盐城市2016届高三年级第三次模拟考试

盐城市2016届高三年级第三次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
参考公式
1．锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 为底面积,h 为高. 2．样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2
211()n i i s x x n ==-∑
1
1n i i x x n ==∑.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指
定位置上） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7,9}B =，C A B =，则集合C 的子集的个数
为 ▲ .
2．若复数z 满足(2)43i z i -=+（i 为虚数单位），则||z = ▲ .
3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ▲ .
4．已知一组数据12345,,,,x x x x x 的方差是2，则数据12345
2,2,2,2,2x x x x x 的标准差为 ▲ .
5．如图所示，该伪代码运行的结果为 ▲ .
6．以双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .
7．设,M N 分别为三棱锥P ABC -的棱,AB PC 的中点，三棱锥P ABC -的体积
记为1V ，三棱锥P AMN -的体积记为2V ，则
2
1
V V = ▲ . 8．已知实数,x y 满足约束条件1
52
x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤-⎩
，则2123y x -+的最大值为 ▲ .
9
．若())cos()()2
2
f x x x π
π
θθθ=+-+-
≤≤
是定义在R 上的偶函数，则
θ= ▲ .
10．已知向量,a b 满足(4,3)a =-，||1b =，||21a b -=，则向量,a b 的夹角为 ▲ . 11．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B
为圆心，
1
2
第5题图
为半径的圆内，则负数λ的最大值是 ▲ . 12．若函数3
1()12x
f x e x x =+-
-的图象上有且只有两点12,P P ，使得函数3()+m g x x x
=的图象上存在两点12,Q Q ，且1P 与1Q 、2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是
▲ .
13．若数列{}n a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数
为n b ，则得到一个新数列{}n b ．例如，若数列{}n a 是1,2,3,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n b 是0,1,2,,1,n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅. 现已知数列{}n a 是等比数列，且252,16a a ==，则数列{}n b 中满足2016i b =的正整数i 的个数为 ▲ .
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足2
2
b a a
c -=，
则
11
tan tan A B
-的取值范围是 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答
案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =,4a c +=． （1）当,,a b c 成等差数列时，求ABC ∆的面积； （2）设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．
16．(本小题满分14分)
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别
为棱,AB PC 的中点.
（1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .
17．(本小题满分14分)
一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的
边,BC CD 上分别取点,E F （不与正方形的顶点重合），连接,,AE EF FA ，使得45EAF ∠=︒. 现
拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF ∆部分规划为蜂巢区，CEF ∆部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为5
210⨯元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为5
10元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
P
B C D E 第16题图
F
18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，,P Q 为椭圆C 上两点，圆222
:(0)O x y r r +=>.
（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；
（2）若圆O
,P Q 满足3
4
OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.
19．(本小题满分16分)
已知函数()ln f x m x =（m R ∈）.
（1）若函数()y f x x =+的最小值为0，求m 的值；
（2）设函数2
2
()()(2)g x f x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； （3）试给出一个实数m 的值，使得函数()y f x =与1
()(0)2x h x x x
-=>的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.
C E
第17题图
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n a 满足1a m =，*12,21
(,),2n n n a n k a k N r R a r n k
+=-⎧=∈∈⎨
+=⎩，其前n 项和为n S .
（1）当m 与r 满足什么关系时，对任意的*
n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=？
（2）对任意实数,m r ，是否存在实数p 与q ，使得{}2+1n a p +与{}2n a q +是同一个等比数列？
若存在，请求出,p q 满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）当1m r ==时，若对任意的*
n N ∈，都有n n S a λ≥，求实数λ的最大值.
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数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的
指定区域内）
A .（选修4—1：几何证明选讲）
如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连
结FD .
求证：DEA DFA ∠=∠.
B .（选修4—2：矩阵与变换） 已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，求2
βM .
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
B
第21题（A ）图
已知直线l 的参数方程为12t x y t
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，试判断直线l 与曲线C
的位置关系.
D ．(选修4—5：不等式选讲）
已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求
123
x y z
++的最小值.
[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方
在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为
1
2
，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比
赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判. （1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望. 23．（本小题满分10分）
记2222
*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =++++
+≥∈（.
（1）求(2),(3),(4)f f f 的值；
（2）当*
2,n n N ≥∈时，试猜想所有()f n 的最大公约数，并证明.
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数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．8 2.
3.
89 4. 5. 11 6. 7. 14 8. 75
9. 3π- 10. 3π（或60︒） 11. 34- 12. {22e e -} 13. 2015
2 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）因为,,a b c 成等差数列，所以22
a c
b +==， …………2分
由余弦定理，得22222cos ()31634b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-=，解得4ac =， ……6分
从而1sin 22ABC S ac B ∆===. …………8分
（2）方法一：因为D 为AC 边的中点，所以1
()2
BD BA BC =+， …………10分
则2
22211
()(2)44
BD BA BC BA BA BC BC =
+=+⋅+ 22211
(2cos )(())44
c ac B a a c ac =++=+-144ac =- …………
12分
2
14()342
a c +≥-=，当且仅当a c =时取等号，
所以线段BD (14)
分
方法二：因为D 为AC 边的中点，所以可设AD CD d ==，
由cos cos 0ADB CDB ∠+∠=，得
222222
022BD d c BD d a d BD d BD
+-+-+=⋅⋅， 即222
2282
a c BD d ac d +=-=--， …………10分
又因为2222
2cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，
即2
4163d ac =-，所以2
3
44
d ac =-
， (12)
故2
21144()3442
a c BD ac +=-
≥-=，当且仅当a c =时取等号， 所以线段BD
(14)
分
16．证明：（1）取PD 的中点G ，连接,AG FG . ..............2分
因为,F G 分别是,PC PD 的中点， 所以//GF DC ，且1
2
GF DC =
， 又E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12
AE DC =，
所以//GF AE ，且GF AE =， 所以AEFG 是平行四边形，故//EF AG . ...............4分
又EF ⊂平面PAD ，AG ⊄平面PAD ，
所以//EF 平面
PAD . ...............6分
（说明：也可以取DC 中点，用面面平行来证线面平行） （2）因为PD ⊥底面ABCD ，EC ⊂底面ABCD ，
所以CE PD ⊥. ...............8分 取DC 中点H ，连接EH .
因为ABCD 是矩形，且2AB AD =，
所以,ADHE BCHE 都是正方形，
所以45DEH CEH ∠=∠=︒，即CE DE ⊥. ...............10分
又,PD DE 是平面PDE 内的两条相交直线，
所以CE ⊥平面PDE . ...............12分
而CE ⊂平面PEC ，所以平面PDE ⊥平面PEC . ...............14分
17．解：解法一：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .
则5
5
5
21010(1)10(1)T S S S =⨯⋅+⋅-=⋅+，从而只要求S 的最小值. ...............2分
设(045)EAB αα∠=︒<<︒，在ABE ∆中，因为1,90AB B =∠=︒，所以tan BE α=， 则11
tan 22
ABE S AB BE α∆=⋅=； ...............4分
又45DAF α∠=︒-，所以1
tan(45)2
ADF S α∆=︒-， ...............6分
所以111tan (tan tan(45))(tan )221tan S ααααα
-=+︒-=++， ...............8分
令tan (0,1)x α=∈，则111112
()()(1)212121
x x S x x x x x x --=+=-=+-+++ ...............10分
P A B C
D E
第16题图1
F
G
P B C
D E
第16题图2 F H
121[(1)2]2]1212
x x =++-≥=+， 当且仅当2
11
x x +=+
，即1x =时取等号. (12)
分
从而三个区域的总投入T
5
10元. ...............14分 （说明：这里S 的最小值也可以用导数来求解：
因为S '=
，则由0S '=
，得1x =.
当1)x ∈时，0S '<，S
递减；当1,1)x ∈时，0S '>，S 递增.
所以当1x =
时，S
取得最小值为1).）
解法二：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .
则55521010(1)10(1)T S S S =⨯⋅+⋅-=⋅+，
从而只要求S 的最小值. ...............2分 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系.
设直线AE 的方程为(01)y kx k =<<， 即tan k EAB =∠，因为45EAF ∠=︒， 所以直线AF 的斜率为1tan(45)1k
EAB k
+∠+︒=-， 从而直线AF 方程为11k
y x k
+=
-. ...............6分 在方程y kx =中，令1x =，得(1,)E k ，所以11
22
EAB S AB BE k ∆=⋅=；
在方程11k y x k +=-中，令1y =，得1(,1)1k F k -+，所以111221ADF k
S AD DF k ∆-=⋅=⋅+； 从而11(),(0,1)21k
S k k k
-=+
∈+. ...............10分
以下同方
法
一. ...............14分 解法三：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .
则5
5
5
21010(1)10(1)T S S S =⨯⋅+⋅-=⋅+，从而只要求S 的最小值. ...............2分
设,(0,45)DAF BAE αβαβ∠=∠=︒<<︒，则1
(tan tan )2
S αβ=+. ...............4分
因为9045EAF αβ+=︒-∠=︒，所以tan tan tan()11tan tan αβ
αβαβ
++==-， (8)
分
所以2
tan tan tan tan 1tan tan 1(
)2
αβαβαβ++=-≥-， (10)
分
即2
21S S ≥-
，解得1S ≥
，即S
取得最小值为1)，
从而三个区域的总投入T
510元. ...............14分
18．解：（1）因为椭圆C 的方程为22
143
x y +=，所以(2,0)A -，(1,0)F . ...............2分
因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2
P ±，而直线AP 与圆O 相切，
根据对称性，可取3
(1,)2P ， ...............4分 则直线AP 的方程为1
(2)2
y x =+，
即220x y -+=. ...............6分
由圆O 与直线AP
相切，得r =，
所以圆O 的方程为22
45x y +=. ...............8分
（2）易知，圆O 的方程为22
3x y +=. ①当PQ x ⊥轴时，2
34
OP OQ OP k k k ⋅=-=-，
所以2
OP k =±，
此时得直线PQ 被圆O
截得的弦长为7
. ...............10分
②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，112212(,),(,)(0)P x y Q x y x x ≠，
首先由3
4
OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=，
即121234()()0x x kx b kx b +++=，所以221212(34)4()40k x x kb x x b ++++= （*）.
(1)
2分
联立2214
3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222
(34)84120k x kbx b +++-=，
将2121222
8412,3434kb b x x x x k k
-+=-=++代入（*）式，得22
243b k =+. ……………14分
由于圆心O 到直线PQ
的距离为d =
，
所以直线PQ 被圆O
截得的弦长为l ==
故当0k =时，l
.
综上，7
>
，所以直线PQ 被圆O ……………16分
19．解：（1）由题意，得函数ln y m x x =+，
所以1m x m
y x x
+'=+=， ①当0m ≥时，函数y 在(0,)+∞上单调递增，此时无最小值，舍去； (2)
分
②当0m <时，由0y '=，得x m =-.
当(0,)x m ∈-，0y '<，原函数单调递减；(,)x m ∈-+∞，0y '>，原函数单调递增.
所以x m =-时，函数y 取最小值，即ln()0m m m --=，解得m e =-. ……………4分
（2）由题意，得22()ln (2)g x m x mx m x =+++，
则222(2)(2)(1)
()mx m x m x m mx g x x x
+++++'==， (6)
分
①当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0m <时，由()0g x '=，得2m x =-或1
x m
=-，
（A ）若m =，则1
2m m -
=-，此时()0g x '≤，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；
（B ）若0m <，则1
2m m -<-，
由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得1
0+2m x m ∈--∞（，）（，），
所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1
+m
-∞（，）上单调递减；
（C ）若m <1
2m m ->-，
同理可得，函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2
m
-∞（，）上单调递减.
综上所述，()g x 的单调区间如下：
①当0m ≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；
②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；
③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；
④当m <()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为10m -（，）与+2
m
-∞（，）. (10)
分
（3）1
2
m =符合题意. ……………12分
理由如下：此时1
()ln 2
f x x =
. 设函数()f x 与()h x 上各有一点111(,ln )2
A x x ，222
1
(,
)2x B x x -， 则()f x 以点A 为切点的切线方程为11111
ln 222
y x x x =+-，
()h x 以点B 为切点的切线方程为2222
21
22x y x x x -=+，
由两条切线重合，得2
12
2
1
21
122211ln 222x x x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩
（*）， (14)
分
消去1x ，整理得221ln 1x x =-
，即22
1
ln 10x x -+=， 令1()ln 1x x x ϕ=-+，得22111
()x x x x x
ϕ-'=-=，
所以函数()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1
+)∞，单调递增， 又(1)0ϕ=，所以函数()x ϕ有唯一零点1x =，
从而方程组（*）有唯一解12
1
1x x =⎧⎨=⎩，即此时函数()f x 与()h x 的图象有且只有一条公切线.
故1
2
m =符合题意. ……………
16分
20. 解：（1）由题意，得1a m =，2122a a m ==，322a a r m r =+=+，
首先由31a a =，得0m r +=. ……………2分
当0m r +=时，因为*12,21
(),2n n n a n k a k N a m n k
+=-⎧=∈⎨-=⎩，
所以13a a m ==⋅⋅⋅=，242a a m ==⋅⋅⋅=，故对任意的*
n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=. 即当实数,m r 满足0m r +=时，题意成立. (4)
分
（2）依题意，21221=2n n n a a r a r +-=++，则2121=2()n n a r a r +-++， 因为1=a r m r ++，所以当0m r +≠时，
{}
21n a r ++是等比数列，且
211=()2()2n n n a r a r m r +++=+.
为使{}21n a p ++是等比数列，则p r =.
同理，当0m r +≠时，22=()2n n a r m r ++，则欲{}22n a r +是等比数列，则2q r =. (8)
分
综上所述：
①若0m r +=，则不存在实数,p q ，使得{}21n a p ++与{}2n a q +是等比数列； ②若0m r +≠，则当,p q 满足22q p r ==时，{}21n a p ++与{}2n a q +是同一个等比数列. (10)
分
（3）当1m r ==时，由（2）可得2121n n a -=-，12=22n n a +-， 当2n k =时，12=22k n k a a +=-，
1223112(22+2)(22+2)3=322)k k k n k S S k k ++==+++++---……（，
所以n n
S
a =31
(1)22k k +--， 令122k k k
c +=-，则112121
1(1)22
02222(22)(22)
k k k k k k k k k k c c +++++++---=-=<----， 所以3
2
n n S a ≥，32λ≤， (13)
分
当21n k =-时，21=21k n k a a -=-，11222322)(22)234k k k n k k S S a k k +++=-=----=--（，
所以3421
n k
n S k
a =--，同理可得1n n S a ≥，1λ≤， 综上所述，实数λ的最大值为1. (16)
分
附加题答案
21. A 、证明：连结AD ，AB 是圆O 的直径，
90ADB ∴∠=，90ADE ∴∠=, ……………………4分
又EF FB ⊥，90AFE ∴∠=，所以,,,A F E D 四点共圆，
DEA DFA ∴∠=∠. (10)
分
B 、解：设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，
则由111
222M M αλααλα=⎧⎨=⎩可解得：120,2,1m n λλ====， (4)
分
又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
， ……………………6分
所以2222121122104(2)242012M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. (10)
分
C 、解：直线l 的普通方程为220x y --=；
曲线C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=，它表示圆. ……………………4分
由圆心到直线l 的距离2
d ==<，得直线l 与曲线C 相交. ……………………10分
D 、解：
123149
()(23)23x y z x y z x y z
++=++++ 234129181492233y z x z x y
x x y y z z
=++++++++
……………………4分
14≥+36=， （当且仅当1
6
x y z ===时等号成立）
所以123
x y z ++的最小值为36. (10)
分
22．解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为
13，也可能是丙当裁判，其概率为2
3
， 所以第3局甲当裁判的概率为11
214
33329
⋅+
⋅=. ……………………4分 （2）X 可能的取值为0,1,2. ……………………5分
2122
(0)3239
p X ==⋅⋅=； ……………………6分
112212121117
(1)()333323232327p X ==⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅=； ……………………7分
121114
(2)()3323327
p X ==⋅⋅+⋅=. (8)
分
所以X 的数学期望217425
()0129272727
E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………10分
23．解：（1）因为222
23
2341()(32)()(32)n n f n n C C C C n C +=++++
+=+，
所以(2)8,(3)44,(4)140f f f ===. ……………………3分
（2）由（1）中结论可猜想所有()f n 的最大公约数为4. ……………………4分 下面用数学归纳法证明所有的()f n 都能被4整除即可.
（ⅰ）当2n =时，(2)8f =能被4整除，结论成立； ……………………5分
（ⅱ）假设n k =时，结论成立，即3
1()(32)k f k k C +=+能被4整除，
则当1n k =+时，3
2(1)(35)k f k k C ++=+ 3322(32)3k k k C C ++=++
322111
(32)()(2)k k k k C C k C +++=++++ ……………………7分 322111
(32)(32)(2)k k k k C k C k C +++=+++++ 32
11(32)4(1)k k k C k C ++=+++，此式也能被4整除，即
1n k =+时结论也成立. 综上所述，所有()f n 的最大公约数为4. ……………………10分。