【人教A版】高中数学必修一课时提升作业(十三) 1.3.2.2
人教A版 高中数学必修一：课时提升作业(十一)_1.3.1.2(1)
人教A版高中数学必修一：课时提升作业(十一)_1.3.1.2(1)函数的最大值、最小值(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数f(x)=在[1,+∞)上( )A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.有最小值,也有最大值D.无最大值,也无最小值【解析】选A.函数f(x)=是反比例函数,当x∈(0,+∞)时图象下降,所以函数f(x)=在[1,+∞)上为减函数,f(1)为最大值,无最小值.2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )A.0B.-1C.2D.3【解析】选C.函数y=|x+1|+2的图象如下:所以最小值为2.【变式训练】函数y=x+( )A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,最大值2D.无最大值,也无最小值【解析】选A.因为y=f(x)=x+在定义域上是增函数,所以y ≥f =,即函数最小值为,无最大值,选A.3.函数f(x)=,x ∈[1,2],若常数M 满足:对任意的x ∈[1,2],都有f(x)≥M,且存在x 0∈[1,2],使f(x 0)=M,则M 为( )A.1B.C.2D.【解析】选B.因为函数f(x)=在[1,2]上是减函数,故f(x)min =f(2)=,f(x)max =f(1)=.所以f(x)≥,即M=.4.函数f(x)=-2x 在区间上的最小值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选D.由函数单调性的定义判断.任取x 1,x 2∈,且x 1>x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(x 2-x 1), 因为x 1>x 2,所以x 2-x 1<0,因为x 1∈,x 2∈, 所以x 1·x 2>0,+2>0,所以f(x 1)-f(x 2)=(x 2-x 1)<0, 则函数是定义域内的减函数,故其最小值为f =-1.5.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为( )A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元【解析】选A.设售价为x元,利润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80)=-20(x-95)2+4500(80≤x≤110),所以当x=95时,y有最大值4500.6.当-1≤x≤1时,函数y=2x2-2ax+1-2a有最小值是-,则a的值为( )A.1B.3C.1或3D.【解析】选A.由y=2x2-2ax+1-2a=2+1-2a-.①当≤-1,即a≤-2时,y min=f(-1)=2+2a+1-2a=3≠-不符合题意;②当-1<≤1,即-2<a≤2时,y min=f=1-2a-=-,得a=1或a=-5(舍);③当>1,即a>2时,y min=f(1)=3-4a=-,得a=<2(舍).故a=1.【举一反三】本题条件不变,求y=2x2-2ax+1-2a的最大值.【解析】由y=2x2-2ax+1-2a有最小值-,得a=1,此时y=2x2-2x-1=2-,x∈[-1,1],所以当x=-1时,y max=3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为.【解析】由f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,f(x)min=f(0)=a=-2,则f(x)=-(x-2)2+2,f(x)max=f(1)=1.答案:18.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为.【解析】当x∈(1,2]时,f(x)=2x+6,所以8<f(x)≤10;当x∈[-1,1]时,f(x)=x+7,所以6≤f(x)≤8,所以函数f(x)的最大值、最小值分别为10,6.答案:10,69.函数f(x)=-x2+2x在[1,2]上的最大值为.【解析】f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以函数f(x)在[1,2]上为减函数,所以函数f(x)的最大值为1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.把长为10cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.【解析】设铁丝一段长xcm,0<x<10,则另一段铁丝长为(10-x)cm,两正方形面积之和为ycm2,依题意,y=+=(x-5)2+,当x=5时,y取最小值.所以这两个正方形面积之和的最小值为cm2.11.设y=x2+mx+n(m,n∈R),当y=0时,对应x值的集合为{-2,-1}.(1)求m,n的值.(2)若x∈[-5,5],求该函数的最值.【解析】(1)当y=0时,即x2+mx+n=0,则x1=-1,x2=-2为其两根,由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m,所以m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n,所以n=2.(2)由(1)知:y=x2+3x+2=-,因为x∈[-5,5],所以,当x=-时,该函数取得最小值f(x)min=f=-,又因为f(-5)=12,f(5)=42,所以当x=5时,该函数取得最大值f(x)max=f(5)=42.【变式训练】已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-2).(1)求二次函数的解析式.(2)当0≤x≤3时,求二次函数的最大值与最小值,并求此时x的值.【解析】(1)因为最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,所以顶点坐标为(1,2),设二次函数为y=a(x-1)2+2(a≠0),并且图象经过点(3,-2),所以-2=4a+2,解得a=-1,所以二次函数为y=-(x-1)2+2.(2)因为y=-(x-1)2+2,0≤x≤3,所以当x=1时,y的最大值为2,当x=3时,y的最小值为-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),则关于x的函数y=(x-1)⊗(x+1)的最大值是( )A.1B.C.D.【解题指南】解题的关键是理解运算⊗,然后将y=(x-1)⊗(x+1)的解析式求出.【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y),所以(x-1)⊗(x+1)=-x(x-1)=-x2+x=-+≤.所以最大值为.2.函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是( )A.[2,+∞)B.[2,4]C.(-∞,2]D.[0,2]【解析】选B.f(x)=(x-2)2+1,最小值1在x=2时取得,最大值5在x=0,4时取得,所以m的取值为[2,4].3.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是( )A.0B.-2C.-D.-3【解析】选C.x2+ax+1≥0,即a≥,所以,只需a不小于的最大值.而=-x-=-,y=x+在x∈是减函数,其最小值在x=时取到为+2=,所以,的最大值为-,即a的最小值为-,选C.4.(若定义在[-2013,2013]上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈[-2013,2013],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2012,且x>0时,有f(x)>2012, f(x)的最大、小值分别为M,N,则M+N的值为( )A.2011B.2012C.4022D.4024 【解析】选D.任取x1,x2∈[-2013,2013]且x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-2012,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2012,因为x>0时,有f(x)>2012,所以f(x2-x1)-2012>2012-2012=0,所以f(x)在[-2013,2013]上是增函数,所以M=fN=f(-2013).又令x1=x2=0,得f(0)=2012.令x1=-2013,x2=2013,则f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2012可变为f(0)=N+M-2012,所以M+N=4024.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)的最小值为.【解题指南】根据f(x+1)=x(x+3),x∈R先求出函数的解析式,再根据解析式求最小值. 【解析】由f(x+1)=x(x+3)=x2+3x=(x+1)2+x+1-2,所以f(x)=x2+x-2=-≥-,所以函数f(x)的最小值为-.答案:-【误区警示】本题易因对f(x)的解析式求解错误而导致结果错误.6.设函数f(x)=mx2-mx-1(m∈R).若对于x∈[-2,2],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围为.【解题指南】根据f(x)<-m+5在[-2,2]上恒成立,将m分离出来,转化为求一个函数在[-2,2]上的最值问题.【解析】由mx2-mx-1<-m+5,所以m(x2-x+1)<6,因为x2-x+1>0,所以m<,即求g(x)=,x∈[-2,2]的最小值,由g(x)==,x ∈[-2,2],所以当x=-2时,+最大,g(x)最小,所以g(x)min =g(-2)=.所以m<.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=(a,b 是常数,且ab ≠0)满足f(2)=1,且方程f(x)=x 有唯一解.(1)求f(x)的解析式.(2)若x ∈[1,2],求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为f(x)=x 有唯一解,即=x 有唯一解, 所以ax 2+(b-1)x=0有唯一解,所以Δ=(b-1)2=0,解得b=1.又f(2)=1,所以=1,解得a=,所以f(x)=.(2)由(1)知f(x)==2-, 任取x 1,x 2∈[1,2],且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=2--2+=,因为x1,x2∈[1,2],且x1<x2,所以x1-x2<0<x1+2<x2+2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间[1,2]上为增函数,所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(2)=1,所以函数f(x)的值域为.【变式训练】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.【解析】(1)由已知,设f(x)=a(x-1)2+1,由f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1在x∈[-1,1]上恒成立,化简得x2-3x+1-m>0,设g(x)=x2-3x+1-m,x∈[-1,1],则只要g(x)min>0,而g(x)min=g(1)=-1-m>0,得m<-1.8.已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-2,2]上的最小值为g(a),试求g(a).【解析】函数f(x)=x2+ax+3的对称轴为直线x=-.(1)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,g(a)=f=.(2)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+2a.(3)当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-2a.综上所述,g(a)=关闭Word文档返回原板块第- 11 -页共11页。
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4； 当t ＝2时，x ＝4； 当t ＝3时，x ＝9； 当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展 课外探究 集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}， 故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0； 当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】 设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ， 使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc， 即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0， 即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0， 解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40， 即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数． 根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)， 即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。
高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 13
课时作业13 基本不等式的实际应用基础强化1.在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a ，宽为b ，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为( )A ．⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2B ．a 2C ．b 2D ．ab2．某商场春节前t 天年糕销售总量f (t )＝t 2＋12t ＋16(0<t ≤30)，则该商场前t 天的年糕平均销售量最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．163．某公司计划建造一间体积为600 m 3的长方体实验室，该实验室高为3 m ，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为(参考数据：2 ≈)( )万元 B ．万元C ．万元D ．万元4.校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形(小矩形)场地用来展示校友的书画作品．它的左、右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域(大矩形)面积的最小值是( )A ．360平方米B ．384平方米C ．361平方米D ．400平方米5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是( )A ．当x ＝40时，y 取得最小值B ．当x ＝45时，y 取得最小值C ．y min ＝320D ．y min ＝3606．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则( )A ．0<a ≤1B ．0<ab ≤1C ．a 2＋b 2≥2D ．0<b <27．已知某产品总成本C (单位：元)与年产量Q (单位：件)之间的关系为C ＝40Q 2＋16 000.设年产量为Q 时的平均成本为f (Q )(单位：元/件)，那么f (Q )的最小值是________．8．已知直角三角形的面积等于50 cm 2，则该三角形的周长的最小值为________ cm. 9.如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积为1 250 m 2，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200 m ，如何设计可使苗圃面积最大？10.如图，长为6米，宽为4米的长方形(ABCD )草坪，截去一个三角形(DEF )区域，得到一个五边形(ABCFE )区域．设DE ＝a 米，DF ＝b 米．(1)用a ，b 表示△DEF 的周长L ，并写出a ，b 的取值范围；(2)当△DEF 的周长L ＝4＋22 米时，求五边形ABCFE 的面积S 的最小值，并求此时a ，b 的值． 能力提升11.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则( )A ．a ＋b 2 ＝GB ．a ＋b 2<G C ．a ＋b 2>G D ．ab <G 12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C (单位：mg/L)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝30t t 2＋9，则当水池中药品的浓度达到最大时，t ＝( )h B ．3 h C ．5 h D ．6 h13．白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤(a ≠b )，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定14．(多选)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1 200步有树，出南门750步恰能见到此树(注：1里≈300步)，则该小城的周长可能为( )A ．410 里B ．610 里C ．910 里D ．1010 里15.一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.16.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH ＝2EF )，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm ，设EF ＝x cm.(1)当x ＝100 cm 时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)?。
【人教A版】高中数学必修一：全册作业与测评(含答案) 课时提升作业(三) 1.1.2
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课时提升作业(三)集合间的基本关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0∈{∅}【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.【补偿训练】如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.∅=MC.{0}∈MD.{0}⊆M【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},所以{0}⊆M.2.(2015·惠州高一检测)下列四个集合中,是空集的是( )A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}【解析】选 D.对A,{x|x+3=3}={0};对B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};对C,{x|x2≤0}={0};对D,由于Δ=(-1)2-4=-3<0,即方程x2-x+1=0无解,故{x|x2-x+1=0,x∈R}=∅.3.(2015·浏阳高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由题意知,x=-2,2,即A={-2,2},故其真子集有3个.【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )A.M PB.P MC.M=PD.M,P互不包含【解析】选D.由于两集合代表元素不同,即M表示数集,P表示点集,因此M与P 互不包含,故选D.【误区警示】解答本题易忽视集合的属性而误选C.5.(2015·临沂高一检查)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )【解析】选B.由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:A B,A C,{2} C,2 C.【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},所以A=B,A C,{2}C,2∈C.答案:= ∈7.(2015·玉溪高一检测)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为.【解题指南】根据集合间的关系,借助数轴求解.【解析】将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≤-2.答案:m≤-2=1},则A,B的关系是.8.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|yx=1}={(x,y)|y=x,且x≠0},故B A.【解析】因为B={(x,y)|y答案:B A【误区警示】解答本题易忽视集合B中x≠0而误认为A=B.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.【解析】因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.10.(2015·成都高一检测)若集合A={x|(k+1)x2+x-k=0}有且仅有两个子集,求实数k的值.【解析】集合A有且仅有两个子集说明A中仅有一个元素,那么对于方程(k+1)x2+x-k=0,若k+1=0,即k=-1,方程即为x+1=0,x=-1,此时A={-1},满足题意; 若k+1≠0,则需Δ=0,即12-4(k+1)(-k)=0,,此时A={-1},满足题意.解得k=-12.所以实数k的值为-1或-12(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·枣庄高一检测)集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B 间的关系是( )A.A∈BB.A BC.A∉BD.A=B【解析】选 D.因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k 时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B.2.集合B={a,b,c},C={a,b,d};集合A满足A⊆B,A⊆C.则满足条件的集合A的个数是( )A.8B.2C.4D.1【解析】选C.因为A⊆B,A⊆C,所以集合A中的元素只能由a或b构成.所以这样的集合共有22=4个.即:A=∅或A={a}或A={b}或A={a,b}.【补偿训练】若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为B⊆A,所以x2∈A,又x2≠1,所以x2=3或x2=x,所以x=±√3或x=0.故选C.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为.【解析】因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P4.(2015·抚州高一检测)若A={1,2},B={x|x⊆A},则B= .【解题指南】正确解答本题的关键是弄清集合B的含义,即它是由集合A的所有子集组成的集合.【解析】由于x⊆A,即x是集合A的子集,故B={∅,{1},{2},{1,2}}.答案:{∅,{1},{2},{1,2}}三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+a<0},当B⊆A时,求实数a的取值范围. 【解析】因为A={x|x<-1或x>2},},B={x|4x+a<0}={x|x<−a4≤-1,即a≥4,因为A⊇B,所以-a4所以a的取值范围是a≥4.【拓展延伸】由集合间关系求解参数的三部曲第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;第二步:看集合中是否含有参数,若含参数应考虑参数使该集合为空集的情形;第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.6.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集,若各元素都减2后,则变为B 的一个子集,求集合C.【解析】由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7},C ⊆{3,4,5,7,10},所以C ⊆{4,7},又因为C 非空,所以C={4},{7}或{4,7}.【补偿训练】已知集合A={1,1+d,1+2d},集合B={1,q,q 2},若A=B,求实数d 与q 的值.【解析】由A=B,得①{1+d =q,1+2d =q 2,或②{1+d =q 2,1+2d =q.解①,得{q =1,d =0.此时A=B={1}与A,B 中含有3个元素矛盾,舍去.解②,得{q =−12,d =−34或{q =1,d =0(舍去), 当q=-12,d=-34时,A=B={1,14,−12},符合题意.所以q=-12,d=-34. 关闭Word 文档返回原板块。
【人教A版】高中数学必修一课时提升作业(二十三) 3.1.1
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课时提升作业(二十三)方程的根与函数的零点(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-x的零点是( )A.2B.-2C.2,-2D.(2,-2)【解析】选C.令-x=0,得=0,得x=±2.故函数y=-x的零点是±2.2.若函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,则( )A.f(1)·f(2)>0B.f(1)·f(2)=0C.f(1)·f(2)<0D.不确定【解析】选 D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(1)·f(2)<0,当其不单调时,如f(x)=,就没有f(1)·f(2)<0,而是f(1)·f(2)>0,但f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点.3.(2015·梅州高一检测)下列图象表示的函数中没有零点的是( )【解题指南】由函数零点的意义可得:函数没有零点⇔函数的图象与x轴没有交点.【解析】选A.由图象可知,只有选项A中的函数图象与x轴无交点.4.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)【解析】选D.构造函数f=lgx+x-2(x>0),则函数f的图象在(0,+∞)上是连续不断的一条曲线,又因为f(1.75)=f=lg-<0,f=lg2>0,所以f·f<0,故函数的零点所在区间为(1.75,2),即方程lgx+x=2的解x0属于区间(1.75,2).【补偿训练】函数f=2x+3x的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由题意可知f(-2)=-6<0,f(-1)=-3<0,f=1>0,f>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间(-1,0)上一定有零点.5.(2015·赤峰高一检测)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是( )A.a<α<b<βB.α<a<β<bC.α<a<b<βD.a<α<β<b【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(α)=f(β)=0,如图所示,所以a,b,α,β的大小关系是α<a<b<β.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·十堰高一检测)函数f(x)=的零点是.【解析】令=0,即x2-4=0且x-2≠0,解得x=-2,故函数的零点为-2.答案:-2【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.7.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:①在(-2,-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-∞,+∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)【解析】设f=x3+x2-2x-1,则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f=-1<0,f=-1<0,f=7>0,则f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)内均有零点,即①②③正确.答案:①②③【补偿训练】若函数f=2x2-ax+8只有一个零点,则实数a的值等于. 【解析】因为函数f=2x2-ax+8只有一个零点,即方程2x2-ax+8=0只有一个解,则Δ=a2-4×2×8=0,解得a=±8.答案:±88.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(填序号).x -1 0 1 2 3f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892①(-1,0); ②(0,1); ③(1,2); ④(2,3).【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,所以F(0)·F(1)<0,所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.答案:②三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的零点.(1)f=-6x2+5x+1.(2)f=x3+1.(3)f=.【解析】(1)因为f=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1),令-(6x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1,所以f=-6x2+5x+1的零点是-和1.(2)因为f=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,所以f=x3+1的零点是-1.(3)因为f==,令=0,解得x=-1,所以f=的零点是-1.10.(2015·九江高一检测)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点.(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.【解析】(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<.由Δ=0,可解得m=;由Δ<0,可解得m>.故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.因为Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.2.(2015·海口高一检测)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1003个,则f(x)的零点的个数为( )A.1003B.1004C.2006D.2007【解题指南】利用函数为奇函数,则其图象关于原点对称,又f(0)=0,故可判断该函数图象与x轴交点的个数.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1003个零点,所以在(-∞,0)上也有1003个零点,又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·玉林高一检测)函数f(x)=-的零点个数为.【解题指南】利用函数与方程思想,把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再转化为求两个函数图象的交点个数问题.【解析】函数f(x)=-的零点个数,是方程-=0的解的个数,即方程=的解的个数,也就是函数y=与y=两图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图可得交点个数为1个.答案:1【补偿训练】函数f=lnx-x+2(x>0)的零点个数是.【解析】取g=lnx,h=x-2,(x>0)则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图:由图可知两函数的图象有两个交点,故原函数有两个零点.答案:24.若函数f=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=a x与函数h(x)=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)【补偿训练】已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为.【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,如图,有两种情况.第一种情况,此不等式组无解.第二种情况,解得-2<m<-.综上,m的取值范围是-2<m<-.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·南京高一检测)若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即解得因此实数k的取值范围为.【补偿训练】1.已知函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,讨论a为何值时,(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.【解题指南】对a分类讨论求解.【解析】(1)①当a=0时,f(x)=0即为-2x-1=0,则x=-,符合题意;②当a≠0时,函数为二次函数,若函数有一零点,则Δ=12a+4=0,解得a=-.故当a=0或a=-时,函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有一零点.(2)若函数有一正一负两零点,则a≠0且Δ=12a+4>0,且a(a-1)<0,解得0<a<1. 故当0<a<1时,函数有一正一负两零点.2.讨论函数f=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.【解析】当a=0时,函数为f(x)=-x+2,则其零点为2.当a=时,则(x-2)=0,解得x1=x2=2,则其零点为2.当a≠0,且a≠时,则(ax-1)(x-2)=0,解得x=或x=2,其零点为和2.6.(2015·南昌高一检测)已知函数f(x)=ax2-4x+2.(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.(2)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的对称轴为x=2,即-=2,即a=1.所以f(x)=x2-4x+2.(2)因为y=f(x)-log2=ax2-4x+5-log2x,设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1,所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点.当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=<0,所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,则由⇒⇒-1≤a≤1,所以-1≤a<0.当0<a≤1时,r(x)图象开口向上,对称轴为x=≥2,所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,则由⇒⇒-1≤a≤1,所以0<a≤1.综上所述,实数a的取值范围为[-1,1].关闭Word文档返回原板块。
【人教A版】高中数学必修一：全册作业与测评(含答案) 课时提升作业(十) 1.3.1.1
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课时提升作业(十)函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2.(2015·昆明高一检测)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xD.y=-x2+4C.y=1x【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.【补偿训练】下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-2x;③y=x 2-4x+5;④y=2x.A.①B.②C.③D.④【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是 ( ) A.(2,7) B.(-2,3) C.(-6,-1) D.(0,5)【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到, 因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).4.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a,b](x 1≠x 2),则下列结论中不正确的是 ( ) A.f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0B.(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0C.f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)D.x 1−x 2f(x 1)−f(x 2)>0【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,由此可知,选项A,B,D 正确;对于C,若x 1<x 2时,可能有x 1=a 或x 2=b,即f(x 1)=f(a)或f(x 2)=f(b),故C 不成立.5.(2015·荆门高一检测)函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6)【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)={1x ,0<x≤1,x,x>1的减区间是.【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]7.(2015·益阳高一检测)设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)8.(2015·呼和浩特高一检测)已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0.答案:(-3,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的. 由图(2)可知,在(−3π2,0)和(3π2,5π2)内,y=g(x)是单调递增的.10.(2015·烟台高一检测)已知函数f(x)=1x −1.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明. 【解析】(1)由x 2-1≠0,得x ≠±1, 所以函数f(x)=1x 2−1的定义域为{x ∈R|x ≠±1}.(2)函数f(x)=1x −1在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=1x 12−1-1x 22−1 =(x 2−x 1)(x 1+x 2)(x 12−1)(x 22−1).因为x 2>x 1>1,所以x 12-1>0,x 22-1>0,x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2), 所以函数f(x)=1x −1在(1,+∞)上是减函数.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=2x 2-mx+3,当x ∈(-∞,-2]时是减函数,x ∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于 ( )A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数【解析】选B.由题意知m4=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x 2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.2.(2015·开封高一检测)设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则 ( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a)【解析】选D.因为a 2+1-a=(a −12)2+34>0,所以a 2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a 2+1)<f(a). 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2015·南宁高一检测)函数y=x x+a在(-2,+∞)上为增函数,则a 的取值范围是 . 【解析】因为y=x x+a=1-a x+a,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a ≥2. 答案:a ≥2【拓展延伸】单调性中的参数问题(1)根据函数的单调性研究参数的取值范围问题,往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式,此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围来推出参数的范围.(2)含参数的问题经常需分类讨论,要求有很强的观察力,同时要特别注意定义域的限制.4.(2015·三明高一检测)f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.【解析】依题意,得不等式组{x≥0,−2x+8≥0,x>−2x+8,解得83<x≤4.答案:{x|83<x≤4}【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x). 求证:函数F(x)在R上是单调增函数.【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+ [f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.6.(2015·延边高一检测)定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3,故不等式的解集为{t|t≤3}.关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 53
课时作业53 习题课 诱导公式与三角函数的概念、同角三角函数的基本关系的综合应用基础强化 1.已知α为锐角，sin (π－α)＝23，则cos α＝( ) A ．13 B ．－23C ．53D ．－532．在△ABC 中，若cos B ＝sin (90°－C )＝12，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos (π2－θ)＝( ) A ．±55 B ．55C ．255D ．±2554．若sin (－110°)＝a ，则tan 70°＝( )A ．a 1－a 2B ．－a 1－a 2C ．a 1＋a 2D ．－a 1＋a 25．(多选)下列各式的值等于1的有( )A ．sin 2(－x －1)＋cos 2(x ＋1)B ．sin(－5π2) C ．cos (－5π)D ．cos （π2＋α）sin （－3π＋α）6．(多选)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35 ，－45)，以下说法正确的是( ) A ．tan α＝－43B ．sin α＝－45C ．sin (α－π2 )＝－35D ．cos (α＋3π2 )·cos (π－α)＝－12257．在△ABC 中，cos (B ＋C )＝23，则sin A ＝________．8．已知函数f (x )＝tan x －k sin x ＋2(k ∈R )，若f (π3 )＝－1，f (－π3)＝________． 9．已知α为第三象限角，且sin α＝－35. (1)求tan α的值；(2)求sin （2π＋α）＋sin （π2＋α）cos （π－α）＋sin α的值． 10．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P ，点P 的纵坐标为45. (1)求sin α＋cos α和tan α的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转π2 ，得到角β，求sin （β＋3π）tan （π＋α）cos （π－β）＋sin （α＋π2） . 能力提升11.已知sin (π－α)＋sin (α－π2 )＝12 ，则cos （3π2＋α）1＋tan （－α）的值为( ) A ．－34 B ．34C ．－316D ．31612．在△ABC 中，sin (π2 ＋A )＋sin (2π＋A )＝713，则tan A ＝( ) A ．－125 B ．125C ．－512D ．51213．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ “广义互余”．已知sin α＝14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( ) β＝154 B ．cos (π＋β)＝14C ．tan β＝155D ．tan β＝151514．(多选)质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的⊙O 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为2 rad/s ，起点为⊙O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5 rad/s ，起点为点(12 ，－32).则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为( ) A ．(cos 2π9 ，sin 2π9) B ．(－cos 5π9 ，－sin 5π9) C ．(cos π9 ，－sin π9) D ．(－cos π9 ，sin π9) 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________．16．已知f (α)＝sin （2π＋α）cos （π－α）cos （π2－α）cos （π＋α）cos （3π2＋α） ＋cos (2π－α). (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝105 ，求1sin α ＋1cos α 的值．。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：3.2.2.2课时提升作业
课时提升作业二十七指数型、对数型函数模型的应用举例一、选择题(每小题5分,共25分)1.某化工厂2015年的12月份的产量是1月份产量的n倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是( )A. B. C.-1 D.-1【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,则有a(1+x)11=na,所以1+x=,所以x=-1.2.按复利计算利率的储蓄,银行整存一年,年息8%,零存每月利息2%,现把2万元存入银行3年半,取出后本利和应为人民币( )A.2(1+8%)3.5万元B.2(1+8%)3(1+2%)6万元C.22(1+8%)3+2×2%×5万元D.2(1+8%)3+2(1+8)3(1+2%)6万元【解析】选B.2万元存入银行3年,得本利和为2(1+8%)3万元,再存入银行半年,即6个月,则本利和为2(1+8%)3(1+2%)6.【补偿训练】某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )A.14400亩B.172800亩C.17280亩D.20736亩【解析】选 C.设第x年造林y亩,则y=10000(1+20%)x-1,所以当x=4时,y=10000×1.23=17280(亩).3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )【解析】选A.汽车在匀速行驶前速度变化较快,单位时间内路程增加得较多.4.某个体企业的一个车间有8名工人,以往每人年薪为1万元,从今年起,计划每人的年薪比上一年增加20%;另外,每年新招3名工人,每名新工人的第一年年薪为8千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么,将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数,其解析式为( )A.y=(3n+5)×1.2n+2.4B.y=8×1.2n+2.4nC.y=(3n+8)×1.2n+2.4D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4【解析】选A.第1年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(万元),而对4个选项而言,当x=1时,C,D相对应的函数值均不为12,故可排除C,D.A,B相对应的函数值都为12,再考虑第二年企业付给工人的工资总额,即第二年有11个老工人,3个新工人,工资总额为11×1.22+2.4,选A,排除B.5.(2016·潍坊高一检测)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.由表知自变量x变化1个单位时,函数值y变化2个单位,所以为一次函数模型.二.填空题(每小题5分,共15分)6.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为________.当一只燕子的耗氧量为80个单位时,其速度是________.【解析】由题意知,燕子静止时v=0,即5log2=0,解得q=10;当q=80时,v=5log2=15(m/s).答案:10 15m/s7.(2016·福州高一检测)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010).【解析】设至少要清洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,所以至少需要清洗4次.答案:4【补偿训练】某细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过________小时.【解析】设共分裂了x次,则有2x=4096,即2x=212,所以x=12.所用的时间为15分钟×12=180分钟=3小时.答案:38.某公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%,其中下列模型中能符合公司要求的是(参考数据:1.003600≈6,ln7≈1.945)________.①y=0.025x;②y=1.003x;③y=1+log7x;④y=x2.【解析】由题意知,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1000]时,(ⅰ)函数为增函数;(ⅱ)函数的最大值不超过5;(ⅲ)y≤x·25%=x,①中,函数y=0.025x,易知满足(ⅰ),但当x>200时,y>5不满足公司要求;②中,函数y=1.003x,易知满足(ⅰ),但当x>600时,y>5不满足公司要求;③中,函数y=1+log7x,易知满足(ⅰ),且当x=1000时,y取最大值1+log71000=4-lg7<5,且1+log7x≤x恒成立,故满足公司要求;④中,函数y=x2,易知满足(ⅰ),但当x=400时,y>5不满足公司要求.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg2≈0.3010)【解析】设喷洒x次,该物质上原有细菌为a,则a(1-60%)x<0.1%·a,即(1-60%)x<0.1%,xlg0.4<lg10-3,解得x>=≈7.5,故至少要喷洒8次. 10.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.【延伸探究】本题条件不变的情况下,问今后最多还能砍伐多少年?【解析】设从今年开始,以后砍n年,则n年后森林剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,可得≥,≤,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.一、选择题(每小题5分,共10分)1.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )A.lgB.lgC. D.【解析】选C.由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,所以tlg0.92=lg0.5.故t=.【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.【补偿训练】衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发体积会缩小,刚放进的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的解析式为:V=a·e-kt.已知新樟脑丸经过50天后,体积变为 a.若一个新樟脑丸体积变为a,则需经过的天数为( )A.125B.100C.75D.50【解析】选C.由已知得a=a·e-50k,所以e-k=.设经过t1天后,一个新樟脑丸体积变为a,则a=a·,所以=(e-k=,所以=,t1=75.2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:则下面的函数解析式中,能表达这种关系的是( )A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2【解析】选D.用画散点图法或代入数值法,选择拟合效果最好的函数.二、填空题(每小题5分,共10分)3.“嫦娥”二号由长三丙火箭发射,火箭起飞质量是箭体的质量m和燃料质量x的和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数解析式为y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2(其中k≠0),当燃料质量为(-1)m吨时,该火箭的最大速度为4km/s,则y关于x的函数解析式为________________ .【解题指南】先由燃料质量为(-1)m吨,该火箭的最大速度为4km/s,代入y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2中,确定出k的值.【解析】由题意知,当x=(-1)m吨时,y=4km/s,即4=k[m+(-1)m]-ln(m+4ln2,所以k=8,y=8[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2.答案:y=8[ln(m+x)-ln(m)]+4ln24.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=________.(已知lg5≈0.699,lg3≈0.477)【解析】当N=40时,则t=-144lg=-144lg=-144(lg5-2lg3)≈36.72.答案:36.72【拓展延伸】对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.(2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·成都高一检测)一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式.(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间).(精确到0.1;参考数据:lg3=0.4771;lg5=0.6990)【解析】(1)最初的质量为500g,经过1年,ω=500(1-10%)=500×0.91,经过2年,ω=500×0.92,…,由此推出,t年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,∴0.9t=0.5,∴lg0.9t=lg0.5,∴t==≈6.6,所以这种放射性元素的半衰期约为6.6年.6.(2016·揭阳高一检测)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式.(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?【解析】(1)从图中可以看出,线段的端点分别为(0,0),(0.1,1),所以在0≤t≤0.1时,解析式为y=10t,又点(0.1,1)也在y=上,所以a=0.1,所以当t>0.1时,y=,所以y=(2)≤0.25=,即t-0.1≥,解得t≥0.6.所以从药物释放开始,至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.【拓展延伸】函数建模的基本思想关闭Word文档返回原板块。
【人教A版】高中数学必修一：全册作业与测评(含答案) 课时提升作业(五) 1.1.3.2
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课时提升作业(五)补集及综合应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知全集U={2,3,4},若集合A={2,3},则ðA= ( )UA.{1}B.{2}C.{3}D.{4}【解析】选D.因为U={2,3,4},A={2,3},所以ðA={4}.U2.(2015·汉中高一检测)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7}.则A∩(ðB)等于( )UA.{2,4,5}B.{1,3,5}C.{2,4,6}D.{2,5}【解析】选C.ðB={2,4,6},所以A∩(UðB)={2,4,6}.U3.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合ð(A∪B)= ( )UA.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}【解题指南】可先求并集,再利用数轴求补集.【解析】选D.由于A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴可知,ð(A∪B)={x|0<x<1}.U4.若M⊆U,N⊆U,且M⊆N,则( )A.M∩N=NB.M∪N=MC.ðN⊆UðM D.UðM⊆UðNU【解析】选C.根据已知条件,M,N,U三个集合的关系可用Venn图表示如图:由图可看出:M∩N=M,M∪N=N,ðN⊆UðM,所以C是正确的.U5.(2015·九江高一检测)设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则ð(P∪Q)= ( )ZA.MB.PC.QD.∅【解析】选A.集合M={x|x=3k,k∈Z},表示被3整除的整数构成的集合,P={x|x=3k+1,k∈Z},表示被3除余数为1的整数构成的集合,Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示被3除余数为2的整数构成的集合,故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合,ð(P∪Q)=M.Z二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知全集S={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x2+y2≠0},用列举法表示集合ðAS 是.【解题指南】ðA是指使x2+y2=0的点集.S【解析】ðA={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)}.S答案:{(0,0)}【误区警示】解答本题时易将点集看成数集而致错.7.设U=R,A={x|a≤x≤b},ðA={x|x<1或x>3},则a= ,b= .U【解析】因为A={x|a ≤x ≤b},所以U ðA={x|x<a 或x>b},又U ðA={x|x<1或x>3},所以a=1,b=3. 答案:1 38.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A ∪(R ðB)=R,则实数a 的取值范围是 .【解析】因为B={x|1<x<2},所以R ðB={x|x ≥2或x ≤1}.如图,若要A ∪(R ðB)=R,必有a ≥2.答案:{a|a ≥2}三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·西安高一检测)已知全集U={2,3,a 2-2a-3},A={2,|a-7|},U ðA={5},求a 的值.【解析】由|a-7|=3,得a=4或a=10,当a=4时,a 2-2a-3=5,当a=10时,a 2-2a-3=77∉U,所以a=4.【一题多解】由A ∪U ðA=U 知{|a −7|=3,a 2−2a −3=5,所以a=4.10.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B ⊆R ðA,求a 的取值范围.【解析】由题意得R ðA={x|x ≥-1}.(1)若B=∅,则a+3≤2a,即a ≥3,满足B ⊆R ðA. (2)若B ≠∅,则由B ⊆R ðA,得2a ≥-1且2a<a+3, 即-12≤a<3.综上可得a ≥-12.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·郴州高一检测)如图,I是全集,M,P,S是I的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(ðS) D.(M∩P)∪(IðS)I【解析】选C.由图可见阴影部分所表示的集合在M∩P中,同时又在S的补集ðSI 中,故(M∩P)∩(ðS)为所求,故选C.I【补偿训练】(2014·衡水高一检测)图中阴影部分所表示的集合是( )A.B∩(ð(A∪C)) B.(A∪B)∪(B∪C)UC.(A∪C)∩(ðB) D.(Uð(A∩C))∪BU【解析】选A.由图可知阴影部分表示的集合为B∩(ð(A∪C)).U【拓展延伸】用集合表示阴影区域的技巧用集合运算表示阴影区域时,应仔细观察分析阴影区域与各个集合的关系,在两个集合内用“交”,不在某一集合内用“补”,取两部分的和用“并”.2.设全集U={1,2,3,4,5},集合S与T都是U的子集,满足S∩T={2},(ðS)∩UT={4},(ðS)∩(UðT)={1,5},则有( )UA.3∈S,3∈TB.3∈S,3∈ðT C.3∈UðS,3∈T D.3∈UðS,3∈UðTU【解题指南】解答本题可利用Venn图处理.【解析】选B.因为S∩T={2},所以2∈S且2∈T,又(ðS)∩T=4,所以4∉S,4∈T,又(UðS)∩(UðT)={1,5},所以Uð(S∪T)={1,5},所以1,5∉(S U∪T),如图所示,若3∈T,则3∈(ðS)∩T,与(UðS)∩T={4}矛盾,所以3∈S,3∈UðT.U二、填空题(每小题5分,共10分)3.如果全集U={x|x是自然数},A,B是U的子集,若A={x|x是正奇数},B={x|x是5的倍数},则B∩ðA= .U【解析】ðA={x|x是非负偶数}={0,2,4,6,8,10,…},B={0,5,10,15,…},UB∩ðA={0,10,20,…}.U答案:{x∈N|x是10的倍数}4.已知全集U=A∪B中有m个元素,(ðA)∪(UðB)中有n个元素.若A∩B非空,则UA∩B的元素个数为.【解析】因为(ðA)∪(UðB)=Uð(A∩B),并且全集U中有m个元素,Uð(A∩B)中有nU个元素,所以A∩B中的元素个数为m-n.答案:m-n三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(ðA)∩B={2},U(ðB)∩A={4},求A∪B.U【解析】由(ðA)∩B={2},U所以2∈B且2∉A,由A∩(ðB)={4},U所以4∈A且4∉B,分别代入得42+4p+12=0,22-5×2+q=0,所以p=-7,q=6;所以A={3,4},B={2,3},所以A∪B={2,3,4}.6.设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其满足下列两个条件:①C⊇(A∩B);②C⊇(ðA)∩(UðUB).【解析】因为A={x|-5<x<4},B={x|x<-6或x>1},所以A∩B={x|1<x<4}.又ðA={x|x≤-5或x≥4},UðB={x|-6≤x≤1},U所以(ðA)∩(UðB)={x|-6≤x≤-5}.U而C={x|x<m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(ðA)∩(UðB)时,m>-5,所以m≥4.U关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(十三)习题课——函数奇偶性的应用(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于( )A.0B.-1C.3D.-3【解析】选 D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是( )A.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增B.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增C.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减D.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.【补偿训练】若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是( )A.单调递增的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递减的偶函数D.单调递增的奇函数【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.3.(2015·唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在区间[-5,-2]上有( )A.最小值6B.最小值-6C.最大值-6D.最大值6【解析】选C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.【补偿训练】如果偶函数在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上( )A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上也有最大值.二、填空题(每小题4分,共8分)4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)= .【解析】由图象知f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.答案:05.(2015·威海高一检测)如果定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为.【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.综上x>3或x<-3.答案:{x|x<-3或x>3}三、解答题6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.【解析】因为x<0,所以-x>0,所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)·g(x)|是奇函数【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,故A错,同理可知B,D错,C正确.2.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,则下列关系式中,正确的是( )A.f(5)>f(-5)B.f(4)>f(3)C.f(-2)>f(2)D.f(-8)=f(8)【解析】选 C. f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)<f(0)=0;当x<0时,f(x)>f(0)=0.【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0,由对称性知,x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·信阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,且函数y=f(x-5)为偶函数,设a=f(-6),b=f(-3),则a,b的大小关系为.【解析】因为函数y=f(x-5)为偶函数,所以图象关于x=0对称,又因为由y=f(x-5)向左平移5个单位可得函数y=f(x)的图象,所以y=f(x)的图象关于x=-5对称,因为函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,所以a=f(-6)=f(-4)>b=f(-3),所以a>b.答案:a>b4.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为.【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,所以x=3或x=1,所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.答案:4三、解答题5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=错误！未找到引用源。
高中数学课时提升作业一1.1.1命题含解析新人教A版选修1_
课时提升作业一命题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是( )A.周期函数的和是周期函数吗B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢【解析】选B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.2.下列语句中命题的个数是( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.3.(2016·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是( )A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若a c2>b c2,则a>bD.5>3【解析】选B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.4.下列说法正确的是( )A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.5.(2016·安阳高二检测)下列命题是真命题的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交D.圆柱的俯视图可能为矩形【解析】选D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C不正确.圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实根;③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.②此方程无实根,假命题.③结论成立,真命题.④0<p≤1时结论不成立,假命题.⑤不成立,假命题.答案:③①②④⑤7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数【延伸探究】判断本题中命题的真假.【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.8.给出下列命题:①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.其中真命题的序号是.【解析】①∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.(2)二次函数的图象关于y轴对称.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)ac>bc⇒a>b.(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.【解析】选C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a ∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c⊂α,d⊄α,所以d∥α,又因为d⊂β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.2.(2016·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( )①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.A.1个B.2个C.3个D.0个【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④.【解析】选B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;对于③,若△ABC为锐角三角形,则A+B>,-B<A<,所以sinA>sin=cosB,③错误.所以正确命题的个数是2个.【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A.a≥-3B.a>-3C.a≤-3D.a<-3【解析】选D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a∉A,所以a<-3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是(填“真”或“假”)命题.【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真4.下列4个命题:①∀a∈R,a2>0;②∃α∈R,sin2α+cos2α=;③∀x1,x2∈R,若x1<x2则<;④∃α∈R,sinα=cosα.其中真命题为.【解析】①a=0时,命题错误;②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;③因为y=2x是增函数,所以∀x1,x2∈R,若x1<x2则<正确.④∃α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.答案:③④三、解答题(每小题10分,共20分)5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.(3)与同一直线平行的两个平面平行.【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一2112课时提升作业
课时提升作业十五指数幂及运算一、选择题(每小题4分,共12分)1.如果x>y>0,那么= ( )A.(xyB.(xyC. D.【解析】选C.原式=x yx·y xy=.2.若(12x有意义,则x的取值范围是( )A.x∈RB.x≠0.5C.x>0.5D.x<0.5【解析】选D.将分数指数幂化为根式,可知需满足12x>0,解得x<0.5.3.(教材P52例4(1)改编)设b≠0,化简式子:(a3b3·(a2b2·(ab5的结果是( ) A.a B.(ab)1 C.ab1 D.a1【解析】选A.(a3b3·(a2b2·(ab5=()·()·()==a.【补偿训练】设x>0,化简(xy)·(6)÷(3)的结果是( )A.18xy2B.18C.2D.2xy2【解析】选C.(xy)·(6)÷ (3)=2=2.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·大理高一检测)计算:÷= .【解析】原式=÷=÷=a÷a=1.答案:15.已知3a=2,3b=5,则32ab= .【解析】32ab==.答案:【补偿训练】设5x=4,5y=2,则52xy=________.【解析】因为5x=4,5y=2,所以52xy=(5x)2÷5y=16÷2=8.答案:8三、解答题6.(10分)计算:(1)0.251××0.0010×(2)1+(1)0.(2)22n+1÷4n+1(+3)0×(+1)1+[(1)2.【解析】(1)原式=××+1=4××5210(2+)+1=23110.(2)原式=1×+[(1)2=(1)+(1)=.【补偿训练】计算:若x>0,求(2+)(2)4(x)的值. 【解析】(2+)(2)4(x)=4334+4=27+4=23.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·汕头高一检测)下列各式中成立的是( )A.=n7B.=C.=(x+yD.=【解析】选D.对A,=m7n7,故A错;对B,=,故B错;对C,=(x3+y3,故C错;对D,===,故D正确.【补偿训练】(2016·乐山高一检测)下列运算正确的是( )A.(a3)4=(a4)3B.(a3)4=a3+4C.(a3)4=a3+4D.(a3)4=a12【解析】选D.因为(a3)4=a12,(a4)3=a12,所以A不正确;B,C也不正确.2.设=m,则= ( )A.m22B.2m2C.m2+2D.m2【解析】选C.将=m平方得()2=m2,即a2+a1=m2,所以a+a1=m2+2,即a+=m2+2⇒=m2+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.计算:(0.027+(1)0= .【解题指南】把幂指数小于0的写到分母上去,变带分数为假分数加以开方,最后一项用非0的0次幂等于1.【解析】(0.027+(1)0=+1=49+1=45.答案:454.(2016·杭州高一检测)若a>0,且a x=3,a y=5,则= .【解析】=a2x·=(a x)2·(a y=32×=9.答案:9【延伸探究】若本题条件不变,如何求的值?【解析】=(a x·(a y)2=·52=25.三、解答题5.(10分)(2016·滁州高一检测)已知x+y=12,xy=9且x<y,求的值.【解题指南】由已知x+y=12,xy=9且x<y,可利用(xy)2=(x+y)24xy,先求得xy的值. 【解析】因为x+y=12,xy=9且x<y,所以(xy)2=(x+y)24xy=108,又x<y,所以xy=6,故===.。
人教A版数学必修一课时提升卷(三)1.1.2.docx
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课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个.【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案:m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素, 又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a 不存在.关闭Word文档返回原板块。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：3.1.2课时提升作业
课时提升作业二十四用二分法求方程的近似解一、选择题(每小题4分,共12分)1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x4【解题指南】观察图象,与x轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点.【解析】选C.观察图象可知:点x3的两侧的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求. 2.(2016·四平高一检测)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定【解析】选B.由已知f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内.【补偿训练】若函数f在上连续,且同时满足f f<0,f f>0.则( )A.f在上有零点B.f在上有零点C.f在上无零点D.f在上无零点【解析】选B.f f<0,f f>0,所以f(b)f<0,故f在上有零点.3.已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[a,b],都有<0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],,,又=0,则函数f(x)的零点为( )A.-6B.-3C.-D.-【解析】选 C.由于二分法的定义和已知,有解得b=0,a=-12,或者解得a=9,b=3(a>b故舍去),故函数f(x)的零点:=-.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·绍兴高一检测)下面是连续函数f(x)在上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为________ .(精确度0.1)【解析】由题中表格对应的数值及|1.438-1.4065|=0.0315<0.1可得,函数零点必在区间[1.4065,1.438]上,故方程f(x)=0的一个近似解为1.438.答案:1.438(答案不唯一)5.(2016·襄阳高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为________.【解析】由表格数据可知,f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.答案:1.56(答案不唯一)【补偿训练】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1).【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以[0.75,0.6875]内的任一个数都可作为方程的近似解.答案:0.75或0.6875(答案不唯一)三、解答题6.(10分)利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确度0.1)【解析】设f=lgx+x-3,在同一直角坐标系中,作出y=lgx和y=3-x的图象,如图所示,观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解x1,且x1∈,f<0,f(3)>0,利用二分法,可列下表:由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取2.5625.【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用(1)求解形如f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们在利用计算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列函数不能用二分法求零点的是( )A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-3【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.2.已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要( )A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,即>0.01,>0.01,<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.【延伸探究】若将函数y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为=0.015625,=0.0078125,所以至少要取7次中点,区间的长度才能达到精确度要求.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·长沙高一检测)函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在长度为1的一个区间为________ . 【解析】f(1)=1>0,f(2)=-9<0,所以函数零点所在长度为1的一个区间为(1,2).答案:( 1,2)4.已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用“二分法”求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是________,此时并规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε时,用作为零点的近似值,那么求得x0=________.【解析】开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为,故有≤0.05,即2n≥20,因为25=32,所以n≥5.故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5次.因为f<0,所以第一次得到区间为;因为f>0,所以第二次得到区间为;因为f>0,所以第三次得到区间为;因为f<0,所以第四次得到区间为;因为f>0,所以第五次得到区间为;所以函数零点为=.答案:5三、解答题5.(10分)(2016·株洲高一检测)已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0. 01).【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判断出f(x)=0的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:因为=0.0078125<0. 01,所以方程的根的近似值为0.2734375,即f(x)=0的正根约为0.2734375.关闭Word文档返回原板块。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：3.2.1课时提升作业
课时提升作业二十五几类不同增长的函数模型一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·西安高一检测)设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是( )A.f(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢B.g(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢C.g(x)增长速度最快,f(x)增长速度最慢D.f(x)增长速度最快,g(x)增长速度最慢【解析】选B.由三种函数的性质可知,g(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢.【补偿训练】下列函数中在某个区间(x0,+∞)内随x增大而增大的速度最快的是( )A.y=2007lnxB.y=x2007C.y=D.y=2007·2x【解析】选C.由于当自变量x大于某个数x0时,指数的增长是“爆炸式”的,且底数越大,增长越快,又e>2,故函数y=随x增大而增大的速度最快.2.(2016·济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1).函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.3.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2015年的湖水量为m,从2015年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )A.y=0.B.y=(1-0.)mC.y=0.mD.y=(1-0.150x)m【解析】选C.设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.,即x年后的湖水量为0.m.二、填空题(每小题4分,共8分)4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个.【解析】当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2,当t=5时,y=210=1024.答案:2ln2 10245.(2016·武威高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v=2000ln,则当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12km/s.【解析】依题意知2000ln=12000,所以ln=6,1+=e6,故=e6-1.答案:e6-1三、解答题6.(10分)(2016·南通高一检测)有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年内哪一个方案可以得到较多的木材?【解题指南】栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;或栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次,按这两种情形分别计算木材量进行比较即可.【解析】设树林最初栽植量为a,甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a≈4a.乙方案在10年后树木产量为:y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算).【延伸探究】某种新栽树木5年成材,在此期间年生长率为20%,以后每年生长率为x%(x<20).树木成材后,既可以砍伐重新再栽,也可以继续让其生长,哪种方案更好?【解析】只需考虑10年的情形.设新树苗的木材量为Q,则连续生长10年后木材量为:Q(1+20%)5(1+x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1+20%)5,画出函数y=(1+x%)5与y=2的图象,用二分法可求得方程(1+x%)5=2的近似根x≈14.87,故当x<14.87%时就考虑重栽,否则让它继续生长.一、选择题(每小题5分,共10分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a,所以a>b.2.(2016·大同高一检测)某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A.y=0.2xB.y=x2+2xC.y=D.y=0.2+log16x【解析】选C.将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.【补偿训练】为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数,这个函数的图象是( )【解析】选A.当x=1时,y=0.5,且为递增函数.二、填空题(每小题5分,共10分)3.某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为________元.【解析】设现在成本为m元,则m(1-p%)3=a,所以m=.答案:4.某地野生微甘菊的面积与时间的函数关系的图象,如图所示假设其关系为指数函数,并给出下列说法:①此指数函数的底数为2;②在第5个月时,野生微甘菊的面积就会超过30m2;③设野生微甘菊蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3;④野生微甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有________(请把正确说法的序号都填在横线上).【解析】因为其关系为指数函数,图象过(2,4),(3,8)(4,16)点,可得S=2t,所以指数函数的底数为2,故①正确,当t=5时,s=32>30,故②正确,因为t1=1,t2=log23,t3=log26,所以有t1+t2=t3,故③正确,根据图象的变化快慢不同知④不正确,综上可知①②③正确.答案:①②③三、解答题5.(10分)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x小时的收费为f(x)元,在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元,试求f(x)和g(x).(2)问:选择哪家比较合算?为什么?【解析】(1)f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)=(2)当5x=90时,x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x),当18<x≤40时,f(x)>g(x);所以当15≤x<18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙比较合算.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(十三)
习题课——函数奇偶性的应用
(15分钟30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于( )
A.0
B.-1
C.3
D.-3
【解析】选D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.
2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是( )
A.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
C.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
【补偿训练】若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是( ) A.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递减的偶函数
D.单调递增的奇函数
【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.
3.(2015·唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)
在区间[-5,-2]上有( )
A.最小值6
B.最小值-6
C.最大值-6
D.最大值6
【解析】选 C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.
【补偿训练】如果偶函数在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]
上( )
A.有最大值
B.有最小值
C.没有最大值
D.没有最小值
【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上也有最大值.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)= .
【解析】由图象知f(x)是奇函数,
所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.
答案:0
5.(2015·威海高一检测)如果定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为.
【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.
综上x>3或x<-3.
答案:{x|x<-3或x>3}
三、解答题
6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.
【解析】因为x<0,所以-x>0,
所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|
=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)=x|x+2|.
(15分钟30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,故A错,同理可知B,D错,C正确.
2.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,则下列关系式中,正确的是( )
A.f(5)>f(-5)
B.f(4)>f(3)
C.f(-2)>f(2)
D.f(-8)=f(8)
【解析】选 C. f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)<f(0)=0;当x<0时,f(x)>f(0)=0.
【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(-2,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,
当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0,由对称性知,x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·信阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,且函数y=f(x-5)为偶函数,设a=f(-6),b=f(-3),则a,b的大小关系为. 【解析】因为函数y=f(x-5)为偶函数,所以图象关于x=0对称,
又因为由y=f(x-5)向左平移5个单位可得函数y=f(x)的图象,
所以y=f(x)的图象关于x=-5对称,
因为函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,
所以a=f(-6)=f(-4)>b=f(-3),
所以a>b.
答案:a>b
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为.
【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,
所以x=3或x=1,
所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.
答案:4
三、解答题
5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.
(1)求f(-1)的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. 【解析】(1)f(-1)=-f(1)=-=-.
(2)任取x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
所以f(-x)=,
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=,
所以f(x)=,x∈(-∞,0).
(3)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,
且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=-
==.
因为x1>0,x2>0,
所以(x2+1)>0,(x1+1)>0,
又x2-x1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
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