高三数学1月月考试题 文 试题

高级中学2021届高三数学1月月考试题 文
样本数据1x ，2x ，，n x 的HY 差(n s x x =
++- ；
锥体体积公式 1
3V Sh
=
其中S 为底面面积，h 为高； 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高；
球的外表积2
4πS R = 球的体积公式 3
4π3V R =
其中R 为球的半径。

第一卷 (选择题，一共60分〕
一、选择题〔本大题包括12小题,每一小题5分,一共60分,每一小题给出的四个
选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的,请将正确选项填写上在答题纸上〕
1．设M {}2|0x x x =-≤，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，那么M
N =
A ．[)0,1
B ．()0,1
C ．[]
0,1
D ．(]1,0-
2．i 为虚数单位，复平面内表示复数2i
z i
-=+的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．命题“2000,10x R x x ∃∈-->〞的否认是 A ．2,10x R x x ∀∈--≤
B ．2,10x R x x ∀∈-->
C ．2,10x R x x ∃∈--≤
D ．2,10x R x x ∃∈--≤
4．双曲线22
1169
x y -
=的离心率为
A.
7
4
B.
5
4
C.
4
3
D.
53
5. 假设α是第四象限角，且5
tan 12
α=-
，那么sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513
-
6. 等比数列{}n a 的公比为正数，且2
574
24,1a a a a ==，那么1a = A ．
1
2
B ．
2
2
C ．2
D ．2
7. 阅读下面的算法框图，输出的结果S 的值是 A ．1
B ．12
C ．3
D ．
32
8．y x y x y x 31
1,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是
A ．2
B ．22
C ．4
D ．23
9．空间几何体的三视图如下图，根据图中 标出的尺寸(单位:cm )可得该几何体的体积为
2
2
2
10．假设1sin(
)3
4π
α-=
，那么cos(2)3
π
α+= A ．78- B ．14- C ．14 D ．7
8
11. 函数13
()2log x f x x =-，假设0x 是函数)(x f 的零点，且010x x <<，那么
)(1x f 的值
A ．恒为正值 B. 等于0 C. 恒为负值 D. 不大于0
12．点M 在曲线22430x y x +++=上，点N 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-0344302y
y x x 所表示的平
面区域内，那么|MN |的最小值是 A
1- B ．2
C
D ．1
第二卷〔非选择题，一共90分〕
本卷包括必考题和选考题两局部,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须答题,第22题—24题为选考题,考生根据要求答题。

二、填空题〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分,把正确答案填写上
在答题纸中的横线上〕
13. 向量()()m b a ,231-==，，，假设b a a 2+与垂直，那么m 的值是 。

14. 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，假设过点Q 的直线l 与抛物线有公一共点，那么直线l 的斜率的取值范围是 。

15. 如图ABC ∆中，2AB AC ==
，BC =，点D 在BC 边上且45ADC ∠=︒，
那么AD 长度为 。

16. 在三棱锥P-ABC 中，△ABC 是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=34，假
设P ，A ，B ，C 四点在某个球的球面上，那么该球的外表积为 。

三、解答题〔本大题必做题5小题，三选一选1小题，一共70分，解容许写出
文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17. (本小题满分是12分)
等差数列{n a }满足20a =，6810a a +=-。

〔I 〕 求数列{n a }的通项公式；
〔II 〕记11
()2
n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

A
BA
DA
CA
18. (本小题满分是12分)
为调查某学生百米运动成绩,从该学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进展百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

(Ⅰ) 在第一组和第五组内任取两个学生，记这两人的百米测试成绩分别为
,,m n 求事件“2>-n m 〞的概率；
〔Ⅱ〕 根据有关规定，成绩小于16秒为达标．假如男女生使用一样的达标
HY,那么男女生达标情况如附表： 完成上
述2×2列
联表，根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关〞？假设有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
性别
是否达标
男
女
合计 达标 24a =
b =___ _____ 不达标
c =___
12d =
_____
合计
______ ______
50n =
19. (本小题满分是12分)
如下图的几何体中，矩形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直,
AD AB AF 22==,M 为AF 的中点,CE BN ⊥。

〔Ⅰ〕求证:MBD CF 平面//； 〔Ⅱ〕求证:BDN CF 平面⊥。

20. (本小题满分是12分)
椭圆E 的左、右焦点坐标分别为〔2-，0〕、〔2，0〕6
焦点任作一条与坐标轴不垂直的直线交E 于A 、B 两点。

〔I 〕求椭圆E 的方程；
〔II 〕点M 〔3-，0〕，试判断直线AM 与直线BM 的倾斜角是否总是互补，并说明理由。

21．(本小题满分是12分)
A
B
C
N
M
F
D
E
()ln ,(0,]f x ax x x e =-∈,其中e 是自然常数，a ∈R 。

〔I 〕当a =1时，求()f x 的单调区间和极值；
〔II 〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由。

请考生在第22、23、24题中任选一题在答题纸上做答,假如多做,那么按所做的第一题记分。

22.(本小题满分是10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合。

AE 的长为m ，AC 的长为n ,AD 、A B 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。

〔I 〕证明：C 、B 、D 、E 四点一共圆；
〔II 〕假设∠A=90°，且4,6m n ==，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径。

23.(本小题满分是10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．直线l 经过点P(1,1),倾斜角6
π
α=。

〔I 〕写出直线l 的参数方程；
〔II 〕设直线l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的间隔 之积。

E A D B
110,21210,
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩11,1.
a d =⎧⎨
=-⎩
24.(本小题满分是10分) 选修4-5：不等式选讲
函数()2f x x a a =-+。

〔I 〕假设不等式)(x f ≤6的解集为{}|23x x -≤≤，务实数a 的值； 〔II 〕在〔I 〕的条件下，假设存在实数n 使)(n f ≤)(n f m --成立，务实数m 的范围。

高级中学2021-至2021学年上学期期末考试卷
高三文科数学 参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13. 1- 14. [1,1]- 15. 16. 64π 三、解答题
〔I 〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件可得
17. 解：解得
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- …………………….……5分
〔II 〕设数列1
{
}2n n n a n S -的前项和为，即
2
111,122n
n n a a S a S -=+++
=故，
12
.224
2n n
n S a a a =+++
1
.
2n n n S -=
所以，当1n >时，
121
1111222211121()
2422
121(1)22n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
=.2n n
所以
综上，数列11
{
}.2
2n n n n a n n S --=的前项和 …………………….……12分
所以5
3
106)2(==>-n m P ．.....…....................................6分
〔Ⅱ〕列列联表联表如下：依据题意得相关的22⨯
性别 是否达标
男
女
合计
达标 a =24 b=6 30 不达标 c=8 d=12 20 合计
32
18
n=50
...................................9分
2
2
50(241268)32183020
K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8．333
由于2
K >6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关〞
故可以根据男女生性别划分达标的HY .................................12分
19. 〔I 〕证明：连结AC 交BD 于O ,连结OM
因为M 为AF 中点，O 为AC 中点, 所以MO FC //,
又因为MBD MO 平面⊂,
所以MBD FC 平面//; …………………4分
(II)因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直, 所以ABCD AF 平面⊥ 所以BD AF ⊥，又因为
所以ACF BD 平面⊥,所以BD FC ⊥
因为，正方形ABCD 和矩形ABEF ，所以BE AB BC AB ⊥⊥,, 所以BCE AB 平面⊥，所以BN AB ⊥,又因为
AB EF //,所以BN EF ⊥
又因为BN EC ⊥,所以CEF BN 平面⊥，所以FC BN ⊥,
所以BDN CF 平面⊥。

…………………12分
A
B
C
N
M F
D
E
O
22.
解析：〔I〕连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点一共圆。

〔Ⅱ〕m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.
因为C，B，D，E四点一共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 〔12-2〕=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
23.解：〔I〕直线的参数方程是． -----------------〔5分〕
〔II〕因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,那么点A,B的坐标分别为．
圆化为直角坐标系的方程．
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------〔12分〕。