中高一数学练习(上学期)：第十九周双休练习参考答案

第十九周双休练习参考答案
一、填空题 1.{}4,3 2.2
π
3.2弧度
4.3
4-
5.
223+ 6.⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,31 7.b>c>a 8.2个 9.k ≤40或k ≥64 10.-8 11.1或21-
12.5
2
- 13.(,1)-∞-
【解析】因为对任意x [1,)∈+∞，f(mx)+mf(x)=2mx-
10m
mx x
-<恒成立，所以 当0m <时，有222210m x m -->对任意x [1,)∈+∞恒成立，即222110m m ⨯-->，解得21m >，即1m <-；当0m >时，有222210m x m --<对任意x [1,)∈+∞恒成立，x 无解，综上所述实数m 的取值范围是1m <-。

【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。

14.说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动。

二、解答题
15.（1）()[)10,73,2⋃………………７分 （2）a>3 ………………14分
16．（1）原式=αααααsin )tan ()cos (cos sin --α
α
tan cos 2=
…………………………3分
51cos ,5tan 1cos 1,
2tan 2
22=∴=+==ααα
α …………6分 ∴原式=10
1
………………………………７分
（２）原式＝)75sin(2)15cos()75sin(ααα+︒=-︒++︒……………………９分
3
1
)75cos(=
+︒α ，且︒-<+︒<︒-1575105α，0)75sin(<+︒∴α 3
2
2)75sin(1)75sin(-
=+︒--=+︒∴αα……………………１１分 故原式＝23
4
-
………………………………………………………………１4分 ()[]()()()
()()()()()222
2
17(1)
1,100,110,23
2323
23
f x f f f x a b f x x x x
f x f x x x x
f x x -∴=-=-==∴=
+--==-=-+-+∴=
+、在上为奇函数解得即为所求.
……………………７分
（2）由(32)(21)0f x f x -++>得，(32)(21)f x f x ->-+
因为f(x)是定义在(-5,5)上的奇函数又是减函数，所以(32)(21)f x f x ->--
所以-5<3x-2<-2x-1<5 解得1
15
x -<<……………………14分 18.解：（1）显然A ＝2，
2
12512112π
ππ=-=T 所以周期T=π,ω=2. 代人点⎪⎭
⎫
⎝⎛2,6π得6πϕ=
所以所求的函数的解析式为：)6
2sin(2)(π
+=x x f .……………………5分
（2）单调增区间为
z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-,6,3ππππ……………10分
x
（3）如图所示，在同一坐标系中画出)6
2sin(2π
+
=x y 和m y =(R m ∈)的图象，
由图可知，当2112<<<<-m m 或时，直线m y =与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。

∴m 的取值范围为：2112<<<<-m m 或； 当12<<-m 时，两根和为
34π；当21<<m 时，两根和为3
π
.………………16分 19．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=⋅+=⋅+--8.02
115.021184b b
a a ，
整理得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅--4
121
244b
b a a ，解得5.0,4==b a ， 所以“学习曲线”的关系式为%1002
411
5.0⋅⋅+=
-t
y ．………………７分 （2）设从第x 个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，则
)
241)(221(2)2(2411
24115.05.05.05.0)2(5.0x x x x x x x ----+-⋅+⋅+=-+⋅+-⋅+=η 令x u 5.02-=，则6811
)41)(21(++=
++=
u u
u u u η， 显然当
u u
81=，即42
=u 时，η最大， 将4
2
=
u 代入x u 5.02-=，得3=x ， 所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．………………16分
20．（本题满分16分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问6分，第（Ⅲ）问6分）
解：(Ⅰ)：因为函数()f x ＝x 2
－4x ＋a ＋3
的对称轴是x ＝2，
所以
()f x 在区间[－1，1]上是减函数，
因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：
(1)0(1)0f f ⎧⎨
-⎩≤≥即0
80a a ⎧⎨+⎩
≤≥，解得0a －8≤≤， 故所求实数a 的取值范围为[－8，0] ．………………4分
(Ⅱ)若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )的值域的子集．
()f x ＝x
2
－4x ＋3，x ∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g (x )＝mx ＋5－2m 的值域．
①当m ＝0时，g (x )＝5－2m 为常数，不符合题意舍去；
②当m ＞0时，g (x )的值域为[5－m ，5＋2m ]，要使[－1，3]⊆ [5－m ，5＋2m ]， 需52m m ⎧⎨
+⎩
5-≤-1
≥3，解得m ≥6；
③当m ＜0时，g (x )的值域为[5＋2m ，5－m ]，要使[－1，3]⊆ [5＋2m ，5－m ]， 需52m m +⎧⎨
⎩≤-1
5-≥3
，解得m ≤－3；
综上，m 的取值范围为(,3][6,)-∞-⋃+∞．………………10分 (Ⅲ)由题意知4720
t t <⎧⎨
->⎩，可得7
2t <
．
①当t ≤0时，在区间[t ，4]上，f (t )最大，f (2)最小，
所以f (t )－f (2)＝7－2 t 即t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3（舍去）； ②当0＜t ≤2时，在区间[t ，4]上，f (4)最大，f (2)最小， 所以f (4)－f (2)＝7－2 t 即4＝7－2t ，解得t ＝32
； ③当2＜t ＜72
时，在区间[t ，4]上，f (4)最大，f (t )最小，
所以f (4)－f (t )＝7－2t 即t 2－6t ＋7＝0，解得t ＝3（舍去） 综上所述，存在常数t 满足题意，t ＝－1或32
．………………16分
.。