高二数学下学期期末结业考试试题(实验班)文 新目标A版

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2019年上期高二年级实验班结业考试试卷
文科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷，分两卷。

其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I 卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.设集合{}1,0,1,2,3A =-， {}
032
>-=x x x B ，则)(B C A R （ ）
A. {－1}
B.{0,1,2,3}
C. {1,2,3}
D. {0,1,2} 2.已知复数51
i
z i =
-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.要想得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像( )
A.向左平移
6π
个单位 B.向左平移
12π
个单位 C.向右平移6
π
个单位
D.向右平移12
π
个单位
5.若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ）
A ．
4π B ．6π C. 1π D ．2π
6.已知0.3
0.4a =，0.40.3b =，0.2
0.3
c -=，则（ ）
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．a b c <<
7.若双曲线x 2
﹣
=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2
=1至多有一个交点，则双曲
线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．[2，+∞）
C ．（1，
] D ．[
，+∞）
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD 是矩形，棱AB EF //，4=AB ，2=EF ，ADE ∆和BCF ∆都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A.
320 B.323
8
+ C.3210 D.328
9.函数2
tan ()1x
f x x x
=++
的部分图象大致为（ ）
10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）
( 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305︒≈︒≈)
A ． 3.10?S ≤
B ． 3.11?S ≤
C ． 3.10?S ≥
D ． 3.11?S ≥
11.若存在(x ,y )满足
23100290360x y x y x y -+>⎧⎪
+->⎨⎪--<⎩
，且使得等式3x +a (2y -4ex )(ln y -ln x )=0成立，其中
为自然对数的底数，则实数的取值范围是( ) A. (－∞,0)∪[e 23，+∞) B. [e
23
，+∞) C. (－∞,0) D. (0,
e
23
] 12.已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2
在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等
式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[15，+∞） B
． C ．[1，+∞）
D ．[6，+∞）
第II 卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知向量45
(2sin ,cos )36
a ππ=，(),1
b k =.若//a b ，则k = ．
14.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆1b
y a x 22
22=+（a ＞b ＞0）的左焦点，点P 在椭圆上，
直线PF 与以OF 为直径的圆相交于点M （异于点F ），若点M 为PF 的中点，且直线PF 的斜率为3，则椭圆的离心率为 ．
15.长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3=CE ，
9
3
5cos =
∠ACE ，且四边形11A ABB 为正方形，则球O 的直径为 . 16.若函数()()
2
2
2
log 14
8
a f x x a x a a π
π=++--
+
(0a >，
且1)a ≠在实数R 上有三个不同的零点，则实数a =__________．
三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的首项为11=a ，且 ()()
*
+∈+=N n a a n n 121.
（Ⅰ）证明：数列{}2+n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()3log 2log 22-+=n n a b ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+23n n a b 的前n 项和a T .
18.（本题满分12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -中1AA AB =，D 为1BB 的中点.
（1）求证：1
AC AD ⊥； （2）若点P 为四边形11ABB A 内部及其边界上的点，且三棱锥P ABC -的体积为三棱柱111ABC A B C -体积的
1
6
，试在图中画出P 点的轨迹，并说明理由.
19.（本题满分12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3
）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： ⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3
的概率；
⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20.（本题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 的离心率为21，点⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1P 在椭圆C
上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若斜率存在，纵截距为2-的直线l 与椭圆C 相交于B A 、两点，若直线BP AP ,的斜率均存在，求证：直线BP OP AP ,,的斜率依次成等差数列．
21.（本题满分12分）
已知函数21
()ln ()2
f x x ax a R =
+∈. （1）若曲线()y f x =在11
(,())22
f 处的切线1l 与直线:220l x y +-=垂直，求a 的值；
（2）讨论函数()f x 的单调性；若存在极值点0(1,2)x ∈，求实数a 的取值范围.
选考题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分 22.（选修4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数，0απ<≤ ）.
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：=4cos ρθ . （1）当4
π
α=
时，求C 与l 的交点的极坐标；
（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数1t ，2t 互为相反数，求AB 的值.
23.（选修4-5.不等式选讲）
已知函数()|1|||f x x x a =+--，其中a 为实数. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；
（2）当[0,)x ∈+∞时，不等式()2f x <恒成立，求a 的取值范围.
2019年上期高二年级实验班结业考试文科数学参考答案
13.2 14.
﹣1 15.4或51 17. .（Ⅰ）
∵()()
222,1211+=+∴+=++n n n n a a a a （2分）
则数列{}2+n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
1232-⨯=+∴n n a ，即()
*-∈-⨯=N n a n n 2231.（6分）
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，()12log 3log 2log 1
222-==-+=-n a b n n n ，12
1
23--=+∴
n n n n a b .（7分） 12
21021
22222120---+-+⋯+++=
∴n n n n n T ，（8分） n n n n n T 2
1
22222120211321-+-+⋯+++=-，
（9分） n n n n n n n n T 21
1212
11212121212121211n 31+-=----
=--+⋯++=∴-，
（11分） 则121
2-+-=n n n T .（12分）
18.
解法一：（1）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ， ∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，
∴所以1AA CF ⊥．
∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点， ∴CF AB ⊥，
又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ，
又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥
正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD △△≌，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，
∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， 又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1A CF ， ∴AD ⊥平面1A CF ，
又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1A C AD ⊥．（6分）
（Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．（8分） 理由如下
1
1
:
∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，
∴
P 到平面ABC 的距离为11
2
BB ． 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅111111
66
ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．（12分）
解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，
1
1
正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，
平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，
所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．
正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，
所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，
又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1A CF ，所以AD ⊥平面1A CF ，
1
1
又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1A C AD ⊥．（6分）
（2）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．（8分） 理由如下．
设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意16
1
6131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故12
1
BB h =
． 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为
11
2
BB ．
（12分）
19.
（1）
（3分）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3
的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（6分）
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（8分） 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（10分） 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．（12分） 20.
（1）由1491,2122=+=b a a c 知13
4:,1,3,222=+∴===y x C c b a …………………4分 （2）设2:-=kx y l ，代入知()04164322=+-+kx x k
0∆> 214
k ∴> 设),(),,(2211y x B y x A ，则2214316k
k
x x +=+，221434k x x += ………………7分
()()()()111271271231232112212211---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--+--
=+x x x kx x kx x y x y k k BP AP ()()1
727221212121++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x x k x kx 3716421481243164)43(7271682222=+-+-=++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k k k k k k k k ∴OP BP AP k k k 2=+直线BP OP AP ,,的斜率依次成等差数列。

………………12分
21. （Ⅰ）依题意1()22f x ax x '=+，(0,)x a >∈R ，所以112k f a ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭
， 因为1l 与直线l ：220x y +-=垂直，得1(1)()12
a +⋅-=-，解得1a =．（5分） （Ⅱ）因为2141()222ax f x ax x x
+'=+=(0)x >． 当0a ≥时，()0f x '>在0x >上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；（7分）
当0a <时，由()0f x '=，2410ax +=
，解得x =（8分） 由()0f x '>，2410ax +>
，解得0x <； 由()0f x '<，2410ax +<
，解得x 此时()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝，()f x
的单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭
． 综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；
当0a <时，()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝，()f x
的单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭
．（9分） 若存在极值点0(1,2)x ∈
，由函数的单调性知，0x =0a <；
由12<，解得11416a -<<-．（11分）
所以所求实数a 的取值范围为11(,)416
--．（12分） 22.
解法一：（Ⅰ）由4cos ρθ=，可得2
4cos ρρθ=，
所以224x y x +=，即2240x y x +-=， 当π4α=时，直线l
的参数方程1,21,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =， 联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩
解得交点为(0,0)或(2,2)， 化为极坐标为(0,0)
，π)
4（5分） （2）由已知直线恒过定点(1,1)P ，又021=+t t ，由参数方程的几何意义知P 是线段AB 的中
点，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，半径r 2=
的圆，且||PC =
由垂径定理知：||AB ===（10分） 解法二：（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为π(R)4
θρ=∈， 当0ρ>时，联立π,44cos θρθ,⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得交点π)4， 当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，
当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)
，π)4
．（5分）
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=， 可知120t t +=，122t t ⋅=-，
所以12||AB t t =-==（10分）
23.
（1）1a =时，()2,1|1||1|2,112,1x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩
，
故()112
f x x ≥⇒≥，即不等式()1f x ≥的解集是1[,)2+∞；（5分） （2）[0,)x ∈+∞时，()21||f x x x a <⇒+--2||1x a x <⇒->-， 当[0,1)x ∈时，10x -<，显然满足条件，此时a 为任意值； 当1x =时，1a ≠；
当(1,)x ∈+∞时，可得1x a x ->-或1a x x ->-，求得1a <； 综上，(),1a ∈-∞.（10分）。