山东省菏泽市年高二下期中考试数学文科试题(A)【精选】.doc

2014—2015学年度第二学期期中考试
高二数学（文）试题（A ）
（导数、选修1－2）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交，考试时间为120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．21
1+)i
复数（的值是（ ）
A ． 2i
B ．－2i
C ． 2
D ． －2
2．若)(,sin cos 2)('
ααf x x f 则-=等于（ B ） A ．αsin -
B ．αcos -
C ααcos sin 2--
D αcos 3-
3．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 （ ） A ．6
B ．21
C ．156
D ．231
4．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（ ） A ．有95%的把握认为两者有关 B ．约有95%的打鼾者患心脏病 C ．有99%的把握认为两者有关
D ．约有99%的打鼾者患心脏病
5．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象， 则2
22
1x x +等于（ ） A ．
16
9
B ．10
9
C ．8
9
D ．
289
6．有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之
间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（ ）
输入x
计算(1)
2
x x x +=
的值 100x >
输出结果x
是
否
A ．①②③
B ．①②
C ．②③
D ．③④
7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒，正确顺序的序号为（ ） A ．①②③
B ．③①②
C ．①③②
D ．②③①
8．设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间（0,4）上是减函数，则k 的取值范围是（ ） A ．1
3
k <
B ．1
03k <≤
C ．1
03k ≤≤
D ．1
3
k ≤
9．如图所示是()y f x =的导数图象，则正确的判断是（ ） ①()f x 在(－3,1)上是增函数；②x ＝－1是()f x 的极小值点； ③()f x 在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x ＝2是()f x 的极小值
点．
A ．①②③
B ．②③
C ．③④
D ．①③④
10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2S
r a b c
=
++，类比这个结论
可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝（ ） A ．
1234V S S S S +++ B ．12342V S S S S +++ C ．12343V S S S S +++ D ．1234
4V
S S S S +++
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中横线上） 11． 求垂直于2610x y -+=且与3235y x x =+-相切的直线方程__________________
12．已知,,2x y R x y ∈+<则y x ,中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 13．若函数24()1
x
f x x =
+在区间(,21)m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是 ． 14．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是__________．
15．已知f (x )＝(2x －x 2
)e x
，给出以下几个结论：①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，
f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知复数(1)3(1)
2i i z i
-++=
-，若21z az b i ++=-，
（1）求z ；
（2）求实数a , b 的值．
17．（本小题满分12分）
某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．
18．（本小题满分12分）
某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；
（3）试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？
(注：b ＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1
n x 2
i －n x －
2
，a ＝y －
－b x －
)．
19．（本小题满分12分）
已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b =c +d ，且a <c ≤d <b ，求证a b c d
20．（本小题满分13分）
已知函数32()23 3.f x x x =-+
（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．
2014—2015学年度第二学期期中考试
高二数学（文）试题（A ）参考答案
（导数、选修1-2）
1—10 BBDC Ａ DBDBC
11．063=++y x 12．y x ,均大于１ 13．(]0,1-
14．2
62+-n n 15．①②④
16．解：（1）z=1+i （2）⎩⎨⎧=-=4
3
b a
17．解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75
注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：
中奖注数 未中奖注数 总计 未分析 50 950 1000 分析后 75 1425 1500 总计
125
2375
2500
假设H 0：对彩票号码的研究与中奖无关． 由表中数据，得K 2
的观测值为 k ＝
2500×50×1425－75×9502
1000×1500×125×2375
＝0.
因为0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关． 18．解：（1）根据表中所列数据可得散点图如下：
（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算
i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i
60
160
300
300
560
因此，x ＝255＝5，y ＝250
5
＝50
∑i ＝1
5
x 2
i ＝145，∑i ＝1
5
y 2
i ＝13500， ∑i ＝1
5
x i y i ＝1380，
于是可得b ＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x 2
＝
1380－5×5×50
145－5×5
2
＝6.5； a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.
因此，所求回归直线方程为y ^
＝6.5x ＋17.5.
（3）据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，y ^
＝6.5×10＋17.5＝82.5（百万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元． 19．证明：要证明a b c d +<+，
需证明2()a b c d 2+)<(+， 需证明a +b+2ab <c+d+2cd , 因为a +b =c +d ,所以只需证明ab <cd , 需证明ab -bc <cd -bc , 需证明b (a -c )<c(d -b ), 考虑a +b =c +d ,即a -c =d -b , 需证明(a -c )(b -c )<0, 考虑a -c <0,需证明b -c >0, 而b -c >0显然成立, a b c d <.
20. 解（1）2
()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-==
∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=； （2）记3
2
2
()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表
x
(,0)-∞
0 （0,1） 1 (1,)+∞
()g x ' +
0 - 0 +
()g x
递增
极大
递减
极小
递增
当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0
,(1)0
g g >⎧⎨<⎩
即30
,3220m m m +>⎧-<<-⎨
+<⎩
时，
函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.
所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.
21．解：（1）∵()2
2ln a h x x x x
=++，其定义域为()0 +∞，
， ∴()221
2a h x x x
'=-+．
∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．
∵0a >，∴3a =． 经检验当3a =1x =是函数()h x 的极值点，
∴3a =
（2）对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．
当x ∈［1，e ］时，()1
10g x x
'=+>．
∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．
∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ∵()()()222
1x a x a a f x x x +-'=-
=
，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()
2
0x a x a f x x +-'=
>，
∴函数()2
a f x x x
=+在［1，e ］上是增函数，
∴()()2
min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.
由21a +≥1e +，得a e ，
又01a <<，∴a 不合题意．
②当1≤a ≤e 时，
若1≤x ＜a ，则()()()2
x a x a f x x +-'=<，
若a ＜x ≤e ，则()()()2
x a x a f x x +-'=>．
∴函数()2
a f x x x
=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．
∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥1e +，得a ≥1
2
e +， 又1≤a ≤e ，∴
1
2
e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()
2
0x a x a f x x +-'=
<，
∴函数()2
a f x x x
=+在
[]1e ，上是减函数．
∴()()2
min
a f x f e e e
==+⎡⎤⎣⎦.
由2
a e e
+≥1e +，得a
又a e >，∴a e >．
综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．。