运筹学总复习2

4 6 10 13 11 22 20 26 28
3 0 7 6 19 15 13 24 20
7 6 13 13 24 24 20 28 28
3 0 3 0 13 2 0 2 0
用动态规划解下面问题：
Maxz=4X1+9X2+2X32 X1+ X2+ X3 =10 Xi>0 ; i=1,2,3 顺序解法:
2
5
0
A3
7 销量
vj
7 3
3
4
4
3
3
6
4
7 2
4
0
-2
2
2
例：求下表效率矩阵的指派问题最优解
A B C D E
甲 乙 丙 丁 戊
12 8
7 9
9 6 12 6 7 2 0 5 0 3
7 6 14 6 10 0 0 7 0 6
9 6 9 10 9 2 0 2 4 5
7 17 15 24 4 5 2 0 9 0 10 0 3 10 8 6
X1 *=S1
f2(S2)=max{9X2+f1(S1)} =max{9X2 +4 S1}= max{9X2 + 4(S2-X2)}=9 S2 0 ≤ X2 ≤S2 X2 * =S2
A,4
B,6

A,4 7 E,5
F,9
G,7
I,8
H,4

工
序 A
B
C D E F
G
H
I
紧前工序 工序时间
-- -- A B B C、D C、D E、F G 4 6
4 10
6 7 5 9
7 13 3 3 13 20 13 20
V4
最短路线: V1 →V2 →V6 →V9 V5 V3 V6 V7
7
7* 9
11 8.5*
用标号法求下面网络图中最大流
（-V1，1） （V2，1） V2 （4，3） V4
Vs
（0，+∞）
（1，1）
V（V3，1） t
V1
（Vs，4）
（2，2）
V3
（-V2，1）
增广链为Vs→V1→V2→V3→Vt，调整量L（Vt）=1
线性规划对偶理论性质（不必证明）
对偶问题的经济解释 灵敏度分析
三、运输问题 包括产销平衡问题与不平衡问题及求最大值和最小值问题 不平衡问题→平衡问题的方法：增加虚产地或销地(注意单位运价是 0或M,或库存费用) 四、整数规划 分枝定界法与割平面法思路 指派问题（包括求最小值和最大值，人数和工作数相等和不相等情 况、其它特殊要求的情况） 人数和工作数不相等→相等的方法：增加一行或一列 五、动态规划 用动态规划方法解静态规划问题（划分阶段、确定状态变量、决策 变量、状态转移方程、递推关系式、逆序和顺序解法） 六、图与网络分析 最短路问题（正权数） 最大流问题（包括可行流已知和未知两种情况） 网络计划绘制网络图，计算结点时间参数、工序时间参数、工序总 时差、确定关键路线
σj
0
0
-5/3
-1/3
4 b B 1b 3 1 3
1 3 C3 CB B P3 C3 2,3 3 4 1 2
1
1 3 1 3 1 9 2 4 3 p3 B 1 p3 3 1 3
例2
① X2 ③
MaxZ=3X1+4X2 -X1+2X2 ≦8 X1+2X2 ≦6 2X1+X2 ≦8 X1，X2≥0
﹢ 4 ① ②
③ O
C
最优解为B （10/3，4/3） B
﹢ 2
﹢ 2
A ﹢ ﹢ 6 4
﹢ X1 8 ②
例:已知LP问题
max z 2 x1 2 x2 2 x3 x1 x3 4 x1 x2 2 x3 3 x1 , x2 , x3 0
4.b1增加到12时，最优解有何变化，若有变化求出新的最优解
4 3 1 3
XB X1 X2 σj XB X1 X4 σj b 9 3

1 3 12 13 因此最优解发生变化 1 1 9 3
X1 1 0 0 X1 1 0 0 X2 0 1 0 X2 4 -3 -5 X3 -1 2 -1 X3 7 -6 -11 X4 4/3 -1/3* -5/3 X4 0 1 0 X5 -1/3 1/3 -1/3 X5 1 -1 -2
4 4
3.保持最优基不变时的λ变化范围
2 -1 X2 1 1 X3 1 0 X4 1 0 X5 0
解:
CB 0
XB X4
b 6
x1 1
0
X5
4
-1
2
2
-1 1 3 -3
2
1 1 3 -1
0
0 1 1 -2
1
0 0 1 0
2 0
X1 X5
6 10
1 0 0
最优解为(6,0,0,0,10),MaxZ=2*6=12
行 差 额 0 1 1
0
5
2
0
1
7 6
1
A2 7
3
9
4
2
10
8
5
1
3
6 3 3 2 2 2
1 2
A3
销量 列 差 额 3 2 2 2
6
6 5
5 1 1 1 1
B1 A1 A2 A3 Vj
1
B2 B3 B4 Ui 3 11 3 10 0 1 7
3
10
2 1
9
4 1
3
2 10
-1
8 -1 5
6
4
12
3
I
A,4 B,6

C,6 D,7
F,9
G,7

I,8 H,4


工序 i j
E,5
t(i,j)
ES
EF
LS
LF
TF
A B C D E F G H I


4 6 6 7 5 9 7 4 8
0 0 4 6 6 13 13 22 20
最 终 表
2 CB 2 0 XB X1 X5 b 6 10 x1 1 0 0
-1 X2 1 3 -3
1 X3 1 3 -1
0 X4 1 1 -2
0 X5 0 1 0
2.当λ=0时,约束右端项由
1 B 1b 1
6 3 最优解有何变化 4 4
6 3 44
7
6 14 6 0
9
6 9 10 0
有四人、五项工作 虚增1人
15 24
V3
3 3
V1 V2
5
3
V6
2.5
正权数的最短路问题，求 V1到V9的最短路线 V9
2 4
3 1 V5 3
V4 V7
2
2
4
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 * * V8 V1 0 3 4* 6* 5* 6 * V2
10
-5
2
9
3
B1 A1 0 A2 A3 9 3
B2 11
B3
B4 3 2 10
Ui
2
5
1 12
3
3
1
9
2
7
6
9
4
10
2 0 8 -2 1 5 3 -5
10
Vj
3
不平衡运输问题
B1
2 11
B2
3
B3
4
B4
0
B5
产量 ui
A1
10
2
3
8
5
0 2
3
9 0
2
7
0
A2
7
8
3
8 1
2
5
0
b 13 -1
销地 工厂
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3 B4
3 2 10 5 10 8 5 6
产量
7 4 9
运输问题
求初始基本可行解
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3
3
3
4 3 1 6 3
6 5 6
7 4 9
B1
A1 3 11
B2
3
B3
B4
10
产量 7 4 9

1 3 1 1 1 7 2 3
XB X4 X5 X1 X2 σj
b
X1
X2
X3
X4
X5
3 9
1 2
1 1 2 1 0 0
1 4 3 0 1 0
1 7 3
-1 2 -1
1 0 0 4/3 -1/3
-5/3
0 1 0 -1/3 1/3
-1/3
√
√
√
求最小值指派问题：
人数M、工作数N不等
A：M〈N 虚增人数，由于其不创造价值（或不消耗时间），价 值系数为0，目标函数不变
B：M〉N
增加虚工作，由于工作为虚拟，价值为0，目标函数不变 有特殊要求时（某人不做某事）价值系数为M
A B C D E
甲 乙 丙 丁 戊
12
8 7 0
7
9 17 0
9
6 12 6 0
增加一行或一列五动态规划用动态规划方法解静态规划问题划分阶段确定状态变量决策变量状态转移方程递推关系式逆序和顺序解法六图与网络分析最短路问题正权数最大流问题包括可行流已知和未知两种情况网络计划绘制网络图计算结点时间参数工序时间参数工序总时差确定关键路线最优解为b10343例
一、 1.建立线性规划数学模型 2.线性规划基本定理、性质（不必证明） 3.线性规划解法 图解法 单纯形法(大M法、两阶段法)、对偶单纯形法 二、 线性规划对偶问题（求法）
3 9
1 1 2
1 4 3
1 7 3
1 0 0 4/3 -1/3
0 1 0 -1/3 1/3
X1 X2
σj
1.将表中空白处填上数字
XB
X4 X5
b
3 9
X1
1 1 2
X2
1 4 3 0 1
X3
1 7 3
X4
1 0 0 4/3 -1/3
X5
0 1 0 -1/3 1/3
X1 X2
1 2
1 0
-1 2 -1
2 ①
y1
例:已知LP问题
max z 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 6 x1 2 x2 2 x3 4 x1 , x2 , x3 0
1.当λ=0时用单纯型法解上述线性规划问题最优解,最优目标函 数值 2.当λ=0时,约束右端项由 6 3 最优解有何变化
7
0 0
4
8
0 4
3 7
3 0
A,4 B,6
0 0 6 13
C,6 D,70 6
13 0

G,7 F,9
I,8 H,4
20 28
20 28
0

0 6 0 6
13
15 24
2 0

24 28 2
28
28

E,5
6 11
22

15 20 9 11
22 26
关键路线：由总时差为零的工序构成 B
D
G
0 3 3 0 4 7 0 1
所以最优基不变,最优解为(3,0,0,0,7) 3.保持最优基不变时的λ变化范围
1 B 1b 1 0 6 6 0 4 6 4 0 1
6 0 10 0
→λ≥-6
2 . 当 λ = 0 时 , 约 束
例：已知求极大化问题线性规划问题的初始表和最终表，X4，X5 为松弛变量,约束条件为≦形式 1.将表中空白处填上数字 2.给出对偶问题的最优解 3.C3在什么范围变化时最优解不变 4.b1增加到12时,最优解有何变化,若有变化求出新的最优解 XB X4 X5 b X1 X2 X3 X4 X5
2.给出对偶问题的最优解
Y1=5/3，Y2=1/3 3.C3在什么范围变化时最优解不变 1 1 3 C3 CB B P3 C3 2,3 C3 4 0 2 C3 4最优解不变， 或C3 C3 4 C3 1
1.写出其对偶问题 2.应用图解法判断对偶问题解的类型 3.利用对偶理论证明原问题无最优解 y2 解1.对偶问题为 m in 4 y1 3 y 2 2 y y 2
1 2
③
②
y 2 2 y1 2 y 2 2 y1 , y 2 0
1
-2 2.图解法见右图:无可行解 3.据对偶问题性质:反证法 若原对偶问题一个有最优解,则另一问题也有最优解,且目标值相等
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
当n较大时，可用标号法确定：
用标号法确定覆盖所有零元素的最小直线数方法：
5 2 0 9 0 0 3 10 8 6 2 0 5 0 3 0 0 7 0 6 2 0 2 4 5
V2
（4，3）
V4
Vs （0，∞）
（1，0）
Vt
V1 （Vs，3）
（2，2）
V3
已标号点V1={Vs，V1}，未标号点V1={V2，V3，V4，Vt} 截集 （V1， ）={（Vs，V2），（V1，V3）}为最小截集 V1 C（V1， V1 ）=Cs2+C13=5
练习
画出网络图，计算各工序最早开始、最早结束、最迟开始、最 迟结束时间及各工序总时差，确定关键路线。
设S1.S2,S3分别为各阶段终点状态状态,并记S3=10 fk(sk)表示k阶段结束状态为Sk时从1阶段到k阶段的最大值 状态转移方程为 S3=10, 允许决策集合
X1=S1
S2=S3-X3 0X3≤S3
,
S1=S2-X2 0 X2 ≤S2
S0=S1-X1=0 X1 =S1
f1(S1)=max{4X1} =4S1
工 序 A
B
紧前工序 工序时间
-- -4 6
C D E F G H I A B B C、D C、D E、F G
6 7 5 9
7
4
8
工
序 A
B
C D E F
G
H
I
紧前工序
-- -- A B B C、D C、D E、F G
工序时间
4
C,6
D,7
6

6 7 5 9

7
C,6 D,7 E,5
4

8
F,9 G,7