第三章静电场中的电介质18页word文档

第 三 章 静电场中的电介质 （6学时）
一、目的要求
1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。

2．会求解极化强度和介质中的电场。

3．掌握有介质时的场方程。

4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。

二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（ 1学时）
4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路
本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。

四、重点难点
重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。

五、讲授要点
§3.1 电介质与偶极子
一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子
3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授
三、讲课提纲 1.电介质概述
电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。

特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。

当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷
产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ϖϖϖ，且表现出许多特性，如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情
况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。

它不能将介质内
部的原场处处抵消，而只能削弱。

介质内的电场00≠'+=E E E ϖϖϖ。

2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构
电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。

一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。

分子中电荷在远处一点激发的场近似等于全部正负电荷分别集中于各自的“重心”时激发的场，正负电荷“重心”重合在一起的称无极分子，如 H ,N ,CO 等。

正负电荷“重心”不重合在一起的称有极分子，像SO ,H O,NH 等。

这样一个分子等效为一个偶极子。

(2)偶极子
两个相距很近，带等量异号电量的电荷系统叫做偶极子
①偶极子在外场中受到的力矩 均匀外场中，0=∑F ρ
但受到一个力矩：θθθsin sin *2*sin *2*qLE L
F L F T =+=
定义：L q P ρ
ρ= 称为偶极子的偶极矩，上式可写为：
E P T ρ
ρρ⨯= 满足右手螺旋关系
Q 、L 可以不同。

但只要其乘积qL 相同，力矩便相同。

此力矩总是企图使偶极距转到外电场的方向上去；
非均匀外场中，0≠∑F ρ ∑≠0T ρ
如摩擦事的笔头吸引纸屑，其实质就是纸屑在笔头电荷的非均匀电场中被极化，等效为偶极子，偶极子受到非均匀电场的作用力（指向场强增大的方向）而向笔头运动。

②偶极子的场
中垂面上一点的场强：场点到q ±的距离相等，产生的场强大小相等为：
但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量相等 ，故有：
延长线上一点的场强 向右，向左， 故总场强大小为 偶极子在空间任一点的场强
3
02322
4)4(41
2r P
l r ql COS E E πεπεθ≈+==+⊥20)2
(41l r q E +=-πε+E -E F ρ
图3-3
+q
-q r
l
+q -q l ϖ
E ρ
F ρ
θ
图3-1 图3-2
分解电偶极矩为:
应用(1)、(2) 结果叠加得 ： 当 说明：（1）偶极子在空间任一点的电场，
取决于偶极矩
（2）P 在偶极子电场中的地位相当于q 在点电荷电场中的地位，但与r 的依赖关系不同。

四、作业
P115 3.2.2 3.2.3
§3.2 电介质的极化
一、 电介质的极化
在外电场的作用下，介质内部（或表面上）出现束缚电荷的现象。

1．无极分子的位移极化
无极分子的正、负电荷中心重合，加外场0E ρ
，其正负电荷等效中心将发生一定的相对
位移而形成电偶极子，如图3-5所示，在均匀介质内部正负电荷相消，而在两端出现未被抵消的正电荷或负电荷，这种在外电场作用下介质端部出现电荷的现象就叫 极化 。

由于这些电荷不自由而被束缚在原子分子上，所以极化产生的电荷叫极化电荷或束缚电荷。

对于上述极化是因电荷中心位移引起的，所以称作 位移极化 。

2． 有极分子的取向极化
外场0E ϖ对有极分子的分p ϖ有力矩作用：0E p L ϖϖρ⨯=分，使分p ϖ转向/趋向外0E ϖ方向，使
杂乱的各
分p ϖ有向排列。

0E ϖ越强，分p ϖ有向排列越好。

各分p ϖ在0E ϖ
方向取向——取向极化。

无序−−
→−0
E ρ
场有序， 各向同性→取向优化。

[综述]
一般地，以上兼而有之，在有极分子介质中取向极化占优势。

无论何种极化，外场0E ϖ
都要对介质分子做功，即介质储能、耗能。

至于分子电矩是固有的，还是感生的，对产生附加电场E 'ϖ
并无两样，在这个意义上可不予区别。

以后常用位移极化微观模型来研究问题。

二、 极化强度矢量
对于介质极化的程度和方向，可以用极化强度矢量 P 来描述，它是某点处单位体积内因极化而产生的分子电矩之和，即
偶极子中垂面上的电场 0
=θ偶极子延长线上的电场
图3-5
0E ϖ0E ϖ0
E ϖ加0
E ϖ0
E ϖ
分p ϖ图3-6
V
p P V
∆=
∑∆分子
ρϖ
V ∆为介质中所取的物理小体元（可看作一个宏观点），其中包含大量分子。

P ϖ
的物理意义即：介质中某点单位体积内所有分子电偶极矩之矢量和。

[说明]
(1)P ϖ是空间矢量点函数，介质中不同点一般P ϖ
不同。

若常量=P ϖ
，即不随空间变，则称介质均匀极化；
0=P ϖ可能的情况：真空中无介质分子，谈不上极化；导体中0=E ϖ
，谈不上极化；有
介质但未极化等。

(2) 若介质均匀，则指常数=r ε,而一般地),,(z y x r r εε=。

(3) P ϖ
的单位：2
米库。

(4) 设介质内某点),,(z y x 附近单位体积内介质分子数为),,(z y x n ，按统计平均看，当作各分子分p ϖ
大小相同且方向排列整齐，有：
l nq p n V
p n V V
p z y x P V
ϖρ
ρ
ρϖ
分分分
分
==∆⋅⋅∆=
∆=
∑
∆),,(
三、极化电荷q '
介质极化出现实际存在的电荷——极化电荷，而P ϖ
描述介质极化情况，故二者必有联系。

下面研究
1、以位移极化为例推导公式：∑⎰'-=⋅内
s s
q s d P ϖ
ϖ
介质内任取体积V ，其周界面为S 。

如图3-6取体元：θcos ds l dV =，则
θθπcos )cos(ds p ds p s d p 分分分-=-=⋅ϖ
ρ
dV 中介质分子极化后通过dS 面元穿出电量为
θcos lds nq ndV q q d 分分出
-=-='
s
d P s d np ds np ϖ
ϖϖ⋅=⋅=-=分分θcos
根据电荷守恒定律，正电荷留于dV 内，故dV 内净电荷为
ϖ0
E ϖs
d ϖS
θ
s d P q d q d ϖϖ⋅-='-='出
对于整体V 、S 有
⎰⎰⋅-='='s
s
s d P q d q ϖ
ϖ
或写成常用形式
∑⎰'-=⋅内
s s
q s d P ϖ
ϖ
上式表明：P ϖ矢量为有源场，其P ϖ
线之源为负的极化电荷，也可写成：
⎰⎰'-=⋅V
s dV s d P ρϖ
ϖ
其中V 为S 所围，ρ'为极化电荷体密度。

若均匀极化，则=P ϖ
常矢，有0='ρ。

2、极化电荷面密度σ'
在介质表面上，因极化电荷不能穿出表面S ，故相对集中面分布。

表面电荷厚度用斜高l 表示为：θcos l 。

取面元dS ，如图3-8所示，此厚度上净电荷
s d n P s d P ds l nq q d ϖ
ϖϖϖϖ⋅=⋅=='θcos 分
所以
四、退极化场E 'ϖ
介质处于外场0E ϖ
中发生极化，出现极化电荷),(σρ'''q ，q '在空间激发场E 'ϖ ——退极化场，故介质中总场为
E E E '+=ϖϖϖ0
一般地，E 'ϖ随点而异，且E 'ϖ处处与0E ϖ方向相反，但0E E ϖ
ϖ<'，故E 'ϖ只能削弱 外场，而不能完全抵消外场（导体情况可以完全抵消外场），所以，介质中： 0E E ϖϖ<。

极化过程描述如下：
↑
→→→极化电荷极化介质0E ϖ↵'−→−
E ϖ0
ε ___
______________________________
可见，决定介质极化程度和状态的是介质中的总场E ϖ。

五、电介质的极化规律
介质中合场E E E '+=ϖ
ϖϖ0决定极化强度P ϖ，P ϖ与E ϖ的关系如何即极化规律。

不同物质的
P ϖ～E ϖ
关系是不同的，需由实验确定。

对于线性介质，P ϖ与E ϖ
成正比，其极化规律为
⎪⎩⎪
⎨⎧++=++=++=Z Y X Z
Z Y X Y Z Y X X E
E E P E E E P E E E P 330320310230220210130120110χεχεχεχεχεχεχεχεχε 表示成矩阵形式为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3332312322211312110χχχχχχχχχεZ Y X P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Z Y X E E E 其中各系数ij χ与场无关。

再若介质为各向同性的，则P E ρ
ϖ//，有
⎪⎩⎪⎨⎧==≠=为极化率)()(0j i x x j i x e ij ij 有 ⎪⎩⎪⎨⎧===z z y y x
x E p E p E p 330220110χεχεχε
即
E p e ϖϖ
χε0=
值得指出：公式中的E ϖ为介质中总场。

e χ与E ϖ
无关，与介质种类有关，是介质材料属性的反映，是一个纯数。

e χ与r ε属同一类量，有表可查。

如r ε与坐标无关，则为均匀介质。

六、例题
例1：试解释经丝绸摩擦过的玻璃棒可吸引轻小物体。

解答：玻璃棒经摩擦带有电荷，在空间产生非均匀电场),,(z y x E ϖ
，轻小物
体为电介质，它在非均匀电场中极化而产生极化电荷，轻小物体所受的电场力指向电场线较密的方向，所以它被吸引而向玻璃棒运动。

例2：均匀极化强度为P ϖ
的介质球，其半径为R ，求σ'分布。

解：因为介质球均匀极化，所以0='ρ，极化电荷只能出现0≠'σ。

如图 3-9，有
θσcos P n P =⋅='ϖ
ϖ
可以证明：球面电荷按谐和函数分布，在球内产生的电场为均匀场。

例如，求O 处E 'ϖ
∵ϕθθθπεσπεd d R R
P
R ds E d sin cos 44122
020⋅='='
对称分析知：合场方向与P ϖ
反向, 即（-k ρ）方向，且θcos E d E d Z
'-=' ⎰⎰-='-='∴ϕθθθπεθd d P k E d k E sin cos 4cos 20ρρϖ ⎰
-=⋅-=π
επθθθπε0
2
32sin cos 4P
k d P k
ρρ。

例3、如图3-10平行板电容器，极板带自由电荷0σ±，其内充满均匀介质，
极化率为e χ，试求充满介质时的E ϖ
、C 、σ'与未充介质时的相应物理量0ϖ、0C 、0σ的关系。

(恒定Q)
解：
① ∵i E ρρ000εσ=
、i E ρρ0εσ'-='； ∴i E E E ρρρρ)(1
00
0σσε'-='+=，又 E P P e n χεσ0==='，代入上式右端，并令e r χε+=1，有：r
E E ε0
ρ
ρ=。

② 000000C d
S
d
E S
Ed
S
U
S
C r r
r
εεεσεσσ====
=
，其中0
00εσ=E 。

③ ∵
r εεσσσε0000
)(1
=
'-，即r
E
E ε0=； ∴ 0)1
1(σεσr
-
='。

又1>r ε，故：0σσ<'。

在电介质中任选一面元设 P 与dS 的夹角为θ，在位移极化中正负电荷相对位移为 l, 则在极化过程中穿过dS 的极化电荷
P
ϖθn
ϖ
)Z 图3-9 图3-10
x
pdS npdS nqdSl nqdV q d -=-==='θθcos cos
由此可得S d P q ρ
ρ⋅-='
对于任一闭合曲面就有 ⎰⎰⋅-='S
S d P q ρ
ρ
这表明，穿出任意闭合曲面的电极化强度的通量，等于这个闭合曲面所包围的极化 (束缚)电荷。

四、作业
P115 3.2.2 3.2.3 3.4.2 3.4.5
§3.4 有介质的高斯定理
介质存在时,场源有两部分
E q E q '
'ϖϖ
：极化电荷，激发：自由电荷，激发0
对应的场方程均有形式
∑⎰∑⎰'
=
⋅'=
⋅内
内s s
s s
q s d E q
s d E 0
011
εεϖϖϖϖ，而E E E '+=ϖ
ϖϖ0，则总场的闭面通量为：
)
(1
)(00
0∑∑⎰⎰'+=⋅'+=⋅内
内
s s s
s
q q s d E E s d E εϖϖϖϖϖ
该式即为介质中的高斯定理。

但该式的右端极化电荷q '不易实验上测量，惯常回避之，间接地得到它。

为此，运用
⎰∑⋅-='s
s s d P q ϖϖ内
代入上式，得 ∑⎰=⋅+内
s s
q s d P E 00)(ϖ
ϖϖε
引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement)
P E D ϖϖϖ+≡0ε
则高斯定理为 ∑⎰=⋅内
s s
q s d D 0ϖ
ϖ
[讨论]
1、∑⎰=⋅内
s s
q s d D 0ϖ
ϖ表述的优越性。

右侧不含极化电荷，D ϖ对高斯面S 的通量⎰⋅=S
D s d D ρρφ仅与其内自由电荷有关；用D ϖ
描
述电场，D ϖ
线起自正自由电荷，止于负自由电荷；当问题具有某种对称性时，可由高斯定
理求解，物理思路是：
先求D ϖ
→再求E ρ→再追究极化电荷分布等。

2、P E D ϖ
ϖϖ+=0ε是辅助物理量，无物理意义。

D ϖ是
E ϖ、P ϖ不同量之叠加，D ϖ与P ϖ
同量纲；
D φ仅由∑内s q 0表示，并不意味着D ϖ
仅与∑内s q 0有关，这因D ρ与∑内
s q 0并非直接关系。

对于各向同性线性介质：E P e ϖ
ϖχε0=，有 E E E E E D r e e ϖϖϖϖϖϖεεεχεχεε==+=+=0000)1(
式中: ΛΛe r χε+=1相对介电常数，无量纲，0≥e χ，1≥r ε；
ΛΛr εεε0=…绝对介电常数，与0ε同量纲。

常用关系：D E E P r
e e ϖ
ϖϖϖεχεεχε=
-==)(00。

除介质参数外，D P E ϖ
ρϖ,,三者知其一即可求出其它。

① 对于真空中
00000,1E D D r ϖ
ϖϖεεεεε====有率为真空介电常数或电容，故称，
② 对于导体中 ,因为0,0==D E ϖ
ϖ故。

3、r ε的物理意义。

r ε、e χ反映介质极化难易程度，即表示介质在一定场强下的极化能力。

结合均匀介
质r r z y x εε=),,(可从以下几方面认识：
(1) 从充满均匀介质电容器的电容看 , 0C C r ε=
电容增大r ε倍，0
C C
r =
ε。

(2) 从各向同性线性介质充满电场区域看
∑⎰⎰⎰=⋅=⋅=⋅内
s s
r s
r
s
q s d E s d E s d D 000ϖϖϖϖϖεεεε )1(
100∑⎰=⋅内
s r
s
q s d E εεϖϖ 或 ∑⎰=
⋅内
s s
r q
s d E 0
1
εεϖϖ
（均匀介质才成立） （非均匀介质也成立） ↓ ↓
与)(1
00
∑∑⎰'+=
⋅内
内
s s s q q s d E εϖϖ对比 与∑⎰
=⋅内
s s q
s d E 0
01εϖϖ对比
（介质中）此为一般式 （真空中） ⇓（谈源） ⇓（谈场）
)(1
1
00
0q q q s s r
'+=
∑∑内
内
εε E E r
ϖ
ϖε=0 11
<r
εΘ
，∑∑∴
内
内
〈s s r
q q 001
ε 或：D E D ϖρϖ
==ε0
即：∑∑<'+内
内
s s q q q 00)( 1>r εΘ E E >∴0
表明：介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽 表明：有介质时出现q '，
作用。

上述右侧有q '，而左侧有r ε，可见 它激发的E ρ
'对0E ρ场 介质对场影响又可通过r ε反映。

有部分抵消作用。

上述出现0D D ϖ
ϖ=，其物理意义为：介质中的D ϖ等于除去介质同样自由场源分布产生的
0E ϖ
的0ε倍。

[强调指出]
上述0D D ϖ
ϖ=是有条件的，并非一般，可归结为如下常见的几情况： ① 要么均匀介质充满电场全空间； ② 要么不同均匀介质区之间分界面是等势面； ③ 要么r ε连续变化，但r ε的等值面处处与等势面重合。

例如，如图3-11。

此时D ϖ
仅与自由电荷有关。

（一般地，是D φ仅与0q 有关，而D ϖ
既与自由电荷有关、又与极化电荷有关）。

4、带电导体表面外n D ϖ
ϖ00σ=
如图3-12，在导体与介质分界面处作高斯面，运用
1R 2
R 3
R A
B
)(x r ε2
r ε1
r ε介质 导体
0q s d D s
=⋅⎰ϖ
ϖ得
s s D ∆=∆0σ
∴ n D ϖϖ0σ=
5、比较E ϖ、P ϖ、D ϖ
三物理量的闭面通量
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧'+=⋅'-=⋅=⋅⎰⎰⎰)(1000
q q s d E q s d P q s d D s s s εϖϖϖϖ
ϖϖ
其中
普适关系为： P E D ϖϖϖ+=0ε
特殊关系为：
D
E P P
E D r
e
r ϖϖϖϖϖϖ)11()(0εεεχεε-=-=== 6、均匀介质内若无自由电荷，则不论极化均匀否，其体内无净束缚电荷，极化电荷分布在介质表面（若介质—空气，则只—层；若介质1—介质2，则两层）。

证明：
在均匀介质内任取闭面S ，因00==⋅⎰q s d D s ϖϖ，而有0=⋅-=⋅-='⎰⎰S r
e s s d D s d P q ϖ
ϖϖϖεχ 又⎰'='V
dv q ρ，S 为任意， 所以S 内无净极化电荷分布。

7、一般地，介质非均匀，不能引入与D ϖ
相应的势函数。

因为0=⋅⎰l
l d E ϖ
ϖ，所以可引入电势U ；但因
00≠⋅=⋅⎰⎰l
r l
l d E l d D ϖϖϖϖεε
故不能引入与D ϖ
对应的势函数。

8、退化情况
对于真空，00E D ϖϖε=，故0q s d D s
=⋅⎰ϖϖ退化为：∑⎰=
⋅内
s s
q
s d E 0
01
εϖϖ。

因而本节内容包括
真空而成为一般知识。

4、例题
例1：0q 点荷周围充满均匀介质ε，求E ϖ。

解：因E D r ϖϖεε0=，r ε为常数，所以D ϖ与E ρ
具有相同的对称性。

过场点作球面高斯面
S （以0q 为球心），应用0q s d D s
=⋅⎰ϖ
ϖ，得
024q r D =⋅π
2
4r
q D π=
02
00
2
001
)4(
1
4E r
q r
q D
E r
r r
επεεπεεε==
=
=
即
0D D ρρ=，或E E r ρρε=0
上述结果理解为：0q 周围被极化电荷包围（σ'分布于0q 邻近及无限大面上），使激发
场的有效场源削弱，r
E E ε0
ρ
ρ=。

[讨论]
(1)半径为R 的导体球带电0q ，球外充满ε均匀介质。

介质中场的表示式同上结果，
为⋂
=
r r
q E 2004περ。

(2)半径为R 的导体球带电Q ，球外介质分层均匀，同上计算D ρ
、E ρ。

例2：平行板电容器极板带电Q ，其内充满均匀介质ε，求D ϖ、E ϖ、P ρ
及C 。

解：处在均匀外场0E ρ中的均匀介质必发生均匀极化，D ρ
分布如同0E ρ、E ρ仍均匀。

作
高斯面如图3-13，用0q s d D s
=⋅⎰ϖ
ϖ，得
s s D ∆=∆0σ
i D ϖϖ0σ=
r
r r E i D
E εεεσεε0
000ϖ
ϖϖ
ϖ=== （∵i E ϖϖ000εσ=
） σ
+σ
-s ∆p
S
.
i E E P r
r e ϖϖϖϖ000)1
1()1(σεεεχε-=-==
0)1
1(σεσr
x P -
=='
（左负、右正，E 'ϖ
的方向：←）
i E E E E r r ϖ
ρρρϖ0
000)11()11(εσεε--=-=-='
000000C d
E s d E s
Ed s U Q C r r r εσεσεσ=====
总结以上的解题过程，给出思路为：→→→→'σP E D ϖ
ϖϖ其它。

[注意] U Q 与恒恒不同，会出现不同结果。

例题知识的拓宽与延伸—— (1)
分层均匀
如图3-14，由高斯定理知各区仍有
0σ=D ，000E D D ε==
自由电荷0σ均匀分布，真空场0
0εσ=E 。

但各区的场1E ρ、2E ρ不同
∵ 1
011
E εεεD
D
r
=
=
， 2
2εD
E =
∴ 101)1(1E P r -=εε， 202)1(2E P r -=εε
总电压221d E d E U +=，故21C C C 串=，有
2121C C C C C +=
其中1
11d s
C ε=
、2
22d s
C ε=。

(2) 分区均匀
如图3-15,各区仍有结论:i i D 0σ=，但两区不同：011σ=D ，022σ=D 。

0σ+0
σ-1ε2
ε1d 2
d 图3-14
01
σ+01
σ-1
c
① 若恒Q ： 则 d E d E 21=， 即：021E E E ==， 有：0
02
01εσεσ= 0201σεσr =∴， 即 21D D r ε= 此外 202101s s Q σσ+= 由此可求出0201σσ、。

② 若恒U ：则U d E d E ==21，d
U
E E =
=21 （结论与①不同）。

综合①、②情况，计算电容时，相当于两电容的并联，1C C =‖2C
21C C C +=d
s 1
ε=
d
s 2
0ε+
分区均匀时的电路图形可简化为图3-16所示。

例3：柱形电容器充满ε均匀介质，设内极带电线密度为λ，求介质内的E ϖ
及σ'分布。

解：作高斯面如图3-17所示，应用0q s d D s
=⋅⎰ϖ
ϖ得
l D rl λπ=2， r
D πλ
2=
⋂
=
r r
E πελ2ρ ，E P ρρ)(0εε-= 1
00112)
()(1
R r
E P R R r
R πελ
εεεεσ-=⋅-=-='⋂
ρ
2
02
02
22)
()(R r
E P R R r
R πελ
εεεεσ-=⋅-=='⋂
ρ
并且可以验证：0222211=⋅+⋅l R l R πσπσ，即电荷守恒。

四、作业
P116——117 3.5.2 3.5.4 3.5.8 3.5.10
§3.5 有介质时的静电场方程
1．介质中的高斯定理：
∑⎰=⋅内
s s
q s d D 0ϖ
ϖ
1
R 2
R ε
ε
l
r
图3-17
2．介质中电场满足的环路定理为 ⎰⎰⋅'+=⋅l
l
l d E E l d E ϖϖϖϖϖ)(0=00=⋅'+⋅⎰⎰l
l
l d E l d E ϖϖϖϖ
表明：电介质的存在归结为增加了一些新场源q '（激发E 'ϖ
），而未改变场的无旋性，故在介质中的静电场中仍可引用电势U 描述（注：此U 与E ϖ
对应）。

3．介质性能方程
E E E E E D r e e ϖϖϖϖϖϖεεεχεχεε==+=+=0000)1(
4，边值关系
(1) D 的法向分量连续
当交界面无面分布的自由电荷时
（2）E 的切向分量连续 而：
的切向分量在界面上连续
（3）D 线在界面上的折射 ① D 线在极化电荷处连续通过
② D 线始于正自由电荷和极化电荷， 止于负自由电荷和极化电荷
§3.6
一、教学内容 (1) 静电场的能量 （2）能量密度
ρ
t ˆ
续
的法线分量在界面上连D D D n n ρ
21=E E E t t ρ
21=线
D 图3-13
ˆ
ρ
图3-15
（3）静电场的应用举例 二、教学方式、 讲授
三、讲课提纲 1.静电场的能量
电场对于置于场中的电荷有力的作用，电荷在静电力的作用下移动要作功，说明电场具有作功的本领，具有电场能。

相反，要使物体不断带电而形成电场，外力也必须克服电荷间的相互作用而作功。

电场的能量在数值上就等于外力克服电场力所作的功，即
A W =
我们以电容器为例来求这个能量的大小。

电容器的带电过程是不断地从原中性的某一极板 B 将正电荷不断移向另一极板A 的过程，若电容器的电容是C ，两极板由中性变为分别带＋q 和－q 的电荷，则这时面板间的电势差为ΔU＝q ／C ，这时再将d q 电荷由B 板移到A 板，则外力作的功为
22
1
21CU qU W ==
对于平行板电容器 Ed U DS S q ===,σ
DEV DSEd W 2
1
21== 2．能量密度
电场的能量 W 反映了电场空间V 体积内的总能量，为了从能量角度比较电场的强弱，可以引入能量密度的概念。

所谓能量密度 ,就是单位体积内的电场能量，即
E D DE V W ρ
ρ⋅===2
121ω
此式虽然是从电容器且是匀强电场中推出的，但可以证明它是一个普遍适用的式子，不仅对所有电容器适用，而且对所有的电场都适用。

电场的能量密度正比于场强的平方，场强越大，电场的能量密度也越大。

对于非匀强电场，其能量 dV E D W V )(2
1⎰⋅=ρ
推广真空中场能量密度公式：202
1
E εω=。

仍以平行板电容器为例：其中充满均匀介质r ε，s Q σ=，σ=D ，所以
r
E εεσ
0=
，d s C C r εε==0，
V E D V d s s s d C Q W )21
(21)
(2)(2222
2⋅=⋅⋅==⋅==εσσεσσε
有
DE V W 2
1
==
ω 将能量密度写成矢量点积形式为
E D ϖϖ⋅=2
1ω
将该式推广至一般：当e w 分布不均匀时，介质中总场能为
⎰⎰⋅==v
v e dV E D dV w W ϖ
ϖ21
3．示例计算
例1：导体球带电q 、半径为R ，球外为真空，求W 。

解：
2
04r q E πε=
外
R
q dr d d r r q dV
E W R 02
2
22020208sin )4(212
1
πεφθθπεεε===⎰⎰∞ 例2：均匀带电球体，半径为R 、总电量为q ，球外0ε，求W 。

解：由高斯定理求得
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=
=203044r q E R qr E πεπε外内
因E 仅为r 的函数，故用球坐标系方便，且体积元宜取dr r dV 24π=，所以
dr r r q dr r R qr dV E W R R 2220
0022300204)4(2144(2121ππεεππεεε⎰⎰⎰∞+==）
R
q 02
203πε=。

延拓—— 若球外充满均匀介质ε呢？
则外部的场减弱至外E ε1，用2
2121E E D e εω=⋅=ϖϖ做，而内部则不变。

四、作业
P118 3.6.1 3.6.3 3.7.1。