2020-2021备战中考数学专题《二次函数》综合检测试卷含答案解析

2020-2021备战中考数学专题《二次函数》综合检测试卷含答案解析
一、二次函数
1．如图，抛物线y ＝12
x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝
213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3
2，﹣258
）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5
4
）． 【解析】 【分析】
（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】
（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112
⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2． y 21322x =
-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325
2
8
，
-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．
当y ＝0时，213
22
x -x
﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．
（3）∵顶点D 的坐标为 （3
2528，
-），∴抛物线的对称轴为x 32
=． ∵抛物线y 12=
x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 213
22
x =-x ﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x 3
2
=
交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：2
40b k b =-⎧⎨+=⎩，
解得：122k b ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩
，∴y 12=x ﹣2．
当x 32=
时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（35
24-，
）． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=3
8
x2﹣
3
4
x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9 10
（3）K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣
9 10
（t﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=3
4
x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得
S△CBK=9
4
．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=
1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m），把相关线段的
长度代入推知：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．易求得K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a
b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=38
x 2﹣
3
4
x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=
35
t ． ∴S △PBQ =12PB •HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+9
5t=﹣910（t ﹣1）2+910
．
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，
S △PBQ 最大=
910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩
，
解得
3 k
4 c3
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=
3
4
x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，
3
4
m﹣3）．
∴EK=
3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9
10
．
∴S△CBK=9
4
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=
1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m）
=
1
2
×4•EK
=2（﹣
3
8
m2+
3
2
m）
=﹣
3
4
m2+3m．
即：﹣
3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范
围．
3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；
（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,
0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2
1
4
y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2
y x bx c =-++，
有10
930
b c b c --+=⎧⎨
-++=⎩。

解得2,3b c ==
2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴
（Ⅱ）由2
22
424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∵点E 在直线y x =上，2
424
b c b
+∴=
221111
(1)4244c b b b ∴=-+=--+
2110,(1)44A b ⎛
⎫∴--+ ⎪⎝
⎭
当1b =时，点A 是最高点此时，2
1
4
y x x =-++
（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q
2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭
∴E 关于x 轴的对称点E '为2
(2)
,24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),24b b E '
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
代入(1)(1)y b x =-+-.
得
2(2)(1)142b b b +⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
，即2680b b --= 解得，317b =±。

0,317b b >∴=-Q 舍去.
317b ∴=+
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
4．如图，直线y ＝-
1
2
x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；
(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；
(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．
【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34
(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为27
4；此时D(﹣3，﹣15
4
)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】
（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，
14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1
2
m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝3
2
x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】
解：(1)在y ＝﹣
1
2
x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：
36630
4230a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得：141
a b ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为：y ＝14
x 2
+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1
2
m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.
∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3
2
m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC
＝12DF•AE+1
2•DF•OE ＝1
2
DF•OA ＝
12×(﹣14m 2﹣3
2
m)×6
＝﹣34m 2﹣92
m ＝﹣
34(m+3)2+274，
∵a ＝﹣3
4
＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274
， 又∵当m ＝﹣3时，14
m 2+m ﹣3＝﹣154，
∴存在点D(﹣3，﹣
15
4)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274
； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝
3
2
x+9， 由23
9
2
134
y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设x 1，x 2是方程两根，且
121111
x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k
【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】
解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣
1
4
； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2，
又∵121111
x x k +=-， ∴12121
1
x x x x k +=⋅-， 即
2211
1
k k k +=+ ，
解得：12k k ==
又∵k ≥﹣14
， 即：k
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -
，两根之积等于c
a
”是解题的关键.
6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ． （1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值
为317
±
或
117
±
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到
930
{
3
b c
c
-++=
=
，解得
2
{
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE=BE
DE =
1
2
，
∵∠MBA=∠BDE，
∴
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
当点M在x轴上方时，
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
解得m=﹣1
2
或3（舍弃），
∴M（﹣1
2，
7
4
），
当点M在x轴下方时，
223
3
m m
m
--
-
=
1
2
，
解得m=﹣3
2
或m=3（舍弃），
∴点M（﹣3
2，﹣
9
4
），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得317
±
，
当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=117
2
±， ∴满足条件的m 的值为317±或
117
±. 【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x +a ﹣3，当a ＝0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ． （1）求点B 的坐标；
（2）将抛物线在直线y ＝a 上方的部分沿直线y ＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．
【答案】（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）﹣3＜a ≤0； 【解析】 【分析】
（1）由题意直接可求A ，根据平移点的特点求B ；
（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y ＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点； 【详解】
解：（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）； （2）当函数经过点A 时，a ＝0， ∵图形M 与线段AB 恰有两个公共点， ∴y ＝a 要在AB 线段的上方， ∴a ＞﹣3 ∴﹣3＜a ≤0； 【点睛】
本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．
8．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
（
）的图象
与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、
（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
9．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P
的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-
1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=1
4
（x-2）2=
1
4
x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
2
1
4
1
1
4
y x
y x x
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-+
⎪⎩
＝
＝
，解得：
1
1
1
1
4
x
y
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，2
2
4
1
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴点A的坐标为（1，1
4
），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，
1
4
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨
⎪+-⎩＝＝，解得：1312
43
k b ⎧
-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43
， 当y=-1时，有-1312x+4
3
=-1， 解得：x=
28
13
， ∴点P 的坐标为（
28
13
，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=
14
m 2
-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1
4
m 2-m+1）+1， 整理得：（1-
12-1
2
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴00022000
11
10222220230
y x y x y y ⎧--⎪⎪
-+⎨⎪+--⎪⎩
＝＝＝， ∴00
21x y ⎧⎨⎩＝＝，
∴定点F 的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；
（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．
11．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （3
7
-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】
试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；
（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．
试题解析：（1）当2
23y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，
2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．
当2
23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图
1所示．
∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3
{
4b k b =--+=，解得：7{3
k b =-=-，∴直线C′D 的解析
式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=3
7
-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（3
7
-
，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3
a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．
12．如图，若b 是正数，直线l ：y =b 与y 轴交于点A ；直线a ：y =x ﹣b 与y 轴交于点B ；
抛物线L ：y =﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．
（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；
（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；
（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）1
2
；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】
（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；
（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离2
4
b b -，配方即
可得出结论；
（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】
（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．
∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，2
4
b ）．
∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 21
44
b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为
1；
（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12
-
． ∵x 0≠0，∴x 0=b 1
2
-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．
∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12
-
）12=．
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
13．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.
【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌
，得到BQ =AP Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+
AC 中点坐标为33,22⎛⎫-
⎪⎝
⎭ ∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨
=-⎩ 得1
1x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2
123y x y x x =-⎧⎨
=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0
x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP =26 设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-. 【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式
14．如图，直线y=﹣
x+
分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 2+bx+经过A ，B 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
15．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点c的坐标为(0,6).点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.
t 时，线段PQ的中点坐标为________；
（1）当2
（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；
（3）当1t =时，抛物线2
y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶
点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使1
2
MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）t =
或3t 4=；（3）
124(,)39D ，2240
(,)39D -. 【解析】
分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；
（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：
①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB
＝，分别列方程可得t 的值；
（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．
详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0）， ∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P （2，0），Q （3，4）， ∴线段PQ 的中点坐标为：（2+32，0+4
2），即（52
，2）； 故答案为：（
5
2
，2）； （2）如图1，∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ ∽△QBC 时，
PA QB AQ BC
＝， ∴
36223t t
t --＝， 4t 2-15t+9=0，
（t-3）（t-
3
4
）=0，
t 1=3（舍），t 2=
34
， ②当△PAQ ∽△CBQ 时，
PA BC AQ QB
＝， ∴33
262t t t ＝--， t 2-9t+9=0，
， ∵0≤t≤6
＞7， ∴
不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是34
或2
； （3）当t=1时，P （1，0），Q （3，2），
把P （1，0），Q （3，2）代入抛物线y=x 2+bx+c 中得：
10932b c b c ++⎧⎨
++⎩＝＝，解得：3
2b c -⎧⎨⎩
＝＝， ∴抛物线：y=x 2-3x+2=（x-32）2-1
4
， ∴顶点k （
32，-1
4
）， ∵Q （3，2），M （0，2）， ∴MQ ∥x 轴，
作抛物线对称轴，交MQ 于E ， ∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ， ∴∠MKE=∠QKE=1
2
∠MKQ ， 如图2，∠MQD=
1
2
∠MKQ=∠QKE ，设DQ 交y 轴于H ，
∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ ∽△QMH ， ∴
KE MQ EQ MH
＝， ∴
1
2+
3432MH ＝， ∴MH=2， ∴H （0，4）， 易得HQ 的解析式为：y=-
2
3
x+4， 则2243
32
y x y x x ＝＝⎧
-+⎪⎨⎪-+⎩， x 2-3x+2=-
2
3
x+4， 解得：x 1=3（舍），x 2=-23
， ∴D （-
23，409
）； 同理，在M 的下方，y 轴上存在点H ，如图3，使∠HQM=
1
2
∠MKQ=∠QKE ，
由对称性得：H （0，0），
易得OQ 的解析式：y=
23
x ， 则223
32
y x y x x ⎧⎪⎨⎪-+⎩＝＝， x 2-3x+2=
23
x ， 解得：x 1=3（舍），x 2=23
， ∴D （
23，4
9
）； 综上所述，点D 的坐标为：D （-
23，409
）或（23，49）． 点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t 表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．。