基于质量守恒边界条件的应力偶流体润滑动载轴承特性

摘要：基于应力偶流体理论和改进的 Elrod 空穴算法对动载轴承的润滑性能进行数值摸拟。求解质量守恒边界条件的动载 Reynolds 方程，结果表明：与 Reynolds 边界条件下的结果相比,采用质量守恒边界条件得到的平均进油流量与平均端泄流量 更加接近，更符合实际情况。数值求解基于质量守恒边界条件下，应力偶流体润滑的动载 Reynolds 方程，比较牛顿流体和应 力偶流体对轴承的最大油膜压力、最小油膜厚度和端泄流量的不同影响。结果表明：应力偶流体使得动载轴承的最大油膜压 力减小，最小油膜厚度明显增大，端泄流量减小，提高了动载轴承的承载能力。
0 前言*
1994 年 SPIKES[1]的试验表明：在轴承中加入 添加剂后可以改善摩擦副的润滑性能。STOKES[2] 指出这种由微小固体颗粒在粘性基液中混合形成的 悬浮液会表现出与牛顿流体不同的力学特性，其中 最主要的是流体中不仅存在柯西应力，而且存在应 力偶，应力张量为非对称性张量。电流变液、血液 和加入少量高分子添加剂的润滑油都是应力偶流体
关键词：动载轴承 应力偶流体 空穴 质量守恒边界条件
中图分类号：TH113
Performance of Dynamically Loaded Journal Bearing with Couple Stress Fluids Considering Mass-conserving Boundary Condition
ε ——轴承偏心率
ω ——轴颈角速度
得到方程式(7)的形式
( ) ( ) ∂
∂θ
⎛ ⎜⎝
K gψ
l,δ
∂α ∂θ
⎞ ⎟⎠
+
∂ ∂z
⎛ ⎜⎝
K
gψ
l,δ
∂α ∂z
⎞ ⎟⎠
=
( ) ( ) 6
∂ ∂θ
δα
∂ δα +12 ω∂t
(7)
( ) ( ) ψ l, h = h 3 −12l2h + 24l3 tanh h / 2l
第 46 卷第 15 期 2010 年 8 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.46 No.15 Aug. 2 0 1 0
DOI：10.3901/JME.2010.15.102
基于质量守恒边界条件的应力偶流体 润滑动载轴承特性*
张俊岩 王晓力
(北京理工大学机械与车辆工程学院 北京 100081)
∂t
)
(1)
式中
ψ(L,δ )
=δ 3
− 12L2δ
+
24L3
tanh
⎛ ⎜⎝
δ 2L
⎞ ⎟⎠
x ——轴承周向的展开方向
z ——轴承轴向的展开方向
ρ ——润滑油的密度
µav ——润滑油的平均粘度
δ ——油膜厚度 L ——应力偶流体中微结构的特征长度 p ——油膜压力
U ——轴颈表面上点的切向速度
t ——时间
求解方程式(7)时使用了以下边界条件。
油槽区
α = exp ⎡⎣( ps − pc ) / K ⎤⎦
α
z =0
=α
z
=
B R
= exp ⎡⎣( pa
−
pc ) / K ⎤⎦
(8)
104
机械工程学报
第 46 卷第 15 期期
式中 pa ——量纲一环境压力 pc ——量纲一空化压力 ps ——量纲一供油压力
ZHANG Junyan WANG Xiaoli
(School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081)
Abstract：Based on the couple stress fluid theory and the modified Elrod’s cavitation algorithm, the lubrication performance of dynamically-loaded journal bearings is numerically simulated. With the mass conserving boundary condition ,the Reynolds equation under dynamic loads is solved. Comparisons are made between the average inflow and the average leak flow. The results show that the average inflow and average leak flow based on the mass conserving boundary condition are equal, which is more agreeable with the fact. Comparisons are made between the Newtonian fluids and couple stress fluids for the effects on the oil film pressure, the minimum oil film thickness and the leak flow. It can be found that the couple stress fluids yield an obvious increase in the oil film thickness and the load capacity, but a decrease in the oil film pressure and the leak flow. Key words：Dynamically loaded journal bearing Couple stress fluids Cavitation Mass conserving boundary condition
油流经油槽四条边的代数和。设润滑油从油槽流入
为正，流出为负。则进油流量表达式为[10]
∫ qin
=2
2πψ(L,δ ) π 12µav
∂p ∂z
z = z1
Rdθ
+
∫ ∫ z2 ψ(L,δ )
z1 12µav
∂p R∂θ
θ =π
dz
−
z2 ψ(L,δ ) z1 12µav
∂p R∂θ
θ =2π
dz
+
(5)
式中， pc 为空化压力。
将式(3)、(5)代入式(1)，得到基于应力偶流体
模型和空化算法的广义 Reynolds 方程式
∂ ∂x
⎛ ⎜ ⎝
Kgψ ( L,δ
µ av
)
∂α ∂x
⎞ ⎟
+
⎠
∂ ∂z
⎛ ⎜ ⎝
Kgψ ( L,δ
µ av
)
∂α ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
6Rω
∂
(δα
∂x
)
+12
∂
(δα
∂t
∗ 国家自然科学基金(10872031)和教育部 111 创新引智计划资助项目。 20090906 收到初稿，20100318 收到修改稿
的典型例子。近年来，应力偶流体理论在润滑领域 中的应用得到广泛关注，取得了一系列重要的进展。 1999 年 MOKHIAMER 等[3]将应力偶流体理论应用 于稳载轴承润滑，2001 年王晓力等[4]结合应力偶流 体理论对动载轴承进行了分析。
)
(6)
定义量纲一参数 θ = x / R z = z/R
δ = δ C = 1 + ε cos(θ − φ )
l = L / C K = KC 2 / µav R2ω 式中 θ ——轴承上任一点与固定坐标轴 X 所成
角度 φ ——连心线负方向与固定坐标轴 X 所成
角度
R ——轴承半径
C ——轴承间隙
模型和空化算法的广义reynolds方程式oz6r型1211基于质量守恒边界条件下应力偶流体模型的reynolds方程定义量纲一参数王晓力等4推导的应力偶流体模型的reynolds方程式为aavaz角度础掣ox化掣af角度式中舭j旬312l2艿24ftanh轰r轴承半径石轴承周向的展开方向c轴承间隙轴承轴向的展开方向占轴承偏心率p润滑油的密度60轴颈角速度得到方程式7的形式润滑油的平均粘度万油膜厚度三应力偶流体中微结构的特征长度p油膜压力u轴颈表面上点的切向速度t时间矿万i31212h2413tanhh21根据elrod提出的质量守恒空化理论轴承中求解方程式7时使用了以下边界条件
∫ z2 z1
U 2
⎛δ ⎜⎜⎝
θ =2π
2
−
δ
θ =π
2
⎞ ⎟⎟⎠
dz
(14)
2 数值计算方法
文献[4-6]对空穴压力的计算都是采用交替方
向隐格式，本文通过对时间项向后差分，并采用超
松驰迭代的方法求得 α 及 p 的分布，如求某一时刻 tk 的压力分布时，每迭代一次后，根据所得的 α 分 布更新一次 g ，直到 α 收敛，从而得到该时刻的αk 及 pk 的分布。
1.2 轴颈运动方程
图 1 为应力偶流体润滑的动载轴承及其坐标系 统。 F 为作用于轴颈的动载荷， Fb 为油膜反力，φ 为连心线负方向与固定坐标轴 x 所成角度，φl 和φ0 分别为 Fb 和 F 的方位角。
端泄流量为
∫ qleak
=
−
Cω R 2 6
2π 0
ψ
l,
h
⎛ ⎜⎝
∂p ∂z
⎞ ⎟⎠ z= B/R
(9) −F sin(φ0 − ϕ ) − Fb sin(φl − φ ) = m(−Cεφ − 2Cεφ )
(10) 式中 m—— 轴颈质量
ε ， ε —— ε 的一阶和二阶时间导数
φ ， φ —— φ 的一阶和二阶时间导数
1.3 油膜承载力
Fb = Fξ2 + Fζ2
φ1 =
arcsin
⎛ ⎜⎝
根据 Elrod 提出的质量守恒空化理论，轴承中 润滑油是略带有可压缩性的，因此可通过定义润滑
油体积模量 Κ ，建立密度与油膜压力的关系
K = ρ ∂p
(2)
∂ρ
定义密度比
α= ρ
(3)
ρc
式中， ρc 为空化压力下润滑油的密度。
在空化区，压力恒等于空化压力，润滑油膜为
条束状的 Couette 流。为了使油膜区和空化区的数
Fξ F
⎞ ⎟⎠
+
φ
(11)
∫ ∫ Fζ
=
−
µ
avω R 4 C2
B/R 2π pcos (θ − φ ) dθ dz
00
(12)
∫ ∫ Fξ
=
−
µ
avω R 4 C2
B/R 0
2π psin (θ − φ ) dθ dz
0
(13)
1.4 进油流量与端泄流量
如图 2 所示，任一时刻 tk 的进油流量等于润滑
dθ
(15)
当 l = 0 时， qleak 为牛顿流体的端泄流量。
根据以上流量定义，进油流量和端泄流量相等
时就可以满足流量守恒。
图 2 轴承及油槽展开图
图 1 动载轴承的物理模型及坐标系统
轴颈中心的运动服从牛顿第二定律，它在连心 线方向ζ 及其正交方向ξ 上(图 1)的投影分别为
−F cos(φ0 − ϕ ) − Fb cos(φl − φ ) = m(−Cε + Cεφ 2 )
学模型统一起来，在压力—密度的关系式(2)中引入
开关函数，即
gK = ρ ∂p = α ∂p ∂ρ ∂α
(4)
g
(α
)
=
⎧0 ⎨
⎩1
α <1 α ≥1
g(α ) 具有双重含义：在油膜区， α ≥ 1表示润滑油
密度比，而在空化区， α < 1则表示油膜体积分数。
对式(4)积分，可得
p = pc + gK lnα
月 2010 年 8 月
张俊岩等：基于质量守恒边界条件的应力偶流体润滑动载轴承特性
103
合，而这个条件在气泡再形成的初级阶段和溃灭的 最后阶段几乎是不可能达到的。而质量守恒边界条 件(JFO 边界理论[6])不仅满足油膜破裂边界质量守 恒，并且满足再形成边界处质量守恒。1981 年 ELROD[7]通过一个开关函数在数值计算过程中自 动确定动态的油膜边界。1986 年 BREWE[8] 将质量 守恒边界条件所得结论与试验数据进行了对比，结 果吻合得很好。在目前已发表的有关文献中，如 1989 年 VIJAYARAGHAVAN 等[9] 和 1990 年 ROHIT 等[10]对 Elrod 算法进行了改进，采用交替方向隐格 式(Alternating direction implicit, ADI)，对稳载和动 载轴承进行了数值计算。2006 年苏荭等[11]对不可压 缩的流体的空穴进行了研究。以上研究主要是针对 牛顿流体。本文基于质量守恒边界条件，对应力偶 流体润滑的有限长动载轴承性能进行了数值模拟， 结合 Elrod 算法并对时间项作向后差分处理，采用 超松弛迭代的方法，求得压力分布。考察牛顿流体 和应力偶流体对动载轴承的最小油膜厚度、最大油 膜压力和端泄流量的不同影响。
径向滑动轴承在几何间隙发散区，会产生油膜 空穴。目前，对油膜边界条件的描述最常用的为雷 诺边界条件，在计算中它采用负压力归零的方法来 逐渐逼近破裂边界。该条件应用在油膜破裂处较合 理，但无法正确解释油膜再形成时的情况。1965 年 OLSSON[5]的研究结果证明：雷诺条件仅适用于油 膜破裂边界的移动速度小于轴颈线速度一半的场
1 数学模型
1.1 基于质量守恒边界条件下应力偶流体模型的
Reynolds 方程
王晓力等[4]推导的应力偶流体模型的 Reynolds
方程式为
∂ ∂x
⎛ ⎜ ⎝
ρΨ ( L,δ
µav
)
∂p ∂x
⎞ ⎟ ⎠
+
∂ ∂z
⎛ ⎜ ⎝
ρΨ ( L,δ
µav
)
∂p ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
6U
∂
( ρδ
∂x
)
+
12
∂
( ρδ