2,,0c a b a a =-=<．
故0,0,0,20c b a b c a b c a >++=-+=-， 故填③⑤． 【点睛】
一元二次不等式的解、一元二次方程及一元二次函数的之间的关系是： （1）一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根； （2）一元二次不等式的解集的端点是对应函数的零点； 解题中注意它们之间的联系．
16．某学习小组在研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集是(1
2)，，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”．提出如下解决方案：20ax bx c -+>，不等式两边
同除2x 得：2
11()()0a b c x x
-+>，令1y x =
，则1(,1)2
y ∈，所以不等式2
0cy by a -+>的解集为1
(,1)2
，即不等式20cx bx a -+>的解集为1
(,1)2
．参考上述解法，已知关于
x 的不等式
01
k x b
x a cx ++>++的解集为()3)12(2--U ，
，，则关于x 的不等式1
01kx bx ax x c
-+>--的解集为_________． 【答案】()111123)2
(--U ，， 【解析】先认真分析题目所给解答的方法，然后按照所给定义解答即可. 【详解】
关于x 的不等式01
k x b
x a cx ++>++的解集为()3)12(2--U ，
，， 用1x -替换x 得：
1()10111()()1b
k kx bx x ax x c a c x x
-+-+=+>---+-+， 所以有1()()2123x --⋃-∈，
，，解之得：112x <<或11
23
x -<<-. 故答案为：()111123)2
(--U ，， 【点睛】
本题考查类比推理及不等式的解法，解题关键是用1
x
-
替换x ，从而得到1
()()2123x
--⋃-∈，，，属于中档题.
三、解答题
17．已知全集U =R ，集合{}|1A x x a =<-，集合{}|2B x x a =>+，集合
0{}4|C x x x =≤≥或，
()U A B C ⋃⊆ð﹐求实数a 的取值范围． 【答案】(][) 25-∞-⋃+∞，
， 【解析】先求出A 和B 的并集在全集之下的补集，然后再根据子集的定义，列出不等式求出a 的取值范围即可. 【详解】
显然12a a -<+，
故[]
()12U A B a a ⋃=-+，ð ， 要使()U C A B C ⊆U 成立，须满足：20a +≤或14a -≥， 解之得，2a ≤-或5a ≥，
综上，(][)
25a ∈-∞-⋃+∞，，． 【点睛】
本题考查交集、并集、补集的综合运算，考查子集的定义，考查逻辑思维能力，属于常考题.
18．已知1a ≠-且a R ∈，试比较
1
1a
+与1a -的大小． 【答案】当1a >-且0 a ≠时，
1
11a a >-+；当1a <-时，111a a
<-+，当0 a =时，
1
11a a
=-+. 【解析】将两式作差后得：2
1()111a a a a
--=
++，分类讨论a 的范围，得到两式的大小. 【详解】
Q 2
1()111a a a a
--=++ ∴①当1a >-且0 a ≠时，
1
11a a
>-+， ②当1a <-时，
1
11a a <-+， ③当0 a =时，1
11a a
=-+.
【点睛】
本题考查利用作差法比较代数式大小的问题，解题关键是当作差后符号不能确定时，应分类讨论，属于常考题.
19．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=. (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为12x x ，且满足
12111
2
x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）见证明；（2）1
2
m =-
【解析】(1)方程总有两个不相等的实数根，只需根的判别式>0∆即可；(2)由一元二次
方程根与系数的关系得到韦达定理，化简121112
x x +=-，代入韦达定理即可解出m 的值． 【详解】
解：(1)∵22
(41)4(21)1650m m m ∆=+--=+>，
∴方程有两个不相等的实根．
(2)∵12(41)x x m +=-+，1221x x m =-，
1212121112
x x x x x x ++==-， ∴
(41)1
212
m m -+=--，∴12m =-.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？ 【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元
【解析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值． 【详解】 设t kx b =+，∴3010{
2520
k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-．
（1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）g g ， ∵
901
2242
=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），
∴2000
2000
10200702z x x
=---（） ，
1002000?25352000251000035x x =--+
≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x
-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.
【点睛】
本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
21．已知函数()||3(,0)m f x x m R x x
=+-∈≠ （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；
（2）试讨论当m 取不同值（或范围）时，方程()0f x =的解个数. 【答案】（1）详见解析；（2）当94m >
或94m <-时，方程()0f x =有一个解； 当94m =或0m =或94m =-时，方程()0f x =有两个解； 当904
m <<
或904m -<<时，方程()0f x =有三个解． 【解析】（1）对m 进行分类讨论后，根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）由()0f x =，可得()300x x x m x -+=≠，变为()30m x x x x =-+≠，()3g x x x x =-，方程()0f x =解的个数问题可以变为函数()3g x x x x =-和y m =图象交点个数的问题，作出图象观察交点个数即可.
【详解】
（1）当0m =时，函数()3f x x =-，此时()()f x f x -=，函数是偶函数；
当0m ≠时，Q ()
12f m =-，()12f m -=--，∴()() 11f f -≠±，函数是非奇非偶函数；
（2）由()0f x =，可得()300x x x m x -+=≠， 变为()30m x x x x =-+≠，
令()223,033,0x x x g x x x x x x x ⎧+<=-=⎨-+>⎩2239,024 39,024x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝
⎭⎩，
在同一坐标系下，作出函数()y g x =以及y m =的图象，由图象可得：
当94m >或94m <-时，有一个交点，方程()0f x =有一个解； 当94
m =或0m =或94m =-时，有两个交点，方程()0f x =有两个解； 当904m <<或904m -<<时，有三个交点，方程()0f x =有三个解． 【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断以及函数零点的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查数形结合思想，属于中档题.。