人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程(1)

2.2.1
一、选择题
1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．两条射线
[答案] D
4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1
C.x 23－y 24＝1
D.y 23－x 24＝1
[答案] B
[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，
∴b 2＝3，双曲线方程为y 2
－x 23＝1. 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，
曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.
6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是
( )
A.x 22－y 23＝1
B.x 23－y 22＝1
C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1
[答案] C
[解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，
∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，
∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1.
7．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( )
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．不存在
[答案] A
[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，
对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.
对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，
故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.
∴m 2＝1，即m ＝±1.
二、填空题
11．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
[答案] x 273－y 2
75
＝1
[解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1
4a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝73b 2＝75.
12．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．
[答案] 833
[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，
该弦所在直线方程为x ＝7，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7x 23－y 2
4＝1得y 2＝163，
∴|y |＝433，弦长为833.
13．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1的焦点相同，那么a ＝________.
[答案] 1
[解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.
三、解答题
15．讨论x 225－k ＋y 2
9－k
＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． [解析] (1)当k <9时，25－k >0,9－k >0，
所给方程表示椭圆，
此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，
这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当9<k <25时，25－k >0,9－k <0，
所给方程表示双曲线，
此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．
16．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
[解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，
又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15，
又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1，
又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，
所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1.。