2025届广东省梅州市皇华中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届广东省梅州市皇华中学高三第一次模拟考试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a
=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122
OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3 C ．5
D ．2 2．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）
A ．2
B ．10
C ．34
D ．98
3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 4．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y
xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四
象限其中正确结论的序号是( )
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④ 5．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ）
A ．3-
B ．2
C ．3
D ．2-
6．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）
A ．1
B ．23-
C ．1
3- D ．34
- 7．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．12
8．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．23
D ．12- 10．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）
A ．8种
B ．12种
C ．16种
D ．20种
11．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}
2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）
A ．14
B ．154
C ．265
D ．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，斜率为22的直线过F 且与抛物线交于A B ，两点，O 为坐标原点，若A 在第一象限，那么AFO
BFO S S =_______________．
14．如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧BC 上．若OAC ∆是等边三角形，且满足·0OQ OP =，则·OP BQ 的最小值为___________.
15．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1302F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，、2302F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212
tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____． 16．若正实数，，满足
，则的最大值是__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=.
（1）求角A 的大小；
（2）若,234B a π
==，求边长c .
18．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ： 24y x =于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ， PF ， x 轴都相切，设M 的轨
迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ， 2l 分别与y 轴相交于点A ， B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.
19．（12分）已知函数()f x x x a =+-.
（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围. 20．（12分）已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =.
（1）求常数,a b 的值；
（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.
21．（12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；
（2）求a c +的最大值.
22．（10分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，
质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13
，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ，B ，C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c =-，
根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.
【详解】
设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a
=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()
44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()
324
1212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.
因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()
()()()2
262222
1222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =.
故选：A .
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2、C
【解析】
由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.
【详解】
由题意运行程序可得：
4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；
4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；
4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；
4i <不成立，此时输出34s =.
故选：C.
【点睛】
本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.
3、C
【解析】
由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．
【详解】
∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，
∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，
三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3
C π=． 故选：C ．
【点睛】 本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．
4、B
【解析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y
x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由
图可判断④.
【详解】 ()2223222216162x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；
将224x y +=和()322
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 5、A
【解析】
由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -．
【详解】
因为()f x 是定义在[]22-,
上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]
0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.
故选：A ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
6、C
【解析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案
【详解】
由BD xAB yAC =+，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233
x y x x y ++==-+=-
. 故选：C
【点睛】 此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
7、C
【解析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】
作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322
z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，
即max 32206z =⨯+⨯=.
故选：C.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
8、A
【解析】
由02x π≤≤求出5x ωπ+
范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立ω不等量关系，即可求解. 【详解】
当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦
， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+
<，∴1229510
ω≤<. 故选:A.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.
9、B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有1i =，3S =， 第一次循环后11132
S =
=--，2i =， 第二次循环后121312S ==+，3i =， 第三次循环后1
3213S ==-，4i =， 第四次循环后11132
S ==--，5i =， 所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =，
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
10、C
【解析】
分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.
【详解】
若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合；
若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；
因此共有12416+=种组合.
故选C
【点睛】
本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.
11、B
【解析】
①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90，③利用特称命题的否定是全称命题判断，
④利用集合间的包含关系判断.
【详解】
若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误； 由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 12、D
【解析】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出cos
EG BEG BE ∠=
=二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案.
【详解】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==
，22BD =，
在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ， 则523EG =
-=，3
cos 5
EG BEG BE ∠=
=
， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31
cos 2155
BED ∠=⨯
-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为1
5
. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 【解析】
如图所示，先证明
||||
AFO BFO
S
AF S
BF =
，再利用抛物线的定义和相似得到
||
2||
AFO BFO
S
AF S BF =
=. 【详解】
由题得1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=
⋅∠,1
||||sin 2
BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠. 因为,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠.
所以
||
||
AFO BFO
S
AF S
BF =
, 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE AM ⊥于点E, 设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ， 所以|AE|=n-m ，因为22AB k =所以|AB|=3(n-m)， 所以3(n-m)=n+m ， 所以
2n
m
=. 所以
||=2||AFO BFO
S AF n
S
BF m
=
=. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14、1 【解析】
建系，设AP m =，表示出P 点坐标，则()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，根据m 的范围得出答案． 【详解】
解：以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，
23)， 设(04)AP m m =，则1(42P m -，3
)2
m ，
∴1
(42OP m =-，3)2m ，(4,0)OB =，
0OQ OP =，
∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，
显然当m 取得最大值4时，OP BQ 取得最小值1． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题． 15、
355
【解析】
根据正弦定理得
121
212
2PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1221515
PF PF ==
. 【详解】
∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═55，sin ∠PF 1F 2═55，∴由正弦定理得
121212
2PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵121
2
tan PF F ∠=
，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）12
3214122
-=-
=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得22
12PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②
①②联解，得122151533PF PF =
=
，，可得1215
3
PF PF -=， ∴双曲线的1523a =
，结合23c =，得离心率235
25
c e a ==
. 故答案为：355
. 【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16、 【解析】
分析：将题中的式子进行整理，将
当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的
最值的问题的求解方法，即可求得结果. 详解：
，当
且仅当等号成立，故答案是.
点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）
3
π
； （262【解析】
（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值. （2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】
（1）因为A B C π++=，()2
2sin
3cos 0B C A +-=，
所以22sin 3cos 0A A -=，()
2
21cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2
A =
，
因为()0,A π∈，所以3
A π
=
.
（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
1222=
+⨯=
. 在ABC ∆中，由正弦定理得
sin sin c a
C A
=，
=
，解得c =【点睛】
本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题. 18、 (1) 2=1y x - ()0y ≠．(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）设(),M m n
n =，化简得到轨迹方程；（2）设()21,Q t t +，
()10,A y ，()20,B y ，33151
232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值. 解析：
（1）因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P (
)
2
,2n n ，则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2
=1y x - ()0y ≠．
（2）设()
2
1,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，
由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
由y '=
121AQ t y k t -==+
，2
21BQ t y k t -==-+ 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
3151232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-
+=++>． 令()3
51222f t t t t =++，0t >，则()422
22
5112516222t t f t t t t '+-=+-=，
由()0f t '>
得t >
()0f t '<
得0t <<
，
所以()f t
在区间⎛ ⎝
单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭
单调递增，
所以当t =
()f t 取得极小值也是最小值，即
AB 取得最小值，
此时21s t =+=
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细. 19、（1）{}13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞
【解析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得. 【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-，
所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
20、（1）2
9a b =⎧⎨=⎩
；（2）0c 或4c =.
【解析】
（1）求出()f x '
，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；
（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解. 【详解】
（1）2
()36'=++f x x ax b ，由题意知
2
(1)0360
(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩
， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或2
9a b =⎧⎨
=⎩
. （2）当2,9a b ==时，2
()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x
故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，
由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--，
递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.
因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，
(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
21、 (1)4c =；(2)13 【解析】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3
A B C B π
π++=∴=
.
由正弦定理，得34c a =,即34
c a =
. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =.
(2) 由正弦定理，得132********
,.
sin sin sin 3333
a c
b a A
c C A C B ====∴== )()213213213sin sin sin sin sin sin 3333a c A C A A B A A π⎡⎤⎛
⎫⎤∴+=
+=++=++ ⎪⎢⎥⎦⎝
⎭⎣⎦
3sin 26A A A π⎫⎛
⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
. 由203A π<<，得5666
A πππ
<+<
. 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，(
)max a c +=【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 22、（1）
1681
；（2）①可能是2件；②详见解析 【解析】
（1）由一件手工艺品质量为B 级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D 级的概率为
727
，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，可知7
(10,)7~2B ξ，分别令
(1)
1()
P k P k ξξ=+==、
(1)1()P k P k ξξ=+>=、(1)1()P k P k ξξ=+<=，可求出使得()P k ξ=最大的整数k ，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A 、B 、C 、D 级的概率，进而可列出X 的分布列，求出期望即可. 【详解】
（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为1
22311116C (1)(1)33381
⨯⨯-⨯-=.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为223
3331117C ()(1)C ()33327
⨯⨯-+⨯=，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7
(10,
)7
~2B ξ， 则1010720()C (
)()2727
k
k k
P k ξ-==，其中0,1,2,,10k =，
119101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()
2727
k k k k
k k P k k P k k ξξ++--=+-===+.
由70712020k k -=+得5027k =，整数k 不存在，
由70712020k k ->+得50
27
k <，所以当1k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+>=，即(2)(1)(0)P P P ξξξ=>=>=，
由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A 级的概率为318
(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681
，
一件手工艺品质量为C 级的概率为121
2321111120C (1)[C (1)()]3333381
⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，
一件手工艺品质量为D 级的概率为727
， 所以X 的分布列为：
则期望为81620713100()9006003001002781812727
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。