新教材高中数学第2章向量的数乘运算课件北师大版必修第二册ppt

2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？ [提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定 定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行) 的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．
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3．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B
＋F→C等于( )
A．B→C
B．12A→D
C．A→D
D．12B→C
C
[ E→B ＋ F→C
＝ E→C
＋ C→B
＋ F→B
＋
→ BC
＝
→ EC
＋
→ FB
＝
1 2(
→ AC
＋
→ AB
)
＝
12·2A→D＝A→D.]源自[解] (1)原式＝234a－3b＋13b－23a＋74b ＝234－32a＋－3＋13＋74b ＝2352a－1112b ＝53a－1118b；
(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b ＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－35j ＝－53i－5j.
说明理由．
(1)2a 的方向与 a 的方向相同；
(2)|－2a|＝32|3a|；
1 (3)aa
是单位向量；
(4)a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
[解] (1)真命题．∵2>0，
∴2a 的方向与 a 的方向相同．
(2)假命题．|－2a|＝－2|a|＝2|a|＝23|3a|.
1 1 1
(3)真命题． a a ＝ a a ＝ a a ＝1.
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4．若 2x－13a－12(c＋b－3x)＋b＝0，其中 a、b、c 为已知向量， 则未知向量 x＝________．
241a－17b＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得 x＝241a－17b ＋17c.]
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5.如图所示，已知A→P＝43A→B，用O→A，O→B表示O→P.则O→P＝________．
§3 从速度的倍数到向量的数乘 3.1 向量的数乘运算
学习任务
核心素养
1．掌握向量数乘的运算及其运算 1．通过向量数乘概念的学习，培
律．(重点)
养数学抽象素养；
2．理解数乘向量的几何意义．(重 2．通过向量数乘的运算及其运算
点)
律的应用，培养数学运算素养．
NO.1
情境导学·探新知
夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速 与光速的大小不同，光速是声速的 88 万倍．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．(多选题)已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确
的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若 ma＝mb，则 a＝b
D．若 ma＝na，则 m＝n.
AB [A 和 B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，
若 m＝0，则不能推出 a＝b，错误；D 中，若 a＝0，则 m，n 没有关
类型 3 向量线性运算的应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的 中点．求证：E→F＝12(A→B＋D→C).
1．若 D 是△ABC 的边 BC 的中点，如何用A→B，A→C表示A→D？ [提示] 由三角形法则知，A→D＝A→B＋B→D，A→D＝A→C＋C→D， 两式相加得 2A→D＝A→B＋B→D＋A→C＋C→D＝A→B＋A→C＋B→D＋C→D ＝A→B＋A→C， 所以A→D＝12A→B＋A→C.
若 a∥b，b∥c，那么一定有 a∥c 吗？ [提示] 不一定，若 b＝0，此时必有 a∥b，b∥c 成立，但 a 与 c 不一定共线．
1.已知|a|＝2，|b|＝3，若两向量方向相同，则向量 a 与向量 b 的关系为 b＝________a.
3 2
[由于|a|＝2，|b|＝3，则|b|＝32|a|，又两向量同向，故 b＝32a.]
知识点 2 数乘运算的运算律 设 λ，μ 为实数，a，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称 为向量的_线__性__运_算__(或线性组合).
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(3)原式＝122a＋23b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类 项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．
2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分 配律合并．
[跟进训练] 2．(1)化简23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）； (2)设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a).
阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题 1：若设光速为 v1，声速为 v2，将向量类比于数，则 v1 与 v2 有何关系？ 问题 2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？
知识点 1 数乘运算的定义 (1)实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向__量__，记作 λa. (2)|λa|＝|λ||a|.
(1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形 法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量 的方程．
[跟进训练] 3．在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点．求证：D→E＝12B→C. [证明] ∵D 为 AB 的中点， ∴A→D＝12A→B. ∵E 是 AC 的中点，∴A→E＝12A→C. ∴D→E＝A→E－A→D＝12A→C－12A→B＝12A→C－A→B＝12B→C.
2．在△ABC 中，若A→D＝12A→B＋A→C，则 D 是否是△ABC 的边 BC 的中点？
[提示] 设 D′是边 BC 的中点，则A→D′＝12A→B＋A→C，又A→D＝12 A→B＋A→C，则A→D′＝A→D，
所以 D 与 D′重合，
所以 D 是边 BC 的中点．
[证明] 取以点 A 为起点的向量，应用三角形法 则求证，如图．
[跟进训练] 1．已知 λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向一定相同； ②当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向一定相反； ③当 λa 与 a 的方向相同时，λ＞0； ④当 λa 与 a 的方向相反时，λ＜0. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [由 λ 与向量 a 的乘积 λa 的方向规定，易知①②③④正确．]
∵E 为 AD 的中点， ∴A→E＝12A→D. ∵F 是 BC 的中点，∴A→F＝12(A→B＋A→C).
又∵A→C＝A→D＋D→C， ∴A→F＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋D→C)＋12A→D. ∴E→F＝A→F－A→E＝12(A→B＋D→C)＋12A→D－12A→D ＝12(A→B＋D→C).
系，错误．]
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2. 在△ABC 中，如果 AD，BE 分别为 BC，AC 上的中线，且A→D＝ a，B→E＝b，那么B→C等于( )
A．23a＋43b B．23a－23b C．23a－43b D．－23a＋43b A [由题意，得B→C＝B→E＋E→C＝b＋12A→C＝b＋12(A→D＋D→C)＝b＋12a ＋14B→C，即B→C＝b＋12a＋14B→C，解得B→C＝23a＋43b.]
(4)真命题．∵a＋b 与－a－b 是一对相反向量，且－(a＋b)＝－a
－b，
∴a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
对数乘向量的三点说明 (1)向量数乘运算的几何意义是把 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向扩 大或缩小． (2)当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．
当λ>0时，与a的方向相__同__； (3)方向：λa 的方向当λ<0时，与a的方向_相__反_；
当λ＝0时，0a＝0.
(4)几何意义：当 λ>0 时，表示向量 a 的有__向__线__段__在原方向伸长或 缩短为原来的__|λ_|___倍；
当 λ<0 时，表示向量 a 的有向线段在反__方__向__伸长或缩短为原来的 __|_λ_| __倍．
类型 2 向量的线性运算 【例 2】 (教材北师版 P88 例 1 改编)计算下列各式： (1)2(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)； (3)12（3a＋2b）－a＋12b－212a＋38b.
[解] (1)原式＝2a－3a＋2b＋3b＝－a＋5b； (2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c；
－13O→A＋43O→B [O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋43A→B＝O→A＋43(O→B－O→A)＝ －13O→A＋43O→B.]
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回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？ [提示] 实数 λ 与向量 a 可作数乘，但实数 λ 不能与向量 a 进行 加、减运算，如 λ＋a，λ－a 都是无意义的．还必须明确 λa 是一个向 量，λ 的符号与 λa 的方向相关，|λ|的大小与 λa 的模有关．
(1)若 λa＝0 则 λ＝0.
()
(2)对于非零向量 a，向量－2a 与向量 a 方向相反．
()
(3)当 a 是非零向量，－1aa 是与向量 a 反向的单位向量． (
)
[答案] (1)× (2)√ (3)√
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 向量数乘运算的定义
【例 1】 已知 a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并