2020年福建省漳州市华安县第三中学高三数学理联考试题含解析

2020年福建省漳州市华安县第三中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量，，且，则m=
A. B. C. 0 D.
参考答案：
A
【分析】
结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。

【详解】，结合向量垂直判定，建立方程，可得
，解得，故选A。

【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。

2. 已知命题：“对任意，都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则
A. 命题“”为真命题
B. 命题“”为假命题
C. 命题“”为真命题
D. 命题“”为真命题
参考答案：
C
3. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C 略
4. （文）设全集U=R，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
：因为，Venn图表示的是,所以，故选A.
5. 已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，若双曲线右支上存在点P使得，则该双曲线离心率的取值范围为
A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，)
参考答案：
C
6. 如果随机变量，且，则（）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
参考答案：
C
,所以0.5- =0.5-0.3=0.2
选C.
7.
从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔
记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
参考答案：
答案:C
8. 若sinα=﹣，α是第四象限角，则tan（）的值是（）
A．B．﹣C．﹣D．﹣7
参考答案：
D
【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．
【分析】由α为第四象限角，得到cosα的值大于0，进而根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，可得出tanα的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把tanα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵sinα=﹣，α是第四象限角，
∴cosα==，
∴tanα==﹣，
则tan（α﹣）===﹣7．
故选D
9. 双曲线x2﹣2y2=2的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
参考答案：
A 【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y=±x，即可得到所求．
【解答】解：双曲线x2﹣2y2=2即为：
﹣y2=1，
即有a=，b=1，
则渐近线方程为y=±x，
即有y=±x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
10. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜
0成立，若a=（20.1）?f（20.1），b=（ln2）?f（ln2），c=(log2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】设g（x）=xf（x），由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）单调递减，再根据函数的奇偶性得到x∈（0，+∞）时，函数y=g（x）单调递增．由此能求出结果
【解答】解：∵设g（x）=xf（x）
∴g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf'（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，
∵f（x）满足f（x）=f（﹣x），
∴函数y=f（x）为奇函数，
∴函数y=g（x）为偶函数，
∴当x∈（0，+∞）时，函数y=g（x）单调递增．
∴20.1＞1，0＜ln2＜1，log2=﹣3，
∴g（﹣3）=g（3），
∴g（﹣3）＞g（20.1）＞g（ln2），
∴c＞a＞b，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，属于中档题
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的二项展开式中不含x的项为_____________.
参考答案：
12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________。

参考答案：
10
13. 4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的两张卡片上的数字之差的绝对值等于2的概率为．
参考答案：14. 在△ABC中，若
= .
参考答案：
略
15. 四棱锥
P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD
且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为▲．
参考答案：
略
16. 直线过圆的圆心，则圆心坐标
为。

参考答案：
略
17. 已知关于x的不等式﹣＜lnx（a＞0且a≠1）对任意的x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为．
参考答案：
（0，1）∪（，+∞）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】问题转化为＜lnx+，x∈（1，100），令h（x）=lnx+，x∈（1，100），求出h（x）的值域，从而求出a的范围即可．
【解答】解：∵﹣＜lnx，
∴＜lnx+，x∈（1，100），
令h（x）=lnx+，x∈（1，100），
则lnx＞0，
故h（x）≥2=4，
当且仅当lnx=2时“=”成立，
而h（100）=2ln10+，
而x→1时，lnx→0，h（x）→+∞，
故h（x）∈[4，+∞），
故＜4，
0＜a＜1时，lna＜0，成立，
a＞1时，lna＞0，
只需lna＞，即a＞即可，
综上：a∈（0，1）∪（，+∞），
故答案为：（0，1）∪（，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的性质，是一道中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，正方体中，为棱上的动点，为棱的中点．
（1）求证：直线
（2）求直线与平面所成角的正弦值
（3）若为的中点，在线段求一点，使得直线平面．参考答案：
19. 已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；
（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．
参考答案：
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（I）n≥2时，作差：a n+1﹣a n=，可得a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，由a2﹣a1＜0，即可证明：n∈N*时，a n＞a n+1．
（II）2=6+a n，∴可得=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，因此a n+1﹣2与a n﹣2同号，可得S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）．即可证明左边．由： =，可得：
a n≤2+2×．利用等比数列的求和公式化简即可证明右边．
【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1﹣a n=﹣=，∴a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，
由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，
∴n∈N*时，a n＞a n+1．
（II）∵2=6+a n，∴ =a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①
∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，
又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．
∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．
∴S n﹣2n≥2．
由①可得： =，
因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．
∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．
综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．
20. 已知函数f（x）=是奇函数，a，b，c为常数
（1）求实数c的值；
（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3求f（x）的解析式．
参考答案：
【考点】3L：函数奇偶性的性质；36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用奇函数的定义得到关于实数c的方程，解方程即可求得实数c的值；（2）结合题意和（1）的结论首先求得实数b的值，然后求得a的值即可确定函数的解析式．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，则：f（x）=﹣f（﹣x），即：，
化简可得：bx+c=bx﹣c，据此可得：c=0；
（2）又f（1）=2，所以a+1=2b（1），因为f（2）＜3，所以，
将（1）代入（2）并整理得，计算得出，
因为b∈Z，所以b=1，从而a=1，
函数的解析式：．
21. 函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为.
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；
（3）若函数，令函数数列满
足:且证明:.
参考答案：
解:(1) ，得
是以2为首项，1为公差的等差数列，故 (3)
分
(2) ，，
在点处的切线方程为
令得
仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分
(3)
所以又因则
显然
…………8分
………12分
………13分
22. 某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
参考答案：
【考点】频率分布直方图；频率分布表．
【分析】（1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；（2）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；
（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，
第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；
（2）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；
第5组：×6=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，
第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：
A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，
A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；
其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为
P==．。