广东省2021年高中青年数学教师命题大赛试卷34理科

2021年高考数学测试题〔理科〕〔34〕
本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共4页，试卷总分值150分，答题时间为120分钟．
考前须知：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内.
2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么P(A B)P(A)P(B)=
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
求的．
1．假设集合}1|{2<=x x M ，}1|{x
x
y x N -=
=，那么N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x
2．在复平面内，复数1＋i
2021
(1－i)2
对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．cos 0()(1)10x
x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩
，那么)34()34(-+f f 的值等于
A ．2-
B ．1
C ．2
D ．3 4．三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有以下命题
①假设αα//,,//m n n m 则⊂； ②假设βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；
③假设βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④假设αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，
++11a b N (n N )、∈∈，那么数列n
b
{a }前10项的和等于
A.55
B.70
C.85
D.100 6．定义行列式运算
1234
a a a a =1423a a a a . 将函数3sin ()
1cos x
f x x
的图象向左平移n 〔0n 〕个单位,
所得图象对应的函数为偶函数，那么n 的最小值为
A
．
6
B ．
3
C ．56
D ．
23
7．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4
-成中心对称，对任意的实数x 都有3
()()2
f x f x
，且(1)
1,f (0)
2f ，那么(1)
(2)(3)(2008)f f f f 的值为
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
8．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：
当n 为偶数时，!!(2)(4)642=--n n n n
当n 为奇数时，!!(2)(4)
531=--n n n n `
现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②2006!!21003!=， ③2006!!个位数为0， ④2007!!个位数为5
其中正确的个数为
A .1 B.2 C.3 D .4
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每题5分，总分值30分.
9．假设抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
163
x y -=的右焦点重合，那么p 的值为 ． 10．设a ＝
(sin cos )x x dx π
+⎰
，那么二项式61()a x x
-展开式中含2x 项的系数是
11．在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1， 那么
22211
11CB
CA h +=；类比此性质，如图，在四 面体P —ABC 中，假设PA ，PB ，PC 两两垂直，底 面ABC 上的高为h ，那么得到的正确结论为 ；
12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比拟，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用〞，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表知2
( 3.841)0.05P K ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：
p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用〞 q ：假设某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 r ：这种血清预防感冒的有效率为95% s ：这种血清预防感冒的有效率为5%
那么以下结论中，正确结论的序号是 ．〔把你认为正确的命题序号都填上〕
G
F
D
E
C
B
A
〔1〕 p ∧﹁q ； 〔2〕﹁p ∧q ； (3)〔﹁p ∧﹁q 〕∧〔r ∨s 〕； 〔4〕(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s )
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.
13．〔坐标系与参数方程选做题〕 圆的极坐标方程为2cos ρθ=，那么该圆的圆心到直线
sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .
14．〔不等式选讲选做题〕 g(x)=|x-1|-|x-2|,那么g(x)的值域为 ；
假设关于x 的不等式2
()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，那么实数a 的取值范围
是 ．
15．〔几何证明选讲选做题〕 如图：PA 与圆O 相切于A ， PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，∠BPA=0
30，
PA=PC=1，那么圆O 的半径等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16．〔本小题总分值12分〕 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.a+b=5，c =7，且
.2
7
2cos 2sin 42
=-+C B A (1) 求角C 的大小； 〔2〕求△ABC 的面积. 17．〔本小题总分值12分〕一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
23
123456
f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. 〔1〕现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
〔2〕现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，假设取到一张记有偶函数的卡片那么停止抽取，否那么继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望. 18．(本小题总分值14分) 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =
2
π
，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。

沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；
(2) 假设以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值. 19．(本小题总分值14分) 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e = 2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P 〔0，m 〕，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ．〔1〕求椭圆方程； 〔2〕假设OA ＋OB ＝ 4OP λ，求m 的取值范围．
20．(本小题总分值14分)数列{}n a 的前n 项和n S 满足：
(1)1
n n a
S a a =--〔a 为常数，且0,1a a ≠≠〕． 〔Ⅰ〕
B
A
求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设21=
+n
n n
S b a ，假设数列{}n b 为等比数列，求a 的值； 〔Ⅲ〕在满足条件〔Ⅱ〕的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1
23
n T n >-．
21．(本小题总分值14分) 函数2
1f(x)=lnx,g(x)=
ax +bx (a 0).2
≠ 〔I 〕假设a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； 〔II 〕在〔I 〕的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)ϕϕ的最小值；
〔III 〕设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？假设存在，求出R 的横坐标；假设不存在，请说明理由.
2021年高考数学测试题答案〔理科〕
一、选择题：〔本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符
合题目要求的。

〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D B C
C
D
C
1、解析： B ．此题考查了定义域及交集运算 M ={|x -1＜x ＜1}, N={|x 0≤x ＜1}
2． 解析：B ．此题考查了复数的概念及运算 原式=
1122
i -
+ 3．解析：D ．此题考查了函数概念及分段函数 4．解析：B ．此题考查了直线和平面的根本位置关系． ②，④正确；①，③错误
5．解析：C ．此题考查了等差数列的通项及前n 项和计算． 因此，数列{}n
b
a 也是等差数列，并且前10项和等于：10(413)
852
+= 6． 解析：C ．此题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的根底知识．
()f x =2cos(x+6π) 左移 n 2cos(x+n+6
π
) , 因此，n=56 7． 解析：D ．此题考查了函数的对称性和周期性． 由3
()
()2
f x f x
，得(3)()f x f x ，因此，()f x 是周期函数，并且周期是３
函数()f x 的图象关于点3(,0)4
-成中心对称, 因此，()f x =-3()2
f x ，所以，(1)
1f
(1)
(2)
(3)
0f f f ，(1)
(2)
(3)
(2008)f f f f ＝(1)f
8．解析：C ．此题考查了信息处理和应用能力． 因为 2007!!200720052003531= 所以，有
2007!!(200720052003531)(200620042002642)2007!==因此，①，③，④正确；②
错误
第二局部 非选择题〔共110分〕
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每题5分，总分值30分. 9． 解析：６．此题考查了抛物线和双曲线的有关根本知识．
双曲线22163x y -=的右焦点F 〔3,0〕是抛物线22y px =的焦点，所以，32
P =，p=6 10．解析：－192．此题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的根本方法．
a ＝0
(sin cos )x x dx π
+⎰=2 , T 1r +=(-1)r 6r C (2x )6r -(
1x
)r
=(-1) 6r C 26r -x 3r -
令３－r=2,得r=1 , 因此，展开式中含2
x 项的系数是－192．
11．解析：22221111PC PB PA h ++=．此题考查了合情推理的能力．
连接CO 且延长交AB 于点D ，连PD ，
由PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ， 即2
2
PD PC h PD
PC =＋，22
22222
1PD PC 11 D h PD PC PC P =＋所以＝＋ D
O
容易知道 AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD ，
在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB 2PD PA PB =，
2222222
1PA PB 11
PD PA PB PA PB =＋＝＋，故2
2221111PC PB PA h ++=。

〔也可以由等体积法得到〕
12．解析：〔1〕〔4〕．此题考查了独立性检验的根本思想及常用逻辑用语．由题意，得2 3.918K ≈，2( 3.841)0.05P K ≥≈，所以，只有第一位同学的判断正确，即：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用〞．由真值表知〔1〕〔4〕为真命题．
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.
〔其中14题第一空3分，第二空2分〕 13．解析：
直线sin 2cos 1ρθρθ+= 化为直角坐标方程是
2x+y-1=0; 圆2cos ρθ=的圆心〔１，０〕
到直线2x+y-1=014． 解析： [－１，１] ； ),0()1,(+∞--∞ ．此题考查绝对值的意义，含参绝对值不等式的解法． 当x ≤1时，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1
当１＜x ≤２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<()g x ≤1 当x ＞２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=1 综合以上，知-1≤g(x) ≤1。

〔此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出〕
2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞ .
15．解析：7．此题考查了圆和切线的根本知识．
由圆的性质PA 2
=PC ·PB ，得，PB=12，连接OA 并反向延长 交圆于点E ，在直角三角形APD 中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J 记圆的半径为R,由于ED ·DA=CD ·DB
因此，(２R －２) ·2=3·8,解得R=7
三、解答题：
16．〔本小题总分值12分〕 (1) 解：∵A+B+C=180°
由27
2cos 2cos 4272cos 2sin 422
=-=-+C C C B A 得 …………1分 ∴2
7
)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ………………3分
整理，得01cos 4cos 42
=+-C C …………4分
解 得：2
1
cos =
C ……5分
A
B
∵︒<<︒1800C ∴C=60° ………………6分
〔2〕解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab …………7分
∴ab b a 3)(72
-+= ………………8分 由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ab=6……10分 ∴2
3
323621sin 21=
⨯⨯==
∆C ab S ABC …………12分 17．〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数〞，由题意知
.5
1
)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分
〔2〕ξ可取1，2，3，4.
111
333
111665C C C 13P(1),P(2)C 2C C 10
ξ===ξ===，
1111111333322111111116546543C C C C C C C 31P(3),P(4)C C C 20C C C C 20
ξ===ξ===； …………8分 故ξ的分布列为
10分 答：ξ的数学期望为.4
7 ………………………………………………………………12分
18．〔本小题总分值14分〕 解:〔1〕〔法一〕∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z 。

…………………………………………… 1分 那么A 〔0，0，2〕，B 〔2，0，0〕，G 〔2，2，0〕，D 〔0，2，2〕，E
〔0，0，0〕…………2分
BD =〔－2，2，2〕，EG =〔2，2，
0〕…………………………………………………3分
BD EG ⋅=〔－2，2，2〕·〔2，2，0
〕＝0，∴BD EG ⊥ ……………………………4分
〔法二〕作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分 由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH 。

y
F
D
E
C
B A
H
又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，
BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分 而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。

………………… 4分 〔或者直接利用三垂线定理得出结果〕 〔2〕∵AD ∥面BFC ，
所以 ()f x =V A-BFC ＝1
3
BFC s AE ＝13·12·4·(4-x)·x
2288
(2)333
x =--+≤………………………………………………………………………7分
即2x =时()f x 有最大值为8
3。

…………………………………………………………8分
〔3〕〔法一〕设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2, B 〔2，0，0〕，D 〔0，2，2〕， F 〔0，3，0〕,∴(2,3,0),BF =-BD =〔－2，2，2〕, ………………………………9分
那么 1100
n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨
-=⎩，2220
230 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩
取x ＝3，那么y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =
面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = ……………………………12分 那么cos<12,n n >=
121214
14||||
n n n n
= …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－
14
…………………14分 〔法二〕作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。

由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。

…………………9分
由△HMF ∽△EBF
，知
HM HF
＝BE BF ，而HF=1，BE=2
，BF ，∴HM 2。

又DH ＝2，
∴在Rt △HMD 中，tan ∠
DMH=-
DH
HM
因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH ＝
14
， ………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角，
H _ E
M
F
D B
A
G
故二面角D-BF-C
………………………………14分 19．〔本小题总分值14分〕
解：〔1〕设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1〔a >b >0〕，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，c a ＝2
2
，
∴a ＝1，b ＝c ＝2
2
， 故C
的方程为：y 2＋
x 2
12
＝1 ………………………………………4分 〔2〕由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ〔OB －OP 〕，〔1＋λ〕OP ＝OA ＋λOB ，
∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1 得〔k 2＋2〕x 2＋2kmx ＋〔m 2－1〕＝0 Δ＝〔2km 〕2－4〔k 2＋2〕〔m 2－1〕＝4〔k 2－2m 2＋2〕>0 〔*〕
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
………………………………………………9分
∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2
x 1x 2＝－3x 22
消去x 2，得
3〔x 1＋x 2〕2
＋4x 1x 2＝0，∴3〔－2km k 2＋2〕2＋4m 2－1k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………11分 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2
＝2－2m 24m 2－1
， 因
λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝
2－2m 24m 2－1
>0，∴－1<m <－12 或 1
2<m <1 容易验证k 2>2m 2－2成立，所以〔*〕成立
即所求m 的取值范围为〔－1，－12〕∪〔1
2
，1〕 ………………………14分
20．〔本小题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕11(1),1
－=
-a
S a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11
n n n n n a a
a S S a a a a --=-=---
1
n
n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=； ……………………4分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，2(1)
(31)211(1)
n n n n n a
a a a a a
b a a a ⋅
----=
+=
-，假设{}n b 为等比数列， 那么有2
213,b b b =而21232
32322
3,,,a a a b b b a a +++===
故222
32322()3a a a a a +++=⋅，解得13a =， ………………………………7分 再将1
3a =代入得3n n b =成立，
所以1
3
a =． ………………………………………………………………8分
〔III 〕证明：由〔Ⅱ〕知1()3n
n a =，所以11111331131311()1()33
n n n n n n n c +++=+=+
+-+- 111
2()3131+=--+-n n ， ………………………………………………… 9分
由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133
n n n n ++-<-+- 所以111311
2()2()313133
＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分
从而122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c +=+++>--+--+--
1111
2()2333
n n n +=-->-．
即1
23
n T n >-． …………………………14分
21．解：〔I 〕依题意：.ln )(2
bx x x x h -+=
()h x 在〔0,+∞〕上是增函数，
1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x ∈〔0,+∞〕恒成立，
…………2分
(]
.22,∞-∴的取值范围为b
…………4分
〔II 〕设].2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x
则函数化为
当t=1时，y m I n =b+1；
…………6分 当t=2时，y m I n =4+2b
…………8分 当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
…………9分
〔III 〕设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
那么点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2|12
12121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=
+=+= …………10分
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，那么.21k k =
……………11分 设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u u
u u x x u 则 ……………… ① …………12分 这与①矛盾，假设不成立。

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. …………14分。