高考文科数学《函数与方程》课件

点 拨： 已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式
(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
(1)函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a
的取值范围是( )
A．(1，3)
B．(1，2)
类型四 二分法求函数的零点
已知自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0 10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
则方程 2x＝x2 的一个根位于区间( )
函数 y＝f(x)
．
由 此 可 知 ， 求方 程 f(x)＝ 0 的 实 数 根， 就 是 确定 函 数 y ＝ f(x)的
________．一般地，对于不能用公式求根的方程 f(x)＝0 来说，我们可以
将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程
的根．
2．函数的零点存在性定理
(1)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )
A.－14，0
B.0，14
C.14，12
D.12，34
解：因为 f(x)＝ex＋4x－3，所以 f′(x)＝ex＋4>0.
所以 f(x)在其定义域上是单调递增函数．
因为 f－14＝e－14－4<0，f(0)＝－2<0， f14＝e14－2<0，f12＝e12－1>0，
所以 f14·f12<0，所以 f(x)的零点所在区间为14，12.故选 C.
(2)(2017·唐山摸底)设 x0 是方程13x＝ x的解，则 x0 所在的范围是(
)
A.0，13
B.13，12
C.12，23
D.23，1
解：构造函数 f(x)＝13x－ x，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因 为 f(0)＝130－ 0＝1>0，
C．(0，3)
D．(0，2)
解：因为函数 f(x)＝2x－2x－a 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即 a(a－3)＜0，所以 0＜a＜3.故选 C.
(2)(2017·焦作二模)已知函数 f(x)＝exx2，＋xa≤x＋0，1，x>0， F(x)＝f(x)－x－1，
B．5
C．6
D．7
解：由 f(x)＝xcosx2＝0，得 x＝0 或 cosx2＝0.又 x∈[0，4]，所以 x2∈[0，
16]．由于 cosπ2 ＋kπ＝0(k∈Z)，而在2π＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有π2 ，
32π，52π，7π2 ，92π满足在[0，16]内，故零点个数为 1＋5＝6.故选 C.
A．(0.6，1.0)
B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2)
D．(2.6，3.0)
解：令 f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为 f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24， f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令 h(x)＝2x－x2，则 h(1.8)>0，h(2.2)<0. 故选 C.
a<b<c，则 f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，
可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选 A.
点 拨： 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定 理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0. 若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的 零点可能不惟一，不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数 图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．
观察图象可以发现它们有 4 个交点，即函数 y＝f(x)－log3|x|有 4 个
零点．故选 B.
点 拨： 判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的
性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．
(1)函数 f(x)＝xcosx2 在区间[0，4]上的零点个数为( )
A．4
1．函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的 图象与 x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)＝0 的实根个数)的方法： (1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数，一般由对应的二次方程 f(x)＝0 的判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0 来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数 的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断． (2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还 必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题． (3)若函数 f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数， 又 f(a)·f(b)＜0，则 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
即(－3a＋3)(a＋3)<0，解得 a<－3 或 a>1.故选 A.
(2)函数 f(x)＝lnx－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
解：函数 f(x)的零点，即关于 x 的方程 lnx－x－a＝0 的实根，将方程 lnx－ x－a＝0 化为方程 lnx＝x＋a，令 y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线 y2 ＝x＋a 与曲线 y1＝lnx 相切时有 a＝－1 如图所示，若关于 x 的方程 lnx－x－a ＝0 有两个不同的实根，则实数 a 的取值范围是(－∞，－1)．故选 B.
函数与方程
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使
的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的________，也是函数 y＝f(x)的
图象与 x 轴的_________．
(2)函数有零点的几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根
函数 y＝f(x)的图象与 x 轴
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
，那么，函数 y＝f(x)在区间
内有零点，即
存在 c∈
，使得
，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见 2.4 节“考
点梳理”5)
自查自纠：
1．(1)f(x)＝0 实数根 交点的横坐标
所以 f(x)有且只有一个零点．故填 1.
函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数 a
的取值范围是________．
解：因为函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)
(1－a)<0，解得13<a<1，所以实数 a 的取值范围是13，1.故填13，1.
且函数 F(x)有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．(－∞，1)
D．(0，＋∞)
解：当 x≤0 时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单 调递减且 F(0)＝0，此时函数 F(x)有且仅有 1 个零点为 0.当 x>0 时， F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数 F(x)有 2 个零点，即当 x>0 时，有 1 个零点，所以 1－a>0，所以 a<1.故选 C.
类型一 判断函数零点所在区间
(1)已知函数 f(x)＝3x＋x－9 的零点为 x0，则 x0 所在的区间为( )
A.－32，－12
B.－12，12
C.12，32
D.32，52
解：因为 f(x)为增函数，且 f32＝ 27＋32－9<0，f52＝ 243＋52－9>0， 所以 x0 所在的区间为32，52.故选 D.
点 拨： 用二分法求函数 f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下： 第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证 f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度 ε； 第二步，求区间[a0，b0]的中点 x0＝a0＋2 b0；
第三步，计算 f(x0)： ①若 f(x0)＝0，则 x0 就是函数的零点； ②若 f(a0)·f(x0)＜0，则令 a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])； ③若 f(a0)·f(x0)＞0，则令 a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])； 第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度 ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点
(2)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的
两个零分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解：易知 f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又
类型三 已知零点情况求参数的取值范围
(1)(2018·武昌调研)已知函数 f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，f(x0) ＝0，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－3)
C．(－3，1)
D．(1，＋∞)
解：当 a＝0 时，显然不成立．当 a≠0 时，由题意知 f(－1)·f(1)<0，
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cosx
B．y＝sinx
C．y＝lnx
D．y＝x2＋1
解：y＝cosx 是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx 为奇函数，y＝lnx 既不是奇 函数也不是偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但没有零点．故选 A.
下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
近似值 a1(或 b1)；否则重复第二到四步．
在用二分法求方程 x2＝2 的正实数根的近似解(精确 度 0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要
求至少需要计算的次数是________．
解：设至少需要计算 n 次，由题意知1.5－2n 1.4<0.001，即 2n>100.由 26＝64， 27＝128，知 n＝7.故填 7.
解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，
并且有 f(a)·f(b)<0.A，B 中不存在 f(x)<0，D 中函数不连续．故选 C.
(教材改编)函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为________．
解：f(x)在其定义域上是增函数，又 f(0)＝－1，f(1)＝12，所以 f(0)f(1)<0，
(2)(2018·南昌调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)
时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数 f(x)的零点个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解：作出函数 y＝2 018x 和 y＝－log2 018x 的图象如图所示，可知 函数 f(x)＝2 018x＋log2 018x 在 x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)在 x∈(－∞，0)上只有一个零点， 又 f(0)＝0，所以函数 f(x)的零点个数是 3.故选 C.
f13＝1313－1312>0，f12＝1321－1212<0，所以由零点存在性定 理可得函数 f(x)在13，12上存在零点，即 x0∈13，12.故选 B.
类型二 零点个数的判断
(1)函数 f(x)＝－x2＋2＋2xl－nx，3，x>x≤0 0，的零点个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解：由xx≤2＋02，x－3＝0，得 x＝－3.由x－>20，＋lnx＝0， 得 x＝e2.所以 f(x)的零点个数为 2.故选 C.
(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，当 x∈[0，1]时，
f(x)＝x，则函数 y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解：由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数．在同一坐标系内作出函 数 y＝f(x)及 y＝log3|x|的图象，如图．
(2)有交点 有零点 零点 函数 y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0
函数 f(x)＝－x2＋5x－6 的零点是( )
A．－2，3
B．2，3
C．2，－3
D．－2，－3
解：由 f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得 x＝2，3.即函数 f(x)的零点是 2，3.故选 B.