三峡大学2011-2012学年高等数学(下)试题与答案

三峡大学2011-2012学年高等数学（下）试题与答案
一．填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
2
224ln(1)x y z x y -=
--的定义域为 ； （2）已知函数xy
z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；
（3）交换积分次序，
ln 1
(,)e x dx f x y dy
⎰
⎰
＝ ；
（4）已知L 是抛物线2
y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之
间的一段弧，则L
yds =
⎰
；
（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨
--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；
A. 0
B. 2π
C. 3π
D. 4π
（2）设(,)z f x y =是由方程33
3z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；
A. 2yz xy z -
B. 2yz z xy -
C. 2xz xy z -
D. 2
xy z xy -
（3）微分方程256x
y y y xe '''-+=的特解y *
的形式为y *
=（ ）；
A.2()x
ax b e + B.2()x
ax b xe + C.2()x
ax b ce ++ D.2()x
ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2
2
2
2
x y z a ++=所围成的闭区域, 将
dv
Ω
⎰⎰⎰在球面坐标系下化成
三次积分为（ ）； A
22
2
sin a
d d r dr
π
πθϕϕ⎰
⎰⎰ B.
220
a
d d rdr
π
πθϕ⎰
⎰⎰
C.
20
0a
d d rdr
ππθϕ⎰
⎰⎰ D.
220
sin a d d r dr
π
π
θϕϕ⎰
⎰⎰
（5）已知幂级数1212n
n
n n x ∞
=-∑，则其收敛半径
（ ）.
A. 2
B. 1
C. 1
2 D.
2
三．计算题（每题8分，共48分）
1、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .
2、 已知(sin cos ,)x y
z f x y e +=，求z
x ∂∂， z y ∂∂ .
得分
阅卷人
3、 设
22
{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctan
D
y
dxdy x ⎰⎰ .
4、 求函数
22
(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 5、 利用格林公式计算
(sin 2)(cos 2)x x L
e y y dx e y dy
-+-⎰
，其中
L 为沿上半圆周222
(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.
8、求微分方程 3
2
(1)1y y x x '-=++的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin
3n n n n π
∞
-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
敛；
（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n
n x n ∞
=∑的和函数 .
2、(12)'利用高斯公式计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++⎰⎰，∑为抛物面
22z x y =+(01)z ≤≤的下侧
三峡大学2011-2012学年高等数学（下）试题与答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 2
2
2
{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、2
2
2e dx e dy + 3、
10
(,)y e
e
dy f x y dx
⎰
⎰
4、1
(551)12- 5、12()x
y C C x e =+
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A 三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： 12(0,2,4)
{1,0,2}{0,1,3}A n n →→
==- 2'
121
02230
1
3
i
j
k
s n n i j k →
→
→
→
→
→
→→→
=⨯==-++- 6'
∴直线方程为242
31x y z --==
- 8' 2、解： 令sin cos x y
u x y v e +== 2'
12cos cos x y
z z u z v f x y f e x u x v x +∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 6'
12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y +∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂ 8'
得分
3、解：
:001
4
D r π
θ≤≤
≤≤， 3'
2
14
00arctan 64D D
y dxdy r drd d rdr x π
πθθθθ∴===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 8' 4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=⎧⎪⎨
=+=⎪
⎩ 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'
220,
200
A AC
B =>-=>∴ 极小值为(3,1)8f -=- 8'
5．解：sin 2,cos 2x
x P e y y Q e y =-=-，
有cos 2,cos ,x x P
Q
e y e y y
x ∂∂=-=∂∂2'
取(2,0),
:0,A a OA y x =从02a → 4'
L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++⎰⎰2
()2D D Q P dxdy dxdy a x y
π∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰ 6'
∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +⎰＝220a a ππ-= 8'
6．解：3
2
1
,(1)1P Q x x =-=++ 2'
∴通解为
1
1
3()()112
[()][(1)]
dx
dx
P x dx
P x dx
x x y e Q x e dx C e
x e
dx C -
-++⎰⎰⎰
⎰
=+=++⎰⎰ 4'
1
3
2
2
2(1)[(1)](1)[(1)]
3x x dx C x x C =+++=+++⎰ 8'
四、解答题
1、解：（1）令
1(1)2sin
3n n n n
u π
-=-1112sin
23lim
lim
132sin 3
n n n n n n n n
u u π
π+++→∞
→∞==<4'
1
2sin
3n n
n π
∞
=∴∑收敛，
11
(1)2sin
3n n n n π
∞-=∴-∑绝对收敛 6'
（2）令
1()n
n x s x n ∞
==∑
111
1()1n n n n x s x x n x ∞
∞-=='⎛⎫'===
⎪-⎝⎭∑∑， 2' 0
()()(0)ln(1)
x
s x s x dx s x '⇒=+=--⎰ 4'
2、解：构造曲面
1:1,z ∑=上侧
1
22xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
∑
∑+++++⎰⎰⎰⎰ 2'
2211
0(211)44r dv dv d rdr dz πθΩ
Ω
=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰120
8(1)2r rdr ππ
=-=⎰
4' 6' 8'
1
22I xdydz ydzdx zdxdy
π∑∴=-++⎰⎰ 10'
2xy
D dxdy ππ
=-=⎰⎰ 12'。