南通市初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题

南通市初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题
一、选择题
1．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．1010
25
3
x x
-=B．
1010
25
3x x
-=C．
10105
312
x x
-=D．
10105
312
x x
-=
【答案】D
【解析】
【分析】
设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．
【详解】
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：10105
312 x x
-=
故答案为D．
【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）
A．
600450
25
x x
=
-
B．
600450
25
x x
=
-
C．
600450
25
x x
=
+
D．
600450
25
x x
=
+
【答案】C
【解析】
【分析】
原计划平均每天生产x个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.
【详解】
由题意得：现在每天生产（x+25）个，
∴
600450
25
x x
=
+
，
故选：C.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
3．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力
比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ） A ．400400
(130%)x x
-+＝4 B ．400400
(130%)x x -+＝4
C ．
400400
(130%)x x
--＝4 D ．
400400
4(130%)x x
-=-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】
设每月原计划生产的医疗器械有x 件， 根据题意，得：()400400
4130%x x -=+
故选A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
4．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200
4030
x x -=+ B ．72003000
4030x x -=+ C ．
72003000
4030x x -=+ D ．
30007200
4030x x
-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：
72003000
4030x x -=+ 故选：C 【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
5．若关于x 的方程244
x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4．
关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是( ) A ．
1010152x x
-= B ．
1010
152x x
-= C ．
1010124
x x -= D ．
1010124
x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】
设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15=分钟”列出方程即可得． 【详解】
设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，
∴所列方程正确的是：
1010124
x x -=，
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
8．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）
A．
111
103020
+=
--+
x x x
B．
111
103020
+=
++-
x x x
C．
111
103020
-=
++-
x x x
D．
111
102030
+=
-+-
x x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，
列方程为
111
103020
+=
++-
x x x
.
设规定时间为x天，则
甲队单独一天完成这项工程的
1
10 +
x
，
乙队单独一天完成这项工程的
1
30
x+
，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的
1
20 x-
.
则
111
103020
+=
++-
x x x
.
故选B.
【点睛】
此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
9．若数a使关于x的不等式组
()
3x a2x1
1x
2x
2
⎧-≥--
⎪
⎨-
-≥
⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且
使关于y的分式方程y5
1y
-
-
+3=
a
y1
-
有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是
（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】
不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．若关于x的方程
3
33
x m m
x x
+
+
--
=3的解为正数，则m的取值范围是（）
A．m＜9
2
B．m＜
9
2
且m≠
3
2
C．m＞﹣9
4
D．m＞﹣
9
4
且m≠﹣
3
4
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=
29
2
m
-+
，
已知关于x的方程
3
33
x m m
x x
+
+
--
=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜9
2
，
当x=3时，x=
29
2
m
-+
=3，解得：m=
3
2
，
所以m的取值范围是：m＜9
2
且m≠
3
2
．
故答案选B．
11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）
A．120150
8
x x
=
-
B．
120150
8
x x
=
+
C．
120150
8
x x
=
-
D．
120150
8
x x
=
+
【答案】D
【解析】
【分析】
首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.
【详解】
解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，
∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150
8
x x
=
+
，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.
12．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【详解】
由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
13．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()
A．3036
10
1.5
x x
-=B．
3030
10
1.5
x x
-=
C．
3630
10
1.5x x
-=D．
3036
10
1.5
x x
+=
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10
=亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，
根据题意列方程为：3036
10
1.5
x x
-=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．若整数a使得关于x的方程
3
2
22
a
x x
-=
--
的解为非负数，且使得关于y的不等式
组
322
1
22
3
y y
y a
--
⎧
+>
⎪⎪
⎨
-
⎪≤
⎪⎩
至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．
A．17 B．18 C．22 D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【详解】
解：
322
1
22
3
y y
y a
--
⎧
+>
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
„
，
不等式组整理得：
1 y
y a
>-
⎧
⎨
⎩„
，
由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，
2－
3
22
a
x x
=
--
，
去分母得：2（x－2）－3＝－a，
解得：x＝7
2
a -
，
∵7
2
a
-
≥0，且
7
2
a
-
≠2，
∴a≤7，且a≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()
A．5
x
＋
1
6
＝
5
2x
B．
5
x
＝
5
2x
＋
1
6
C．
5
x
＋10＝
5
2x
D．
5
x
－10＝
5
2x
【答案】B
【解析】
【分析】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．
【详解】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，
由题意得, 5
x
＝
5
2x
＋
1
6
所以答案为B.
【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
16．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
-+
【答案】A 【解析】 【分析】
设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程． 【详解】
解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍
∴
900900
213x x ⨯=+- 故选A ． 【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
17．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．600480
40x x
=- B ．600480
40x x =+ C ．
600480
40x x =+ D ．
600480
40
x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
480600
40x x =+. 故选B ． 【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480
x
天和现在生产600台机器所需时间为
600
40
x +天是解答本题的关键．
18．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不
等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩
无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=-- ∴83
a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803
a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
19．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得
A ．
25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060
(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010180%60
x x -=+ 故选A ．
20．解分式方程221112
x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-
C ．4241x x x +-=-
D ．221x x x +-=- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．
【详解】 ∵
221112x x x x --=--， ∴221112
x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，
去括号得：4x+2x-4=x-1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．。