八年级数学上册 分式填空选择单元培优测试卷

八年级数学上册 分式填空选择单元培优测试卷
一、八年级数学分式填空题（难）
1．已知a 1＝1t t
+，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＋1＝11n a - (n 为正整数，且t≠0，1)，则a 2018＝______(用含有t 的式子表示)．
【答案】1＋t
【解析】
分析：把a 1代入确定出a 2，把a 2代入确定出a 3，依此类推，得到一般性规律，即可确定出a 2018的值．
详解：根据题意得：a 1=1t t +，a 2=1111t t t
=+-+，a 3=411111111t a t t t t
=-==--++，…，2018÷3=672…2，∴a 2018的值为1+t ． 故答案为：1+t ．
点睛：本题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解答本题的关键．
2．
已知==x y n 为正整数)，则当=n ______时，22101012902018x y xy +-+=．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据分式的分母有理化把x 、y 化简，利用完全平方公式把原式变形，计算即可．
【详解】
解：
221===+-x n
221===++y n 1=xy ，
2222221010129020181010129020181010+-+=+-+=+x y xy x y x y
2222194019421942=+=++=+x y x xy y
2()196+=x y ，
14+=x y
则
212114+-++=n n ，
解得，3n =，
故答案为3．
【点睛】
考查的是分式的化简求值、完全平方公式，掌握分式的分母有理化的一般步骤是解题的关键．
3．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180km 的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差_________分钟.
【答案】10
【解析】
【分析】
设从家到风景区原计划行驶速度为x km/h ，根据“实际时间=计划时间－4060
”得出方程，求出原计划的行驶速度，进而计算出从家到风景区所用的时间以及回家所用的时间，即可得出结论．
【详解】
设从家到风景区原计划行驶速度为x km/h ，根据题意可得：
1801.5x x -+11804060
x =-， 解得：x =60，
检验得：x =60是原方程的根． ∴第一天所用的时间601804060=-=73
(小时)， 第二天返回时所用时间=180÷(60×1.2)=2.5(小时)，
时间差=2.5－73=16
(小时)=10(分钟)． 故答案为：10．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，正确得出方程是解答本题的关键．
4．若关于x 的分式方程
x 2322m m x x
++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是____．
【答案】m ＜6且m≠2.
【解析】
【分析】
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】
x 2322m m x x
++=--， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6，
解得，x=6-2
m ， 由题意得，
6-2
m ＞0， 解得，m ＜6， ∵
6-2
m ≠2， ∴m≠2， ∴m＜6且m≠2.
【点睛】
要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点．
5．化简
a b b a a b
+--的结果是______ 【答案】﹣1
【解析】 分析：直接利用分式加减运算法则计算得出答案．
详解：
a b b a a b +--=a b b a b a ---=()1a b b a b a b a
---==---． 故答案为-1． 点睛：此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6．已知x m =6，x n =3，则x 2m ﹣n 的值为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
逆用“同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则”进行解答即可.
【详解】
∵63m n x x ==，，
∴222()6312m n m n x x x -=÷=÷=.
故答案为12.
【点睛】
熟记“同底数幂的除法法则：m n m n a a a -÷=，幂的乘方的运算法则：()m n mn a a =，并能
逆用这两个法则”是解答本题的关键.
7．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：
①若c≠0，则＝1；
②若a ＝3，则b ＋c ＝9；
③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；
④若a ，b ，c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.
其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①③④
【解析】
试题分析：在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得
，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得
c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．
考点：分式的基本性质；分类讨论．
8．若关于x 的分式方程
2222x m m x x +=--有增根，则m 的值为_______． 【答案】1
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．
【详解】
解：方程两边都乘2x =，得22(2)x m m x -=-
∵原方程有增根，
∴最简公分母20x -=，
解得2x =，
当2x =时，1m =
故m 的值是1，
故答案为1
【点睛】
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．若a 2+5ab ﹣b 2=0，则
的值为__．
【答案】5 【解析】 试题分析：先根据题意得出b 2﹣a 2=5ab ，再由分式的减法法则把原式进行化简﹣===5． 故答案为：5．
点睛：本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
10．若关于x 的方程
233x m x x =+--无解．则m =________. 【答案】3
【解析】 【分析】
先去分母得到整式方程x=2（x-3）+m ，整理得x+m=6，由于关于x 的方程
233x m x x =+--无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入x+m=6即可求出m 的值． 【详解】
去分母得x=2(x−3)+m ，
整理得x+m=6，
∵关于x 的方程233
x m x x =+--无解. ∴x−3=0，即x=3，
∴3+m=6，
∴m=3.
故答案为：3.
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
二、八年级数学分式解答题压轴题（难）
11．阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式23411
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2
341(1)(3)x x x x a b +-=+++.
因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，
所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.
所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩
. 所以2341(1)(31)211
x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111
x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411
x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361
x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）请将分式4225932
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122
x x x x x +-=--++. 【解析】
【分析】
（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；
（2）将42593x x +-分解为22
(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩
，求出m 、n ，整理后即可得到答案.
【详解】
（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++， ∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，
∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+-
∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511
a b =⎧⎨=⎩， ∴22361
x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-； （2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，
∵22(2)(5)x x m n +++=42242
51025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，
∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩
， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12
x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】
此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.
12．阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x
+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．
因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x 的方程
11222mx x x
-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．
【解析】
【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,
(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,
解得:x =﹣
22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】
解:（1）小强的说法对,理由如下:
解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,
因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,
同时a ﹣2≠1,即a ≠3,
则a 的范围是a ＞2且a≠3,
（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,
整理得:（m ﹣2）x =﹣2,
当m ≠2时,解得: x =﹣22
m -,
由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,
解得:m =3,4,0.
【点睛】
本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.
13．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？
【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时.
【解析】
分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.
详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.
由题：
90120181.660
x x =+ 解得：50x = 检验：50x =是原方程的解.
并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.
答：返回时的平均速度是80千米/小时.
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.
14．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?
【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级
【解析】
【试题分析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：
2727,21818.s x y s x
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可.
因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有
()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且
01m n ≤-≤，经试验知只有13,26
m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：132********
⨯+⨯=(级).
【试题解析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有 2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
① 把方程组①中的两式相除,得
327418
s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有 ()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231
m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,2
6m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：1
3272541986
⨯+⨯=(级).
15．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种
水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克；
（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．
（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．
【详解】
解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，
（1000
x
+2）×2x=2400
整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．
经检验，x=100是原方程的解．
答：该商店第一次购进水果100千克．
（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950
整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．
答：每千克水果的标价至少是15元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．。