人教新课标版数学高二-高中数学(人教B版)必修5训练 第一章《解三角形》素质检测

第一章综合素质检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)
1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A ．6
B ．2
C ．3
D ． 2 D
在△ABC 中，由正弦定理，得
sin C ＝c sin B b ＝2×
326＝12
， 又∵B ＝120°，∴C 为锐角，
∴C ＝30°，∴A ＝30°，∴a ＝c ＝ 2.
2．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
C
cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12
，∴B ＝60°. 3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( )
A ．31010
B ．－31010
C ．55
D ．－55 D
BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A
＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10，
cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55
. 4．(2013～2014学年度山东菏泽市高二期末测试)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，c cos A ＝b ，则△ABC ( )
A ． 一定是锐角三角形
B ．一定是钝角三角形
C ．一定是斜三角形
D ．一定是直角三角形
D
解法一：∵c cos A ＝b ，
∴sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
∴sin A cos C ＝0，
∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，又0<c <π，
∴C ＝π2
，故选D ． 解法二：由余弦定理，得
c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝b ， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，
即a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．
5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( )
A ．α>β
B ．α＝β
C ．α＋β＝90°
D ．α＋β＝180°
B
仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.
6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )
A ．725
B ．－725
C ．±725
D ．2425 A
由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5c sin2B ＝8c sin B ，∴cos B ＝45
，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725
. 7．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( )
A ．150°
B ．120°
C ．90°
D ．135°
B
解法一：∵m >0，∴m 2＋3m ＋3>2m ＋3，
m 2＋3m ＋3>m 2＋2m . 故边m 2＋3m ＋3对的角为最大角，由余弦定理，
cos θ＝(2m ＋3)2＋(m 2＋2m )2－(m 2＋3m ＋3)2
2(2m ＋3)(m 2＋2m )
＝－12
，∴θ＝120°. 解法二：特值法．取m ＝1，则三边长为5,3,7
∴cos θ＝52＋32－722×5×3
＝－12，∴θ＝120°. 8．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根，则A 为( )
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
A
把已知方程整理得(sin A －sin C )x 2＋2sin B ·x ＋(sin A ＋sin C )＝0，
Δ＝4sin 2B －4(sin A －sin C )(sin A ＋sin C )＞0，
即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＞0.
∴b 2＋c 2－a 2＞0，∴cos A ＞0，可知A 为锐角．
9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a
＝( ) A ．2 3
B ．2 2
C ．3
D ． 2 D
∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，
∴由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，
∴sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，
∴sin B ＝2sin A ，
∴sin B
sin A ＝ 2.
由正弦定理，得b a ＝sin B
sin A ＝ 2.
10．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
B
由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，
∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，
∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，
得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，
即a ＝2b 或b ＝2A ．
当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；
当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.
故△ABC 为直角三角形．
11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )
A ．532
B ． 3
C ．5
2 D ．5
A
AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5， ∴cos A ＝－12，∴sin A ＝3
2，
∴S △ABC ＝1
2|AB →|·|AC →|·sin A ＝53
2.
12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则(
) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形
B ．△A 1B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
D
由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由
⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin
(π2
－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1C 2＝π2－C 1， 那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2
，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8
5，则此三角形面积为________．
40 3
设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－142
80x 2
得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12
×16×10·sin60°＝40 3. 14．在△ABC 中，若tan A ＝13
，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 102 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102
. 15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．
332
解法一：∵∠BAD ＝60°，
∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.
∵CD ＝2，AC ＝19，
∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719
.
∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738
. ∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D ＝19×35738sin120°
＝3. ∴h ＝AD ·sin60°＝332
. 解法二：在△ACD 中，
AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，
∴AD 2＋2AD －15＝0.
∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．
∴h ＝AD sin60°＝332
. 16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c
，则△ABC 的形状为________． 直角三角形 ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b 2c
， ∴cos A ＝b c
. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c
，∴a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(2013～2014学年度贵州遵义四中高二期中测试)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos A ＝
1010，cos C ＝55
. (1)求角B 的大小；
(2)若c ＝4，求△ABC 的面积．
(1)∵cos A ＝1010，cos C ＝55， ∴sin A ＝31010，sin C ＝255
，
∴cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝
1010×55－31010×255＝－22， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝
22
.又∵0<B <π， ∴B ＝π4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C
， ∴a ＝c sin A sin C ＝4×31010255＝3 2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×32×4×sin π4＝12×32×4×22＝6. 18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C ． 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，
∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①
由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－23 ②
①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3＋1
c ＝2
， 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝(3＋1)sin60°6
＝6＋24
. ∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.
∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角，
∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.
求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22
，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24
，∴B ＝75°. 19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行
80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．
AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060
＝40. 在△ABP 中，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°，
∴BP ＝AB sin ∠APB
·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，
PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋(203)2＝207. ∴P 、C 间的距离为207n mile.
20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
(1)由已知，根据正弦定理，得
2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
即a 2＝b 2＋c 2＋bC ．
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
故cos A ＝－12
，A ＝120°. (2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ．
∴34＝1－sin B sin C ，∴sin B sin C ＝14
. 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12
. 因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C ．
所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
另解：∵A ＝120°且sin B ＋sin C ＝1
∴sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＝32
cos B ＝sin(B ＋60°)＝1 又60°<B ＋60°<120°
∴B ＋60°＝90°，∴B ＝30°从而C ＝30°
∴△ABC 为等腰的钝角三角形．
21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14
. (1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．
(1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14
，0<C <π， ∴sin C ＝104
. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C
，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64
. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6c ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝26
c ＝4
. 22．(本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为2，求b 、C ．
(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，
得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，
即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13
. (2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223
. 由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5.
由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3
c ＝2.。