★试卷3套精选★上海市静安区2019年中考综合测试数学试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）
A ．y=2n+1
B ．y=2n +n
C ．y=2n+1+n
D ．y=2n +n+1
【答案】B 【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ，
右边三角形的数字规律为：2，，…，
， 下边三角形的数字规律为：1+2，，…，
， ∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n.
故选B ．
【点睛】
考点：规律型：数字的变化类．
2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径弧AC 的长为（ ）
A ．3π2
B ．π
C ．2π
D ．3π
【答案】A
【解析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可．
【详解】解：∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，
∴∠AOC ＝90°，
∵OC ＝3，
∴点A 经过的路径弧AC 的长＝
903180π⨯= 3π2
， 故选：A ．
【点睛】
此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．
3．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为1．若AA'=1，则A'D 等于（ ）
A ．2
B ．3 C
．23 D ．32 【答案】A 【解析】分析：由S △ABC =9、S △A′EF =1且AD 为BC 边的中线知S △A′DE =12S △A′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92
，根据△DA′E ∽△DAB 知
2A DE ABD S A D AD S ''=（），据此求解可得．
详解：如图，
∵S △ABC =9、S △A′EF =1，且AD 为BC 边的中线，
∴S △A′DE =12S △A′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92
， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，
∴A′E ∥AB ，
∴△DA′E ∽△DAB ，
则2A DE ABD S A D AD S ''=（），即2291
2
A D A D '='+（
）， 解得A′D=2或A′D=-25（舍）， 故选A ．
点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
4．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为（ ）
A．2 B．23C．3D．43
【答案】B
【解析】分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
详解：
如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OC=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=4×3
＝23.
2
故选B.
点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
5．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）
A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm
【答案】A
【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE．
易求AE及△AED的周长．
解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．
∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm．
△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm ）．
故选A ．
点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．下列运算正确的是（ ）
A ．624a a a -=
B ．()222a b a b +=+
C ．()232622ab a b =
D ．2326a a a = 【答案】D
【解析】分别根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式的乘法法则进行计算即可.
【详解】A 、a 6和a 2不是同类项，无法合并，故本项错误；
B 、()2222a b a ab b +=++，故本项错误；
C 、()232624ab a b =，故本项错误；
D 、23?26a a a =，故本项正确；
故本题答案应为：D.
【点睛】
合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式的乘法是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键. 7．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，CDB 30∠=，CD 23=，则阴影部分的面积为（ ）
A ．2π
B ．π
C ．π 3
D ．2π 3
【答案】D 【解析】分析：连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
详解：连接OD, ∵CD ⊥AB ，
∴13,2CE DE CD ==
= (垂径定理)， 故OCE ODE
S S ，= 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，
又∵30CDB ∠=︒， ∴60COB ∠= (圆周角定理)，
∴OC=2，
故S扇形OBD=
2
60π22π3603
⨯
=，
即阴影部分的面积为2π3
.
故选D.
点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
8．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【答案】D
【解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选D．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.
9．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【解析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
10．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )
A ．AC=AB
B ．∠C=12∠BOD
C ．∠C=∠B
D ．∠A=∠B0D
【答案】B 【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD ，然后根据圆周角定理得到∠C=
12∠BOD ，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直径CD ⊥弦AB ，
∴弧AD =弧BD ，
∴∠C=12
∠BOD ． 故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC 3sin
2A ＝_____． 【答案】12
【解析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【详解】解：∵3sin BC A AB =
= ∴∠A ＝60°， ∴1sin
sin 3022
A ︒==． 故答案为12．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
12．如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt △ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD ，再以 Rt △ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG ，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
【答案】12.2
【解析】∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，∴S △ABC =12×1×1=12=11-1； AC=2211+=2，AD=22(2)(2)+=1，∴S △ACD =1222
⨯⨯=1=11-1 ∴第n 个等腰直角三角形的面积是1n-1．∴S △AEF =14-1=4，S △AFG =12-1=8，
由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为12
+1+1+4+8=12.2．故答案为12.2． 13．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是半圆上一点，且OE ⊥AB ，点C 为的中点，则∠A=__________°.
【答案】22.5
【解析】连接半径OC ，先根据点C 为BE 的中点，得∠BOC=45°，再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠A=∠ACO=12
×45°，可得结论． 【详解】连接OC ，
∵OE ⊥AB ，
∴∠EOB=90°，
∵点C 为BE 的中点，
∴∠BOC=45°，
∵OA=OC ，
∴∠A=∠ACO=12
×45°=22.5°， 故答案为：22.5°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
14．已知二次函数()2
y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①，2a b 0+=②，a b c 0-+=③；24ac b 0->④，4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______
【答案】①②③⑤
【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a 0<，
对称轴直线位于y 轴右侧，则a 、b 异号，即b 0>，
抛物线与y 轴交于正半轴，则c 0>，abc 0<，故①正确；
②对称轴为b x 12a
=-=，b 2a =-，故②正确； ③由抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，
所以当x 1=-时，y a b c 0=-+=，即a b c 0-+=，故③正确；
④抛物线与x 轴有两个不同的交点，则2b 4ac 0->，所以24ac b 0-<，故④错误；
⑤当x 2=时，y 4a 2b c 0=++>，故⑤正确．
故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2
y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
15．在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为_____．
【答案】1
【解析】∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，
∴，即，
∴MN=1.
故答案为1.
16．因式分解：3x3﹣12x=_____．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【解析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加_____m．
【答案】1.
【解析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半1米，抛物线顶点C坐标为（0，1），
设顶点式y=ax1+1，把A点坐标（-1，0）代入得a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1，
当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出：
-1.5=-0.5x 1+1，
解得：x=±3，
1×3-4=1，
所以水面下降1.5m ，水面宽度增加1米．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
18．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.
【答案】k ＞－14且k≠1 【解析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，
∴k ＞-1/4 且k≠1．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x 的值大约是多少？
【答案】（1）14
；（2）12；（3）x=1． 【解析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x 的值.
【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P （不合格品）=14
； （2）
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P （抽到的都是合格品）=612=12
； （3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴34
x x ++ =0.95， 解得：x=1．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
20．如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF ．
判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；若⊙O 的半径为4，
AF=3，求AC 的长．
【答案】解：（1）AF 与圆O 的相切．理由为：
如图，连接OC ，
∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ．
∴∠OCP=90°．
∵OF ∥BC ，
∴∠AOF=∠B ，∠COF=∠OCB ．
∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ．∴∠AOF=∠COF ．
∵在△AOF 和△COF 中，OA=OC ，∠AOF=∠COF ，OF=OF ，
∴△AOF ≌△COF （SAS ）．∴∠OAF=∠OCF=90°．
∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．
（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．
∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12
AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．
∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245
． ∴AC=2AE=
． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°
，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．
试题解析：（1）连接OC ，如图所示：
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF ∥BC ，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF ⊥AC ，
∵OC=OA ，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF 和△OCF 中，
{32OA OC
OF OF
=∠=∠=，
∴△OAF ≌△OCF （SAS ），
∴∠OAF=∠OCF ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA ⊥OA ，
∴AF 是⊙O 的切线；
（2）∵⊙O 的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴222234OF OA ++∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，
∴AC=2AE ，△OAF 的面积=12AF•OA=12OF•AE ， ∴3×4=1×AE ， 解得：AE=125
， ∴AC=2AE=245． 考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．
21．如图，在矩形ABCD 中，AB=1DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA=1．求线段EC 的长；求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）423-；（1）8233
π-． 【解析】（1）根据矩形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案;（1）利用锐角三角函数关系得出∠DAE=60°，进而求出图中阴影部分的面积为：FAE DAE S S 扇形∆-，求出即可．
【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=1DA ，DA=1，
∴AB=AE=4，
∴DE=2223AE AD -= ，
∴EC=CD-DE=4-13；
（1）∵sin ∠DEA=
12AD AE = ， ∴∠DEA=30°，
∴∠EAB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：
S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB =904130482232336023603
πππ⨯⨯-⨯⨯-=- ．
【点睛】
此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE 的长是解题关键．
22．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
【答案】(1) 每次下调10% (2) 第一种方案更优惠．
【解析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
（2）求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答．
【详解】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得
5000×（1-x）2=4050
解得x=10%或x=1.9（舍去）
答：平均每次下调10%．
（2）9.8折=98%，
100×4050×98%=396900（元）
100×4050-100×1.5×12×2=401400（元），
396900＜401400，所以第一种方案更优惠．
答：第一种方案更优惠．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键. 23．全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次抽样调查了个家庭；将图①中的条形图
补充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？
【答案】(1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【解析】（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；
（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以学习时间在2～2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；
（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷54
360
＝200(个)；
故答案为200；
(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×108
360
＝60(个)，
学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，补图如下：
(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×20
200
＝36°；
故答案为36；
(4)根据题意得：
3000×903020
200
++
＝2100(个)．
答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
24．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一
次落地点C 距守门员多少米？（取437=）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？
【答案】（1）21(6)412y x =--+．（或21112
y x x =-++）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．
【解析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得解得x 的值即可知道CD 、BD ．
【详解】解：（1）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为2
(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =．
即1136412a a =+∴=-，
． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112
y x x =-++）
（2）令210(6)4012
y x =--+=，． 212(6)48436134360x x x ∴-==≈=-<．，（舍去）
． ∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）
212(6)412
x ∴=--+解得12626626x x =-=+，．
124610
CD x x
∴=-=≈．
1361017
BD
∴=-+=（米）．
答：他应再向前跑17米．
25．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且
DE=EF．求证：∠C=90°；当BC=3，sinA=3
5
时，求AF的长．
【答案】（1）见解析（2）5 4
【解析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE=FE，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=
3
,
55
OE r
OA r
==
-
从而可求出r的值．
【详解】解:（1）连接OE，BE，∵DE=EF，
∴DE=FE
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=3
5
，
∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA=
3
,
55 OE r
OA r
==
-
∴15,8r = ∴15552.84AF =-⨯
=
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
26．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x+a ﹣1＝1．若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．
【答案】（3）a=15，方程的另一根为12
；（2）答案见解析. 【解析】（3）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b 2－4ac ＝3求出a 的值，再代入解方程即可．
【详解】（3）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15
． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 3＝12
，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12
； （2）①当a ＝3时，方程为2x ＝3，解得：x ＝3.
②当a≠3时，由b 2－4ac ＝3得4－4(a －3)2＝3，解得：a ＝2或3．
当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋3＝3，解得：x 3＝x 2＝－3；
当a ＝3时， 原方程为：－x 2＋2x －3＝3，解得：x 3＝x 2＝3．
综上所述，当a ＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.
考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()
A．tan
tan
α
βB．
sin
sin
β
α
C．
sin
sin
α
βD．
cos
cos
β
α
【答案】B
【解析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】在Rt△ABC中，AB=
AC sinα
，
在Rt△ACD中，AD=
AC sinβ，
∴AB：AD=AC
sinα：
AC
sinβ
=
sin
sin
β
α
，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．－4的绝对值是（）
A．4 B．1
4
C．－4 D．
1
4
-
【答案】A
【解析】根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）
【详解】根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.
【点睛】
错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.
3．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）
A ．2003503x x =-
B ．2003503x x =+
C ．2003503x x =+
D ．2003503x x
=- 【答案】B
【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x 元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．
考点：由实际问题抽象出分式方程
4．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A ．3m
B ．33m
C ．23m
D ．4m
【答案】B 【解析】因为三角形ABC 和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC 、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB ，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin ∠CAB ＝
322BC AC == ∴∠CAB ＝45°．
∵∠C′AC ＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝''362
B C =， 解得：B′C′＝3．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
5．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A ．y 1
B ．y 2
C ．y 3
D ．y 4
【答案】A 【解析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】由图象可知：
抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34
（x+2）2-2； 抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；
抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1；
抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
6．一次函数y=kx+k （k≠0）和反比例函数()0k y k x
=≠在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】A 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k ＜0，两结论相矛盾，故选项错误； B 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的正半轴可知k ＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k ＜0，两结论一致，故选项正确；D 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的负半轴可知k ＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
7．对于反比例函数
2
y
x
=，下列说法不正确的是（）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x ＜0时，y随x的增大而减小，正确，
故选C.
考点：反比例函数
【点睛】
本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化
8．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()
A．
3
2
OB
CD
=B．
3
2
α
β
=C．1
2
3
2
S
S
=D．1
2
3
2
C
C
=
【答案】D
【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ
=，所以B选项不成立；
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
9．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（）
A ．16cm
B ．1
3cm C ．12cm D ．1cm
【答案】D
【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.
【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，
∵AB//CD ，
∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，
∴△OAB ∽△OCD ，
∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高，
∴OF CD OE AB =，即2126
CD =， 解得：CD=1.
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.
10．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】A
【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
110°•（n-2）=3×360°
解得n=1．
故选A ．
点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为_____．
【答案】1
【解析】设四边形BCED 的面积为x ，则S △ADE =12﹣x ，由题意知DE ∥BC 且DE=
12BC ，从而得2ADE ABC S
DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，据此建立关于x 的方程，解之可得． 【详解】设四边形BCED 的面积为x ，则S △ADE =12﹣x ，
∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，且DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
则2ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x -=， 解得：x=1，
即四边形BCED 的面积为1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．
12．已知关于x 的不等式组0521x a x -≥⎧⎨
-⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范是______． 【答案】-3＜a≤-2
【解析】分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a 的范围．
详解：0521x a x ①②，
-≥⎧⎨->⎩ 由不等式①解得：x a ≥；
由不等式②移项合并得：−2x>−4，
解得：x<2，
∴原不等式组的解集为2a x ，≤<。