高二数学推理与证明试题答案及解析

高二数学推理与证明试题答案及解析
1.某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：
；
；
；
．
请你观察这四个不等式：
（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；
（2）证明你的结论．
【答案】（1）；（2）证明详见解析.
【解析】（1）观察所给的四个不等式，左边第一、第二个括号均为两个数的平方和，然后乘积，而右边恰是左边两个括号中的第一个数相乘加上第二个数相乘之后再平方，进而得到一般性的结论；（2）应用分析法，将要证明的不等式展开消去相同的项，最后得到一个完全平方，命题即可得以证明.
试题解析：（1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）（2）证明：要证
只要证
只要证
只要证
∵，∴显然成立
∴原命题得证.
【考点】1.归纳推理；2.分析法.
2.已知通过观察上述不等式的规律，则关于正数满足的
不等式是 .
【答案】
【解析】观察已知式子可知不等式右边根号下面前面一个数都是2，后面一个是前两个的和。

【考点】推理与证明.
3.因为无理数是无限小数，而是无理数，所以是无限小数．属于哪种推理（）
A．合情推理B．类比推理C．演绎推理D．归纳推理
【答案】C
【解析】根据题意，由于无理数是无限小数这是大前提，而是无理数是小前提，则可知结论为
是无限小数，可知结论为C.
【考点】演绎推理
点评：主要是考查了演绎推理的概念的运用，属于基础题。

4.正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，类似地正四面体的中心
与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为( )。

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由于正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，
利用余弦定理，那么可知正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为
，故可知结论为D.
【考点】类比推理
点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

5.用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是
A．B．
C．且D．或
【答案】D
【解析】反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

所以，用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是或，选D。

【考点】反证法，不等式的性质
点评：简单题，反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

6.下列表述正确的是
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
【答案】D
【解析】由归纳推理，演绎推理，类比推理的定义，知，归纳推理是由部分到整体的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理.正确，即选D.
【考点】归纳推理，演绎推理，类比推理。

点评：简单题，关键是理解归纳推理，演绎推理，类比推理。

的概念。

7.已知a，b，c都是正数，则三数（）
A．都大于2B．都小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】假设，则
而，所以矛盾，则三数至少有一个不
小于2。

故选D。

【考点】反证法
点评：反证法是先假设结论的反面成立，再进行反驳。

当结论无法从正面得到证明时，常用此种方法。

8.公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列，且公比
为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为________
【答案】300
【解析】由等比数列{b
n }中，若T
n
是数列{b
n
}的前n项积，则有仍成等比数列，且公比
为4100；
我们可以类比推断出：S
20-S
10
，S
30
-S
20
，S
40
-S
30
也构成等差数列，公差为100d=300；
故答案为300。

【考点】归纳推理，等差数列、等比数列的基础知识。

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的
性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

9.设，用反证法证明：
【答案】对于正面难证明的运用反证法来证明，先否定结论，然后在此基础上推理论证得到矛盾。

【解析】证明：假设，由于所以
=
，由此得，这是不可能的。

故原不等式成立。

【考点】反证法
点评：主要是考查了运用反证法来证明不等式的运用，属于基础题。

10.设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
【答案】
【解析】观察
各式的右端，结论是：分式，分子均为x，分母是一次式，常数项依次为2,4,8,16，所以，应为，x的系数为1,3,7,15，所以应为－1，故答案为。

【考点】归纳推理。

点评：简单题，注意观察所给式子的结构特点，归纳出一般结论。

11.用反证法证明：如果，那么。

【答案】如下
【解析】证明：假设，则
容易看出，下面证明.
要证明：成立，
只需证：成立，
只需证：成立，
上式显然成立，故有成立.
综上，，与已知条件矛盾.
因此，.
【考点】反证法
点评：反证法是从要证明的结论的反面入手，当否定了反面，正面就能成立。

当问题从正面无法解决时，常用反证法。

12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A．289B．1024C．1225D．1378
【答案】C
【解析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．解：由图形可得三角形数构成的数列通项a
n
= (n+1)，同理可得正方形数构成的数列通项
b n =n2，则由b
n
=n2（n∈N
+
）可排除D，又由a
n
=(n+1)，(n+1)=289与(n+1)=1024无正整数
解，故选C
【考点】数列的递推关系
点评：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题
13.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除
【答案】B
【解析】要证明的结论：a，b中至少有一个能被5整除的反面是a，b都不能被5整除，因此应该假设a，b都不能被5整除
【考点】反证法
点评：反证法求解证明题的步骤：假设要证明的结论的反面成立，从假设出发得到矛盾，否定假设肯定原结论成立
14.用分析法证明：.
【答案】根据无理根式可知，采用分析法的思想，执果索因，从而得到证明。

【解析】根据题意，要证明成立，即需证明
，两边平方可知,再平方可知为3>0显然成立故命题得证。

【考点】分析法
点评：主要是考查了分析法证明不等式，寻找结论成立的充分条件即可，属于基础题。

15.观察下列等式：, ,
,…, 照此规律，
计算（N）.
【答案】（Ｎ）
【解析】观察等式：, ,
,…,可以发现：等号右边是四个因子的乘积，（Ｎ）。

【考点】本题主要考查归纳推理。

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．解题时要注意观察，善于总结．
16.命题“对于任意角”的证明：
“”过程应( )
A．分析法B．综合法C．综合法、分析法结
合使用
D．间接证法
【答案】B
【解析】由于综合法是从条件入手，推出结论，那么命题“对于任意角”的证明：应当“满足时，根据现有的结
论公式推理得到，故是综合法，选B.
【考点】综合法
点评：主要是考查了综合法来证三角恒等变换的运用，属于基础题。

17.下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法
是间接证法；⑤反证法是逆推法。

正确的语句有是__________(填序号)。

【答案】①②③
【解析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法
的定义可得，⑤不正确解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证
法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故选①②③
【考点】综合法、分析法、反证法的定义
点评：本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．
18.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数”，
下列条件假设中正确的是
A．假设都不是偶数B．假设都是偶数
C．假设中至多有一个偶数D．假设中至多有两个偶数
【答案】A
【解析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根
据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可。

解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定“都不是”．，即假设正
确的是：假设a、b、c都不是偶数，故选A
【考点】反证法
点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些
19.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则
；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积
【答案】
【解析】类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形
的内切圆可以类比为四面体的内切球．解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三
棱锥体积，故应填写。

【考点】类比推理
点评：类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理
的结果不一定是正确的，需要证明．
20.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假
设的内容应为 ( )
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除
【答案】B
【解析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出
此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其
否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”
的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为B
【考点】反证法
点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．21.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推
理出错在
A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错
【答案】A
【解析】解：大前提是：任何实数的平方都大于0，是错误的，因此说推理后的结果也不正确。

22.当时，有；当时，有；
当时，有；
当时，有；
当时，你能得到的结论是： .
【答案】
【解析】观察可得。

23.若依此类推，第个等式
为.
【答案】
【解析】略
24.（本小题满分14分）
观察下列三个三角恒等式
（1）
（2）
（3）
的特点，由此归纳出一个一般的等式，使得上述三式为它的一个特例，并证明你的结论
（说明：本题依据你得到的等式的深刻性分层评分．）
【答案】以下给出两个层次解答供参考．
等式一：若，且，则................................................ （4分）
证明如下：
因为，所以........................................ （6分）即........................................................... （8分）
所以........................................... （10分）
即
移项得......................................... （12分）
等式二：若，则.................................. （6分）
证明如下：
因为................................................. （10分）
所以..................................... （12分）
即
移项得............................ （14分）
【解析】略
25.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．都是奇数B．都是偶数
C．中至少有两个偶数D．中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
【解析】略
26.用数学归纳法证明“对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值
应取（）
A．1B．3C．6D．10
【答案】C
【解析】略
27.在平面三角形中，若的三边长为，其内切圆半径为，有结论：的面积
，类比该结论，则在空间四面体中，若四个面的面积分别为，其内切球半径为，则有相应结论：____ ______.
【答案】
【解析】略
28.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理出错在
A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错
【答案】A
【解析】解：大前提是：任何实数的平方都大于0，是错误的，因此说推理后的结果也不正确。

29.下列推理过程属于演绎推理的为（）
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人
体试验
B．由得出
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点
D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列
【答案】D
【解析】分析：根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定
义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理．
解答：解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，
故A中推理为类比推理；
∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n-1）=n2，
是由特殊到一般
故B中推理为归纳推理；
∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，
故C中推理为类比推理；
∵由通项公式形如a
n =cq n（cq≠0）的数列{a
n
}为等比数列（大前提），数列{-2n}满足这种形式
（小前提），则数列{-2n}为等比数列（结论）
可得D中推理为演绎推理．
30.根据右边给出的数塔猜测1234569+8=（）
【答案】C
【解析】略。