不定积分的分部积分法

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不定积分的分部积分法

2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５：被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递推公式例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１：口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４：有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )

不定积分分部积分法

解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2，令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.

3.2.4_不定积分的分部积分法

1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；

不定积分部分积分法

不定积分部分积分法
不定积分的部分积分法，也叫做“分部积分法”，是求解不定积分中的一种常用方法。

其基本思想是将一个复杂的函数的不定积分转化为两个简单函数之间的关系，从而简化积分运算。

部分积分法的公式表达如下：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
其中，u(x)和v(x)分别是函数u和v的原函数，u'(x)和v'(x)分别是函数u和v的导数。

具体操作步骤如下：
1.选取u(x)和v'(x)，其中u(x)为被积函数的一部分，并且它的导函数u'(x)容易求得；v'(x)为另一部分，并且它的原函数v(x)容易求得。

2.计算u'(x)和v(x)。

3.应用部分积分公式，将被积函数分解为两个简单函数数乘及求导的形式。

4.求解新的积分，可能需要再次应用部分积分法或其他积分技巧。

5.最终得到原方程的不定积分。

需要注意的是，部分积分法只适用于能找到合适的u(x)和v(x)
的情况，如果无法找到合适的u(x)和v(x)，则无法应用此方法。

此外，部分积分法还可以用于计算定积分，只需在公式两边同时加上积分上下限，即可得到定积分的部分积分公式。

不定积分的分部积分法公式

不定积分的分部积分法公式“不定积分的分部积分法公式”是一个复杂的数学概念，它用于计算一类曲线函数的定积分的近似值。

不定积分的分部积分法公式也被称为埃尔米特积分公式，是一种广泛应用的积分技术，为计算复杂曲线函数提供了有效的数值计算方法。

首先，我们需要了解什么是不定积分。

不定积分是一类特殊的函数，它可以用来计算曲线的面积，可以表达为：∫ f (x) dx=F (b)-F (a)其中，F (x)表示与x有关的积分函数，a和b分别表示曲线的两个端点。

不定积分不能精确计算，但可以采用分部积分公式来估计积分值。

埃尔米特积分公式是常用的一种不定积分的分部积分法。

它是由数学家埃尔米特博克曼于1851年发明的，埃尔米特积分公式可以用来计算以下积分：∫a^b f(x)dx (f (x_i)Δx)其中，Δx表示曲线上每个分段的x方向距离，f (x_i)表示每个分段上x坐标位置处的函数值，Σ表示求和符号；a和b分别表示曲线的两个端点。

有了不定积分的分部积分公式，我们就可以简单地计算出复杂曲线的积分值了。

我们可以假设曲线在每一部分上都呈线性变化，也就是说，f (x)的图像可以被拆分成N个等距的直线段，称为分段线，然后再分别求每一段的积分，将它们相加就得到了曲线的积分值了。

也就是说，我们可以利用这样的公式来求解曲线函数：∫a^b f (x) dx (f (x_i)Δx)用上面的公式，我们可以对曲线函数进行拆分，将曲线分段，然后求出每个分段的积分值，最后将所有分段的积分值相加得到整个曲线的积分值，也就是不定积分的结果了。

埃尔米特积分公式是研究和应用积分技术最重要且最常用的方法之一，它可以用来计算复杂曲线函数的定积分。

埃尔米特积分公式是一种有效的、快速的计算手段，在一定程度上可以减少函数积分计算的误差，帮助我们准确地计算函数的积分值。

埃尔米特积分公式在工程计算中也有重要应用，它可以用来计算各种复杂函数的积分，例如建筑工程中混凝土结构的受力计算、软件设计中的面向对象编程等。

22 不定积分的分部积分法

对: 对数函数练习 (1) x ln x d x . (2) x arctan x d x . 幂: 幂函数指: 指数函数 v x 解: (1) 令三: 三角函数

1 2 v x 则 2 1 1 2 原式 = x ln x x dx 2 2
1 2 1 2 x ln x x C 2 4
都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，
这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.
2
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由导数乘法公式： (uv) u v uv
积分得:
uv u vdx u v dx
或
分部积分公式
1) v 容易求得 ; 容易计算 .
2 2 2
ln( x 2 1)d (x 2 1)
( x 2 1) ln( x 2 1) 2 xdx
( x 2 1) ln(x 2 1) x 2 C.
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7
分部积分过程： u vdx u dv uv v du uv vu dx 例3 求 x 2 e x dx. 解
2
u x , e dx de dv ,
x x
2 x
x e
2 x
dx x e 2 xe dx
2 x x
降幂
x u x , e dx dv （再次使用分部积分法）
x e 2( xe e ) C .
x x
用分部积分法，使多项式的次数降低
8
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不定积分的分部积分法

x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =

§4.3 不定积分的分部积分法

2
不能这样选择
u
和
dv .
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
由此可见, 运用分部积分法的关键在于恰当地选择 u 和 dv 一般选择 u 和 (1)
.
dv
的原则是:
v
要容易求得;
(2) 积分 vdu 要容易计算. 按“反函数，对数函数，幂函数，通常根据被积函数的表达式，
指数函数，三角函数”的顺序，排前者取为 u
（4.3.1）
udv uv vdu
udv
或
uvdx uv vudx
公式(4.3.1)称为不定积分的分部积分公式.
当求有困难, 而求
vdu
比较容易时, 分部积分法就
可以发挥作用了.
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
例1
解
x xe dx 求
e x cos x e x sin x e x sin xdx
移项有
2 e x sin xdx e x cos x e x sin x C1
1 x e sin xdx 2 e (sinx cos x ) C
x
从而
有些不定积分需要综合运用换元积分法与分部积分法才能求出结果.
1 2 1 1 1 2 1 x2 x arctan x ( 1 )dx x arctanx dx 2 2 2 2 1 x 2 2 1 x 1 2 x 1 x arctanx arctanx C 2 2 2
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
x sinx ( cos x ) C x sin x cos x C .

不定积分的分部积分法一十

x x x e sinx [e cos x e d (cos x )]
e x sinx e x cosx e x sinxdx
2 e x sinxdx e x sinx e x cosx C1
1 x e sinxdx 2 e (sinx cosx ) C .
（4） x 2 sinxdx 。
（5）求 e x s
x
也可以选择 x
u e , dvsinxdx
解： e x sinxdx sinxd (e x ) e x sinx e x d (sinx )
e x sinx e x cosxdx e x sinx cosxd (e x )
xf ( x ) f ( x )dx xf ( x ) f ( x ) C
sinx sinx x( ) C x x
2sinx cosx C . x
x x
e x ln x ln xd (e x ) e x ln xdx
e x ln x e x ln xdx e x ln xdx
e x ln x C .
sinx 例 3．设 f ( x ) ，求 x f ( x )dx 。 x
解： x f ( x )dx x d [ f ( x )]
3.2.4 不定积分的分部积分法
一、分部积分公式
udv uv vdu 。
二、分部积分法
分部积分的关键是正确选取 u 和 dv ，其选取原则是：
（1） v 要容易求出；（2） vdu 要比 udv 容易积出。
例 1.(1)求 xe x dx 。
（2） ln xdx

不定积分分部积分法

dx x2 a2
10
3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。

不定积分-不定积分的分部积分法

推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)

3.3 不定积分的分部积分法

4. 凡多项式与对数函数乘积的积分可使用分部积分法.
例5 求 ∫ x 3 ln xdx .
1 4 解：令u = ln x , 则dv = x dx = d x . 4 4 x 3 x ∫ ln xdx = ∫ ln xd 4 1 4 x4 = x ln x − ∫ d (ln x ) 4 4 1 4 1 3 = x ln x − ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − x + C 4 16
设函数u = u( x )和v = v ( x )具有连续导数,
( uv )′ = u′v + uv′, uv′ = ( uv )′ − u′v
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx 或 ∫ udv = uv − ∫ vdu. ∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx ∫ udv = uv − ∫ vdu
2
1 1 + x2
dx
= 1 + x 2 arctan x − ln x + 1 + x 2 + C
原题 I = ∫
解2：设 x = tan t , 则
∴∫ x arctan x 1 + x2
x arctan x 1 + x2
dx .
t tan t sec 2 t dx = ∫ dt sec t
= ∫ t tan t sec tdt = ∫ t d sec t = t sec t − ∫ sec tdt = t sec t − ln sec t + tan t + C
x
x e = e (sin x − cos x ) − ∫ sin xdx 1 x x ∴ ∫ e sin xdx = e (sin x − cos x ) + C 2

22 不定积分的分部积分法

降幂
2 2 x2 x x 讨论: cos xd( ) cos x d cos x x cos xdx 2 2 2 升 x2 x2 cos x sin xdx 幂 2 2
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分部积分过程： u vdx udv uv v du uv vu dx
c3 xdx 解 x sec32xdx sec x sec2 xdx sec xd tan x sec sec xdx sec xd tan x
回归
所以
14
1 sec3 xdx (sec x tan x ln | sec x tan x |) C . 2
(e x cos x e x d cos x) e sin x
x
e (sin x cos x) e sin xdx
x x
原积分回归
ex e x sin xdx (sin x cos x) C. 2
12
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分部积分过程： u vdx udv uv v du uv vu dx
n x 1 xdx 1 x2 ln x 1 x2 C . 2 2 4
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分部积分过程： u vdx udv uv v du uv vu dx 例4 5 例
arccosxdx x arccosx xd arccosx
1 dx x arccosx x 1 x2 1 1 (1 x2 ) 2 d (1 x2 ) x arccosx 2

19不定积分的分部积分法

由上述等式，可解得

ex
sin
xdx

1 2
ex
sin
x

cos
x

C.
12
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例9 求 sec3 xdx.
解
sec3 xdx sec xd tan x sec x tan x tan x sec x tan xdx
sec x tan x sec x sec2 x 1 dx
常见积分及相应规则如下:
xnexdx, xn cos xdx, xn sin xdx,
将指数函数或三角函数视为v, 交换后对幂函数求导；
xn ln xdx, xn arcsin xdx, xn arctan xdx,
将幂函数视为 v, 交换后对对数函数或反三角函数求导.
3
解
xarcsin xdx

x2 2
arcsin x
1 2

x2 dx
1 x2
代入而到上面x的2 积d分x ,x 有 sin t sin2 tdt
x
arcs1int
1xd1xxs2inx22t
arcsin
cost
x
C
1 4
arcsin
x

1 4
x
1 x2 C.

1 2

x
2

cos
xdx
1 x2 cos x 1 x2 sin xdx,
2
2
此时经过分部积分后, 积分表达式比原来的更为复杂了,
说明这样的选择不合适.
4

不定积分分部积分法

不定积分分部积分法不定积分的分部积分法为Sudv＝uv−Svdu。

例1 求∫x2exdx解：这道题的被积表达式是两个函数相乘，我们首先考虑凑微分法。

但尝试后发现，无论把那个函数凑入微分符号中，积分都不会变简单。

这时候，可以考虑使用分部积分法了。

根据“反对幂指三”的顺序，我们优先选择把指数函数 ex 凑入微分符号，得∫x2d(ex) .由分部积分公式得，原式= x2ex−∫exd(x2)=x2ex−2∫xexdx .这时候剩下的这个积分的被积表达式又是两个函数相乘的形式，而且与一开始的积分形式是一样的，所以对这个积分再次使用分部积分。

即∫xd(ex)=xex−∫exdx=(x−1)ex+C .容易计算出最后的结果是∫x2exdx=(x2−2x+2)ex+C .例2 求∫ln⁡xdx .解：这道题乍一看似乎可以直接用积分公式，但一想，不对啊，没有对应的积分公式可以用啊。

而被积表达式就只有一个函数光溜溜地站在那里，既不能换元，也不能凑微分，那么这时候就又可以考虑分部积分法了。

我们把 ln⁡x 看作 1⋅ln⁡x ，那么 1 就是一个幂函数（ x0 ）。

现在根据“反对幂指三”的顺序，我们选择把幂函数凑入微分符号，得到和原式一样的∫ln⁡xdx 。

下一步就是分部积分了，根据公式，容易得到：xln⁡x−∫xd(ln⁡x) .计算易得，原式= xln⁡x−∫x⋅1xdx=x(ln⁡x−1)+C .从上面两个例题我们便可以总结出分部积分法的基本步骤了：①凑微分，∫f(x)g(x)dx=∫f(x)dG(x) ，其中g(x) 的类型是“反对幂指三”中靠后的类型；②带入分部积分公式，∫f(x)dG(x)=f(x)G(x)−∫G(x)df(x)③计算微分 df(x) ；④计算积分∫G(x)f′(x)dx ，可能还需要再用一次分部积分法；。

不定积分分部积分

不定积分分部积分
不定积分分部积分法公式是Sudv＝uvSvdu。

不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。

由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。

之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。

不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。

它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。

它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。