安徽省阜阳市界首中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题 数学【含答案】

安徽省阜阳市界首中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题
数学
第I 卷（选择题)
一、单选题(每小题5分，满分60分) 1．与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120-
B ．0420
C ．0660
D ．0280
2．下列命题正确的是（ ） A ．若||0a =，则0a = B ．若||||a b =，则a b = C ．若||||a b =，则//a b
D ．若//a b
，则a b =
3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A ．1或5
B ．1或2
C ．2或4
D ．1或4
4．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A ．1000名学生是总体
B ．每名学生是个体
C ．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
D ．样本的容量是100
5．如果1cos 5α=
，且α是第四象限角，那么cos 2πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值是（ ）
A ．
1
5 B ．15
-
C ．
26
D ．26
-
6．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．1
B ．
12
C ．
56
D ．
3766
7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学成果，该校为学
生举行了一次网上匿名测试.已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，且成绩在[70,80)间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m ，则
A. a=0.05，m=40
B.a=0.05，m=80
C.a=0.005，m=40
D.a=0.005，m=80
8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
x （单位:c ）
17
14 10 1-
y (单位：度)
24 34
38
a
由表中数据得线性回归方程：260y x =-+.则a 的值为 A ．48
B ．62
C ．64
D ．68
9．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin(2)3
y x π
=-的图象( )
A ．向右平移3π
个单位 B ．向左平移6
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向右平移
23
π
个单位 10．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 12．已知函数
均为正的常数)的最小正周期为，当 时，函
数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
第II 卷（非选择题)
二、填空题(每小题5分，满分20分)
13．化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.
14．在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin ,cos 33P ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，则
()cos πα+=________.
15．在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，则质点落在离4个顶点的距离都大于1的概率为 .
16．已知函数()f x =Asin (ωx +φ)(其中A >0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点5(,0)12
M π
对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3
N π
-，则对于下列判断： ①直线2
x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点(,0)12
M π
-
是函数()f x 的一个对称中心；
③函数1y =与()y f x = (11(,
)1212x ππ
∈-)的图象的交点的横坐标之和为6
π.
其中判断正确的是__________.
三、解答题(17题10分，其余每题12分，满分70分)
17．（1）化简：23sin ()cos()
tan()cos ()tan(2)
αππαπααπαπ+++--⋅--.
（2）已知1
sin()2πα+=，求cos sin(2)tan()
απααπ---的值.
18．如图，在OCB ∆中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2：1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =.
（1）用,a b 表示向量OC ，DC ； （2）若OE OA λ=，求λ的值.
19．企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳， 年份
2014
2015
2016
2017
2018
t 1 2 3 4 5 y
270
330
390
460
550
某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y （单位：元）与年份序号t 的统计如下表：
（1）求出t 关于t 的线性回归方程y bt a =+； （2）试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
20．已知函数π()2sin 16f x x ωϕ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝
⎭(0π,0)ϕω<<>为偶函数，且函数()f x 的图象的两相邻对称轴间
的距离为
π
2
. （1）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）将函数()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间.
21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x 的值； （2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
22．如图是函数()()(0,0,)2
f x Asin x A ωϕωϕπ
=>≤+>的部分图象.
（1）求函数()f x 的表达式；
（2）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<<，求在[0,2]π内的所有实数根之和； （3）把函数()y f x =的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
23
π
个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数()y g x =的图象．若对任意的03m ≤≤，方程||()g kx m =在
区间50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上至多有一个解，求正数k 的取值范围．
第I 卷（选择题)
一、单选题(每小题5分，满分60分) 1．与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420 C ．0660 D ．0280
【答案】C 【解析】
与0420-角终边相同的角为：0
360420()n n Z ⋅-∈， 当3n =时，0003360420660⨯-=． 故选C ．
2．下列命题正确的是（ ） A ．若||0a =，则0a = B ．若||||a b =，则a b = C ．若||||a b =，则//a b D ．若//a b
，则a b =
【答案】A 【解析】
模为零的向量是零向量，所以A 项正确；
||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，
所以B ，C 均错；
a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D 错. 故选：A.
3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2
，则其圆心角的弧度数是（ ） A ．1或5 B ．1或2
C ．2或4
D ．1或4
【答案】D 【解析】
设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2
26
1 2.2
r r r αα+=⎧⎪
⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩， 故选D.
4．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A ．1000名学生是总体
B ．每名学生是个体
C ．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
D ．样本的容量是100
【答案】D 【解析】
根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，
根据答案可得：而选项A 、B 表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A 、B 都错误． C 每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体． D ：样本的容量是100正确． 故选D ． 5．如果1cos 5α=
，且α是第四象限角，那么cos 2πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值是（ ）
A ．
1
5 B ．15
-
C ．
26
5
D ．26
【答案】C 【解析】 解：1
cos 5
α=
，且α是第四象限角， 22
sin 0,
126sin 1cos 155ααα<⎛⎫=-=-=-
⎪⎝⎭
26cos sin 25παα⎛
⎫+=-=
⎪⎝⎭
故选：C
6．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A．1 B．1
2
C．
5
6
D．
37
66
【答案】D 【解析】
解：第一个循环，
1
2
S=，1
i=，执行否；
第二个循环，
5
6
S，2
i=，执行否；
第三个循环，
37
66
S=，3
i=，结束循环，输出S的值
故答案选：D.
7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学成果，该校为学生举行了一次网上匿名测试.已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，且成绩在[70,80)间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，则
B.a=0.05，m=40 B.a=0.05，m=80
C.a=0.005，m=40
D.a=0.005，m=80
【答案】C
【解析】
8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：c）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
x （单位:c ）
17 14 10 1-
y (单位：度)
24 34
38
a
由表中数据得线性回归方程：260y x =-+.则a 的值为 A ．48 B ．62
C ．64
D ．68
【答案】C 【解析】 样本平均数为()()1196171410110,243438444a x y a +=
++-==+++=，即样本中心9610,4a +⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则线性回归方程260y x =-+过9610,4a +⎛⎫
⎪⎝
⎭，则
9620604a +=-+，解得64a =，即a 的值为64，故选C.
9．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin(2)3
y x π
=-
的图象( )
A ．向右平移3π
个单位 B ．向左平移6
π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移
23
π
个单位 【答案】A 【解析】
原函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 新函数55sin 2cos 2cos 2cos 2332612y x x x x πππππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 则函数图象需要向右平移：54123
πππ
π⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦个单位. 本题选择A 选项.
10．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
连接AO ，由O 为BC 中点可得，
1()222
m n
AO AB AC AM AN =+=+，
M 、O 、N 三点共线，
122
m n
∴
+=， 2m n ∴+=.
故选：C.
11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】
解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
12．已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为，所以
因为当时，函数取得最小值，所以，所以
所以
所以
且，且在上单调递减，所以
综上，
所以选A.
第II 卷（非选择题)
二、填空题(每小题5分，满分20分)
13．化简：AB DA BD BC CA ++--=__________. 【答案】AB 【解析】
原式=()0AB BD DA BC CA BA AB ++-+=-=. 故答案为：AB
14．在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin
,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则()cos πα+=________.
【答案】3
【解析】
解：由题意知，2231sin ,cos 332P P ππ⎫⎛
⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，则P 到原点的距离为1， 3cos α∴=
()3
cos cos παα+=-=故答案为: 3
. 15．在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，则质点落在离4个顶点的距离都大于1的概率为 . 【答案】14
π
-
【解析】
在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点， 以四个顶点为圆心，1为半径作圆，
当质点在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π， 边长为2的正方形的面积为4，
∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为4144
P ππ
-=
=-. 16．已知函数()f x =Asin (ωx +φ)(其中A >0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点5(
,0)12
M π
对称，且与点M 相
邻的一个最低点为2(
,3)3
N π
-，则对于下列判断： ①直线2
x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点(,0)12
M π
-
是函数()f x 的一个对称中心；
③函数1y =与()y f x = (11(,
)1212x ππ
∈-)的图象的交点的横坐标之和为6
π.
其中判断正确的是__________. 【答案】② 【解析】 由题可知523,
41234
T A πππ==-=, ∴T π=,又2π
πω
=,2ω∴=,
由N (
2,33π
-) ∴23232
ππϕ⨯+=,∴6π=ϕ,
故()3sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. ①当x =2π时,sin 2sin 266πππ⎛⎫
⨯+=-≠ ⎪
⎝
⎭±1, ∴直线x =2
π
不是函数f (x )图象的一条对称轴. ② 3sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, ∴点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数f (x )的一个对称中心. ③在第一个周期内函数y =1与y =f (x )图象的所有交点的横坐标之和541212
221236
π
π
πππ-
+
⨯==≠. 故答案为:②
三、解答题(17题10分，其余每题12分，满分70分)
17．（1）化简：
2
3
sin()cos()
tan()cos()tan(2)
αππ
α
πααπαπ
++
+--⋅--
.
（2）已知
1
sin()
2
πα
+=，求
cos
sin(2)
tan()
α
πα
απ
--
-
的值.
【答案】（1）1
-；（2）2
【解析】
（1）原式
()
()()
22
3
3
sin cos sin cos
1
sin sin
tan cos tan cos
cos cos
αααα
αα
αααα
αα
⋅-⋅
==-=-
⋅-⋅-⋅⋅
（2）由()
11
sinπsin,sin
22
ααα
+=-==-，所以22
3
cos 1sin
4
αα
=-=，
()
()
cos
sin2π
tanπ
α
α
α
--
-
cos
sin
tan
α
α
α
=--
2
cos cos
sin sin
sin sin
cos
αα
αα
αα
α
=--=--
3
14
2
1
2
2
=+=
18．如图，在OCB
∆中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA a
=，OB b
=.
（1）用,a b表示向量OC，DC；
（2）若OE OA
λ
=，求λ的值.
【答案】（1）2
OC a b
=-，
5
2
3
DC a b
=-（2）
4
5
λ=
【解析】
（1）因为点A是BC的中点，所以
1
()
2
OA OB OC
=+，所以22
OC OA OB a b
=-=-，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以
2
3
OD OB
=，
所以
25
(2)2
33
DC OC OD a b b a b
=-=--=-.
（2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC
μ
=，
又(2)(2)EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--，523
DC a b =-，所以5(2)23a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝
⎭
,
又,a b 不共线，则225
13
λμ
μ-=⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得45λ=. 19．企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳， 年份
2014 2015 2016 2017 2018 t 1 2 3 4 5 y
270
330
390
460
550
某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y （单位：元）与年份序号t 的统计如下表：
（1）求出t 关于t 的线性回归方程y bt a =+； （2）试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
（注：()()
()
1
1
2
2
21
1
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i t y nt y t
t
y y b t
n t
t
t
====-⋅--=
=
---∑∑∑∑，a y bt =-，其中
5
1
6440i i
i t y
==∑）
【答案】（1）44268y t =+；（2）7200元． 【解析】 （1）3t =,()1
2703303904605504005
y =
++++=, 64405340044149162559
b -⨯⨯==++++-⨯,
400443268a y bt ∴=-=-⨯=,
故44268y t =+；
（2）由题意,因为2019年该员工的月平均工资决定2020年企业需为该员工缴纳社会保险,故取7t =, 故447268576y =⨯+=,
故2019年度月平均工资是5760.087200÷=（元）.
20．已知函数π()2sin 16f x x ωϕ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝
⎭(0π,0)ϕω<<>为偶函数，且函数()f x 的图象的两相邻对称轴
间的距离为π
2
. （1）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）将函数()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 【答案】（1）π218f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2π8π4π,4π+(Z)33k k k ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦. 【解析】
（1）因为()f x 为偶函数，所以πππ(Z)62k k ϕ-
=+∈，所以2ππ(Z)3k k ϕ=+∈.又0πϕ<<，所以2π3
ϕ=，所以π()2sin 12cos 12f x x x ωω⎛
⎫=++=+ ⎪⎝
⎭.
有函数 ()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2
，所以2ππ
22T ω==⨯， 所以2ω=，所以()2cos 21f x x =+， 所以ππ2cos 212188f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后，得到函数π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，再将所得图象上各点的横坐标
伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的图象，
所以πππ()2cos 212cos 1464623x x x g x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
当π
2π2ππ(Z)23
x k k k ≤-≤+∈， 即2π8π
4π4π+(Z)33
k x k k +
≤≤∈时，()g x 单调递减. 所以函数()g x 的单调递减区间是2π8π4π,4π+(Z)33k k k ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦. 21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x 的值； （2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4 【解析】
解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x ）×10=1，解得x =0.02． （2）中位数设为m ，则0.05+0.1+0.2+（m -70）×0.03=0.5，解得m =75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a 1，a 2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b 1，b 2，b 3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A ， 基本事件有（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2）， （a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个，A 包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P （A ）=0.4．
22．如图是函数()()(0,0,)2
f x Asin x A ωϕωϕπ
=>≤+>的部分图象.
（1）求函数()f x 的表达式；
（2）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<<，求在[0,2]π内的所有实数根之和； （3）把函数()y f x =的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
23
π
个单位，再把纵坐标伸长为原
来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数()y g x =的图象．若对任意的03m ≤≤，方程||()g kx m =在区间50,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上至多有一个解，求正数k 的取值范围． 【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（2）答案不唯一，具体见解析（3）105k ≤＜
【解析】
解：（Ⅰ）由图可知：51,
2632
T A πππ==-=，即T π=， ()()2,sin 2f x x ωϕ∴=∴=+又由图可知：,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是五点作图法中的第三点，
23π
ϕπ∴⨯
+=，即()3,sin 23f x x πϕ⎛
⎫=∴=+ ⎪⎝
⎭．
（Ⅱ）因为23f x sin x π
=+（
）（）的周期为π，23
f x sin x π
=+（）（）在[0]2π，
内恰有2个周期. ⑴当3
2
a 0＜时，方程23sin
x a π+=（）在[]0,2π内有4个实根， 设为12x x 、34x x 、、，结合图像知1276x x π+= 34196
x x π
+=， 故所有实数根之和为
133
π
； ⑵当3
=
2
a 23sin
x a π+=（）在[]0,2π内有5个实根为70266ππππ，，，，， 故所有实数根之和为
133
π
； ⑶当
3
1
2
a ＜时，方程23sin x a π+=（）在[]0,2π内有4个实根， 设为12x x 、34x x 、、，结合图像知126
x x π
+= 34136
x x π
+=
， 故所有实数根之和为
73
π
； 综上：当3
2
a ≤
0＜时，方程23sin x a π+=（）所有实数根之和为133π ；
当3
1
2
a
＜＜时，方程2
3
sin x a
π
+=
（）所有实数根之和为
7
3
π
；
（Ⅲ）21
3
g x sin x
π
=+
（）（﹣），
函数||
y g x
=（）的图象如图所示：
则当||
y g x
=（）图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，
所以
1
5
k≤
＜．。