单元刚度矩阵的性质
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因?答:有限元解一般偏小,即位移解下限性原因:单元原是连续体的一局部,具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后,自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度,即位移函数对单元的变形进行了约束和限制,使单元的刚度较实际连续体加强了,因此,连续体的整体刚度随之增加,离散后的刚度较实际的刚度K为大,因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准那么〔写出某种单元的形函数,并讨论收敛性〕P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间,必须使由其定义的未知量连续;(3)应包含完全一次多项式;(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证,由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元,所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么?〔王勖成P131〕答:等参元—为了将局部坐标中几何形状规那么的单元转换成总体〔笛卡尔〕坐标中的几何形状扭曲的单元,以满足对一般形状求解域进行离散化的需要,必须建立一个坐标变换。
即:为建立上述的变换,最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式,即:其中m是用以进行坐标变换的单元节点数,xi,yi,zi是这些结点在总体〔笛卡尔〕坐标内的坐标值,Ni’称为形状函数,实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元,后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式:在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点,并且采用相同的插值函数,即m=n,Ni’=Ni,那么称这种变换为等参变换。
5、单元离散?P42答:离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个局部,各局部之间用有限个点相连。
每个局部称为一个单元,连接点称为结点。
对于平面问题,最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元,单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把(d)式及(4-16) 式代入上式,并将提到积分号的前面,则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理,由(f)和(h)式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的,所以等式两边与相乘的项应该相等, 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程,[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ,那么矩阵 [D] 中的元素就是常量,并且对于三角形常应 变单元,[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中,单元刚度矩阵(Element Stiffness Matrix)是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件,它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系,它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型(如线性、非线性、壳单元等),OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说,单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面:
1. 几何刚度:单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响,如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质:材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件:单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型:不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件,可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵,并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
有限元简答题
1.设插值(单元位移函数)函数的原则
○1待定系数应与节点位移DOF数相等
○2在选取多项式时,必须要选择常数项和完备的一次项
○3选择多项式应由低阶到高阶,尽量选取完全多项式以提高单元精度。
由于项数限制不能选取完全多项式时,选择多项式应具有坐标的对称性。
并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。
2.轴对称原则
形状对称、约束对称、载荷对称
3.刚度矩阵
形函数的性质
○10/1性质
形状函数N i的几何意义:在i点的节点位移为1,其他节点位移为0时得单元位移场函数○2和1性质
4.单元刚度矩阵的性质
K ij表示要使单元的第j个节点产生单位位移(u=1),而其他节点位移为0时,需要在第i 个节点所施加的力
对称性、半正定性、奇异性
5.引入边界条件的目的
消除单元刚度矩阵的奇异性,加约束使其有唯一解
6.单元划分原则
○1网格疏密的合理布置
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格,在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。
这样可以同时满足精度和效率两方面的要求。
○2采用性能优越的单元
7.描述三大基本方程
力平衡方程—描述物体受力平衡的关系、物理方程(本构关系)—描述物体应力与应变的关系、几何方程—描述物体位移与应变的关系
8.连杆结构的有限元分析过程
1.单元划分和节点编号
2.计算单元刚度矩阵
3.组装整体单元刚度矩阵
4. 处理边界条件求解(引入边界条件)
5.求其他力学分量。
四边形单元刚度矩阵
四边形单元刚度矩阵是有限元分析中的一个重要概念,用于描述四边形单元在受力时的刚度特性。
在有限元方法中,连续的求解域被离散为有限个单元的组合,每个单元都有其特定的刚度矩阵。
对于四边形单元,其刚度矩阵是一个方阵,用于将节点位移和节点力联系起来。
在弹性力学中,刚度矩阵表示了材料在受力时的抵抗变形的能力。
四边形单元的刚度矩阵通常通过对其形状函数和本构关系进行积分得到。
四边形单元的刚度矩阵具有对称性,这是由于材料的本构关系和平衡方程的性质决定的。
刚度矩阵的元素反映了节点位移对节点力的影响程度,以及节点间相互作用的强弱。
在有限元分析中,四边形单元刚度矩阵的组装是求解问题的重要步骤之一。
通过将所有单元的刚度矩阵按照特定的规则组装到一起,形成整体的刚度矩阵,可以进一步求解出整个结构的位移和应力分布。
四边形单元刚度矩阵的准确性和精度对于有限元分析的结果至关重要。
因此,在实际应用中,需要对四边形单元的形状、大小、材料属性等进行合理的选择和描述,以确保分析结果的可靠性。
有限单元法部分课后题答案
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的?位移有限元法的标准化程式是怎样的?(1)离散的含义即将结构离散化,即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(2)给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律,即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(3)有限元法的标准化程式:结构或区域离散,单元分析,整体分析,数值求解。
1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质:对称性、奇异性(单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Kij物理意义Kij 即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第j个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移,而其他节点位移都保持为零的变形状态,在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2.2什么叫应变能?什么叫外力势能?试叙述势能变分原理和最小势能原理,并回答下述问题:势能变分原理代表什么控制方程和边界条件?其中附加了哪些条件?(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε,外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
(3)势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中,那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值,即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
有限单元法试题
一.有限元法求解弹性力学问题的基本步骤,为什么应力解答的精度低于位移解答精度?(1)步骤1 弹性单元的离散化 2选择位移函数 3建立单元刚度方程 4建立整体平衡方程5,求解整体平衡方程(2)位移法求解,位移是直接解,应力是一个与位移导数相关的派生解,这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。
二.简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质 481单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系,对于平面问题,每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质1每一列元素表示一组平衡力系,对于平面问题,每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵,排除整体刚度位移后为正定矩阵。
5 整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型,对同一类型的单元精度比较,给出一般规律。
三角形单元中,三结点的常应变单元,其单元内应力是常量,它是一种简单但精度低的单元;六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。
而矩形单元,其精度虽比相应的三角形单元高,但不易改变单元尺寸,以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。
平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。
四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题?1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。
一般来讲,网格数目增加,计算精度会有所进步,但同时计算规模也会增加。
实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果,假如两次计算结果相差较大,可以继续增加网格,相反则停止计算。
2网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格,这是为了适应计算数据的分布特点。
在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处),为了较好地反映数据变化规律,需要采用比较密集的网格。
而在计算数据变化梯度较小的部位,为减小模型规模,则应划分相对稀疏的网格。
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程;答:弹性体在满足一定条件时,其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替,这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板,只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力,体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄,外力不沿厚度变化,因此在整块板上有:,,剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体,支承情况不沿长度变化,在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力,体力也如此分布。
平面问题的根本方程为:平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中,将E替换为、替换为,可以得到平面应变问题的物理方程;在平面应变问题的物理方程中,将E替换为、替换为,可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程;答:根本物理量有:空间弹性力学问题共有15个方程,3个平衡方程,6个几何方程,6个物理方程。
其中包括6个应力分量,6个应变分量,3个位移分量。
平面问题共8个方程,2个平衡方程,3个几何方程,3个物理方程,相应3个应力分量,3个应变分量,2个位移分量。
根本方程有:1.平衡方程及应力边界条件:平衡方程:边界条件:2.几何方程及位移边界条件:几何方程:边界条件:3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体,作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0,这就是刚体的平衡条件,或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体,其虚位移原理为:在外力作用下处于平衡的弹性体,当给予物体微小的虚位移时,外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功,即:在物体产生微小虚变形过程中,整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能,即:其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功,由此得到虚功方程:4.节点位移,单元位移及它们的关系。
刚度矩阵的性质和存储
! ! !
k ji ! kn1i
! ! !
k jj ! kn1 j
! ! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
kn1n1 ⎥⎦
过虚功原理得到证明。
6
3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值
由性质(1)可知,任一主对角线上元素kii是使 节点位移Δi为一单位位移,其它节点位移为零时必须 在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移 方向相同,因而是正值。
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0 ! kii ! kij ! kim ! 0⎥ i
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
[k ]2n×2n = ⎢0 ! k ji ! k jj ! k jm ! 0⎥ j
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
"
! !
kmi "
! "
kmj "
! "
kmm "
! "
0⎥
"
个节点的节点数大得多,因而,结构刚度矩阵中很大
t
一部分元素是零,即所谓的稀疏矩阵。
9
5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵
从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知,处于静力 平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。 与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样,无约束结 构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵,即[K]的行列 式为零。
有限元方法基础教程第三版答案第二单元
有限元方法基础教程第三版答案第二单元1. 诉述有限元法的定义答:有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答:首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答:分类:位移法、力法、混合法;步骤:结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。
4. 有限元法有哪些优缺点答:优点:有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解;通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合;可以从其他CAD软件中导入建好的模型;数学处理比较方便,对复杂形状的结构也能适用;有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点。
缺点:有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算,所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术,但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答:由每个节点位移分量的总和确定6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答:单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量。
7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14 答:Q——整个结构的节点载荷列阵(外载荷、约束力);整个结构的节点位移列阵;结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵。
8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答:由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解。
9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14 答:对称性;奇异性;稀疏性;对角线上的元素恒为正。
有限元第4章刚度矩阵方程的处理
k18
k78 k88 k98 k10,8
k19
k79 k89 M k10,9
k1,10 d1 F1
kk87,,1100dd78M F8
k9,10d9
M
k10,10d10 F10
总刚度平衡方程的求解
应用有限元法,最终都是归结为解总体刚度矩阵平衡方程, 它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组。 通过对结构施加位移边界条件,消除了结构的刚体位移,从而消 除总体刚度矩阵的奇异性,解这个线性代数代数方程组可求出节 点位移。
可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉,然后将矩阵压缩即可 求解。这种方法的优点时道理简单。如果删去的行列很多,则总体刚度 矩阵的阶数可大大缩小。通常用人工计算时常采用该方法。若用计算机 算题,在程序编制上必带来麻烦,因为刚度矩阵压缩以后,刚度矩阵中 各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题不太采用。
k122(F2k21x1(1)
k23x3(1))
x(2) 3
k133(F3k31x1(1)
k32x2(1))
如果不断重复上述计算方法,便可得出第r次近似值,继续进行一直到所得结果满 足要去为止。
通常用相邻二次迭代所得近似值之差是否小于某一预先选定的值
xi(r) xi(r)xi(r1)
max|
x(r) i
A
O
B
1
减少最大半带宽可以减小等带宽存储的刚度矩阵存储量。而半带宽与单元节点号的 编号差有关。
因此,当我们对一个要求解的系统编号时,就应有所讲究,也就是使每个单元的节点 编号差尽可能小。一般来说,当一个结构较长时,应先顺其较窄的方向编号,然后向 较长的方向移动。下面的例子可以说明不同编号方法对刚度矩阵存储量的影响。
单元刚度矩阵及其元素的特点
单元刚度矩阵及其元素的特点
单元刚度矩阵是在有限元分析中使用的重要概念。
它是描述单
元内部应力和应变关系的工具,通常用于分析结构的强度和稳定性。
单元刚度矩阵的元素特点包括:
1. 对称性,单元刚度矩阵是对称的,即其(i, j)和(j, i)位置
的元素相等。
这是由于材料的弹性性质决定的,对称性简化了计算
过程。
2. 正定性,单元刚度矩阵是正定的,这意味着对于任意非零的
向量,其与单元刚度矩阵相乘后的结果仍为正数。
这一特性保证了
单元的稳定性和可靠性。
3. 局部坐标系,单元刚度矩阵的元素是相对于局部坐标系而言的,这意味着在全局坐标系下需要进行坐标变换才能得到全局刚度
矩阵。
4. 尺寸,单元刚度矩阵的尺寸取决于单元的自由度数量。
例如,对于二维单元而言,3节点三角形单元的单元刚度矩阵是6x6的,4
节点矩形单元的单元刚度矩阵是8x8的。
5. 形状函数的影响,单元刚度矩阵的元素受到所采用的形状函数的影响,不同的形状函数会导致不同的单元刚度矩阵。
总的来说,单元刚度矩阵的特点包括对称性、正定性、局部坐标系、尺寸和受形状函数影响。
这些特点对于理解和应用单元刚度矩阵在有限元分析中起着重要作用。
杆单元刚度矩阵
杆单元刚度矩阵摘要:一、引言二、杆单元刚度矩阵的定义与性质1.定义2.性质三、杆单元刚度矩阵的计算方法1.解析法2.数值法四、杆单元刚度矩阵在工程中的应用1.结构分析2.结构优化设计五、结论正文:一、引言杆单元刚度矩阵是描述杆件受力变形关系的矩阵,它在结构分析与优化设计中具有重要作用。
本文将介绍杆单元刚度矩阵的定义、性质以及计算方法,并探讨其在工程中的应用。
二、杆单元刚度矩阵的定义与性质1.定义杆单元刚度矩阵是描述杆件在受力过程中,某一方向上的应变与该方向上的应力之间的关系的矩阵。
通常用刚度系数来表示,其值取决于杆件的材料性质和几何参数。
2.性质杆单元刚度矩阵具有以下性质:- 对称性:刚度矩阵是正交矩阵,即A^T = A,其中A^T 表示A 的转置。
- 行列式为零:|A| = 0,因为杆件在受力过程中无转动。
- 主对角线元素为正:反映杆件在受力过程中沿主方向变形的刚性。
三、杆单元刚度矩阵的计算方法1.解析法解析法是通过求解微分方程来得到杆单元刚度矩阵。
以直杆为例,设杆件的轴向应力为σ,径向应力为τ,根据胡克定律,可得:- σ = E*ε- τ = G*ε其中,E 和G 分别为杆件的弹性模量,ε为应变。
将应变表示为关于位移的函数,代入上述方程,可求得刚度矩阵。
2.数值法数值法是通过有限元分析来得到杆单元刚度矩阵。
首先建立杆件的几何模型,将其划分为若干个单元,然后在每个单元上求解刚度矩阵。
常用的方法有:- 三角形单元:根据三角形三个顶点的位移,计算单元刚度矩阵。
- 矩形单元:根据矩形四个顶点的位移,计算单元刚度矩阵。
四、杆单元刚度矩阵在工程中的应用1.结构分析杆单元刚度矩阵在结构分析中起到关键作用。
通过对杆件的刚度矩阵进行求解,可以得到杆件在受力过程中的变形规律,从而分析结构的强度、刚度和稳定性。
2.结构优化设计在结构优化设计中,杆单元刚度矩阵可以作为优化目标函数的约束条件。
通过调整杆件的材料性质和几何参数,可以实现刚度矩阵的最优化,从而提高结构的性能。
1.2弹簧系统有限元分析
4.单元水平上,若已知单元的节点位移,可 由刚度方程求出所有单元节点力分量。若已 知节点力,单元节点位移不能确定,单元可 做刚体运动,这也是单元刚度矩阵奇异性的 物理解释。(无可逆矩阵)
整体分析
由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式,分别写出2个 弹簧单元的特性方程如下: (注:右端节点 力分量的下标为 单元节点的局部 编号,上标是单 元编号)
单元刚度矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移其它节点位移为零时单元各节点上的节点力
弹簧系统
?
单元分析
考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件: 力平衡条件和弹簧物理特性,得到下列方程
单元分析
弹簧单元的刚度方程: 反映了单元的力学特 性,即节点力~节点位 移之间的关系
f 称为单元节点力列阵 k 称为单元节点位移列阵 d 称为单元刚度阵
2)扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。
3)扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列!
将上述两个方程叠加,得到:
本质是系统中所有节点的力平衡关系,其左边是由节 点位移表示的系统节点力,右边是节点所受外载荷。 不难发现,系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵 扩大后叠加而得到。
系统平衡方程求解
整体分析
系统处于平衡时,考虑节点(1,2,3节点)的平衡条件:
将单元特性受力带入左式:
整体分析
系统节点平衡方程,该方程建立了离散系统的外 载荷与节点位移之间的关系,是求解节点位移的 控制方程。
整体刚度矩阵性质: 由单元刚度方程叠加导出,将单元1,2的刚度方程扩大到 系统规模
注意:
1)对单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。
则节点平衡方程化为:
将该方程展开为两部分。第2,3个方程变化为:
abaqus 单元刚度矩阵
abaqus 单元刚度矩阵
ABAQUS中的单元刚度矩阵是一个表示单元刚度的矩阵。
在
有限元分析中,通过将结构分成许多小的单元来近似表示结构的行为。
每个单元都具有特定的形状和尺寸,其行为由其材料性质和几何特征决定。
单元刚度矩阵描述了一个单元内部应力和应变之间的关系。
它是一个方阵,大小根据单元的自由度数量而定。
每个单元刚度矩阵都是通过对单元的基础方程进行积分和数值近似得到的。
其中,基础方程表示了单元内部的应力和应变之间的关系。
在ABAQUS中,单元刚度矩阵可以在输入文件中定义,也可
以由软件根据所选的单元类型自动生成。
根据单元类型的不同,单元刚度矩阵可以有不同的形式。
要在ABAQUS中查看或输出单元刚度矩阵,可以在输入文件
中使用相应的输出控制命令。
一般情况下,可以使用POST26
或OUTPUT,FIELD命令来输出单元刚度矩阵。
需要注意的是,ABAQUS中的单元刚度矩阵通常是局部坐标
系下的。
如果需要将其转换为全局坐标系下的刚度矩阵,可以使用转换矩阵进行坐标变换。
综上所述,ABAQUS中的单元刚度矩阵是表示单元刚度的矩阵,描述了单元内应力和应变之间的关系。
它可以通过输入文件定义或由软件自动生成,并可以使用输出控制命令查看或输出。
11-11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
y
j
Mj
j
uj
j1 FNj
FQj
FNi
EA l
(ui
u
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x
FQi
6EI l2
(i
j
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EA l
(ui
u )j
FQj
6EI l2
(i
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12EI l3
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i
v
)j
M
j
2EI l
i
4EI l
j
6EI l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
6EI
l2
4EI l
称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度矩阵,简称单刚。 是6×6阶的方阵。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
1.单刚是单元固有的性质
单刚中各元素只与单元的弹性模量E、横截面面积A、惯 性 矩I及杆长l等有关,而与外荷载等其他因素无关。
vj(e) =1
y
单刚中第五列元素
3)某一行的六个元素,分别表示各个杆端位移分量分别等 于1时,所引起的按该行号顺序排列的那个杆端力分量的数值。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
3. 单元刚度矩阵是对称矩阵
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体积力 F e Fx Fy T ,表面力 e x y T
二、位移模式与形函数
u a1 a2x a3 y ui a1 a2xi a3 yi
vi a4 a5xi a6 yi
y
Yk vk
k(xk , yk )
Xk uk
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
力解。
• 4)单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零,所有偶数行 的对应元素之和也为零。由此可见,单元刚阵各行元素的 总和为零。由对称性可知,各列元素的总和也为零。
Fyi
KiiLeabharlann KiiKijKij
Kim
Kim
vi
Fxj Fyj
K K
ji ji
K ji K ji
K jj K jj
K jj K jj
K jm K jm
K K
jm jm
uj vj
Fxm
Kmi
Kmi
Kmj
Kmj
Kmm
K
mm
um
Fym Kmi Kmi Kmj Kmj Kmm Kmm vm
其中 Krs 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时,在节点
r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义:
将节点力列矩阵 Fe 与节点位移列矩阵 e 均展开成
(6*1)阶列矩阵,单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵:
Fxi Kii Kii Kij Kij Kim Kim ui
Fi Kii Kij Kim δi
Fj
Kji
Kjj
K jm
δj
Fm Kmi Kmj Kmm δm
写成普通方程 Fi Kii δi Kij δj Kimi δm Fj Kji δi Kjj δj Kjm δm
Fi Kmi δi Kmj δj Kmm δm
元素K的脚码,标有“-”的表示水平方向,没有标“-”的 表示垂直方向。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义:
Fxr Si,j,m
Fyr Si,j,m
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
平面问题中,离散化的单元组合体极为相似,单元组合 体在节点载荷的作用下,节点对单元、单元对节点都有作用力 与反作用力存在,大小相等方向相反,统称为节点力。 节点力和节点位移的关系前面已经求出:
Fe Ke δe
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义:
将 Fe 写成分块矩阵
平面问题 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
一、离散化
将连续体用假想的线或面分割成有限个部分,各部分之 间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元,连接点称为结点。
结点位移,单元结点位移
三角形网格划分
i i ui vi T
e
T i
T j
T k
T
结点力,单元结点力
Ri Ri Xi Yi T R e RTi RTj RTk T
• 2)单元刚阵主对角线元素恒为正值;因为主对角元素 kii
表示力的方向和位移方向一致,故总为正值。
• 3)单元刚阵是奇异阵,即|K|=0,这是因为计算单元刚阵
时没有对单元的节点加以约束,虽然,单元处于平衡状态,
但容许单元产生刚体位移,故从单元刚度平衡方程不可能
得到唯一位移解
e (Ke)1,F只能得到唯一的节点
j
(
x
j
X ,y
j j
u )
j
0
x
v a4 a5x a6 y u j a1 a2x j a3 y j v j a4 a5x j a6 y j
uk a1 a2xk a3 yk vk a4 a5xk a6 yk
Institute of Mechanical Engineering and Automation
Krs,Krs,Krs,Krs 表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向
产生单位位移时,在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平
节点力和垂直节点力的大小。例如 Kij 表示节点j在垂直方
向产生单位位移时,在节点i所需要施加的水平节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
• 1)单元刚度矩阵是对称阵,(只要证明 Ke (Ke)T )