四川省遂宁市西眉中学高一数学文联考试卷含解析

四川省遂宁市西眉中学高一数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在平行四边形ABCD中，若，则必有（）
A. B. 或
C. ABCD是矩形
D. ABCD是正方形
参考答案：
C
【分析】
由，化简可得，得到,又由四边形为平行四边形，即可得到答案.
【详解】由，则，
即，化简可得，
所以，即,
又由四边形为平行四边形，所以该四边形为矩形，
故选C.
2. 设cos（α+π）=（π＜α＜），那么sin（2π﹣α）的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
参考答案：
A
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用诱导公式可求cosα，结合α范围及诱导公式，同角三角函数关系式即可得解．
【解答】解：∵cos（α+π）=﹣cosα=（π＜α＜），
∴cosα=﹣，sinα＜0，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα===．
故选：A．
3. 已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）
A．2 B．log339 C．1 D．log315
参考答案：
A
【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】先由2x=1，解得x=，然后求f（1）的值．
【解答】解：因为函数f（2x）=log3（8x2+7），
所以f（1）=f（2×）=log3（8×（）2+7）=log39=2．
所以f（1）=2．
故选A．
4. 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】由三视图还原实物图．
【分析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．
【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D
【点评】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目．
5. 方程cosx=lgx的实根的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．无数
参考答案：
C
【考点】余弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】本题即求函数y=cosx的图象和 y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得结论．
【解答】解：方程cosx=lgx的实根的个数，即函数y=cosx的图象和 y=lgx的图象的交点个数，
数形结合可得函数y=cosx的图象和 y=lgx的图象的交点个数为3，
故选：C．
【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，余弦函数、对数函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
6. 两人约定在20：00到21：00之间相见（两人出发是各自独立，且在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的），并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，则两人在约定时间内能相见的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：B
略
7. 设，则sinβ的值为( )
A．
B．
C．
D．
参考答案：
C
考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且
cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），
又∵，∴．
根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==．
因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣
）=．
故选：C
点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题．
8. 已知向量且与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是-------------------------------------------（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. 的值是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
10. 根式（式中）的分数指数幂形式为( )
A．B．C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为cm 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为___________.
参考答案：
【分析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为，
设高，由题意可得：，，
该四棱柱的表面积为.
故答案：．
【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 若函数y=2x3﹣mx+1在区间[1，2]上单调，则实数m的取值范围为．
参考答案：
（﹣∞，6]∪[24，+∞）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得y′=6x2﹣m≥0在区间[1，2]上恒成立，即m≤6x2在区间[1，2]上恒成立，由此求得m的范围；或者y′=6x2﹣m≤0在区间[1，2]上恒成立，即m≥6x2在区间[1，2]上恒成立，由此求得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．
【解答】解：由函数y=2x3﹣mx+1在区间[1，2]上单调递增，可得y′=6x2﹣m≥0在区间[1，2]上恒成立，
故有m≤6x2在区间[1，2]上恒成立，∴m≤6．
由函数y=2x3﹣mx+1在区间[1，2]上单调递减，可得y′=6x2﹣m≤0在区间[1，2]上恒成立，
故有m≥6x2在区间[1，2]上恒成立，∴m≥24，
故答案为：（﹣∞，6]∪[24，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．
13. 已知，，且，则的最小值是______.
参考答案：
25
【分析】
由条件知,结合”1”的代换,可得,展开后结合基本不等式,即求得
的最小值．
【详解】因为,
,
所以
当且仅当
时取等号,
所以
故答案为：25
【点睛】本题考查基本不等式的简单应用,注意”1”的代换.使用基本不等式,需注意”一正二定三相等”的原则,属于基础题.
14. 已知
，则函数f （3
）= ．
参考答案：
11
【考点】函数的表示方法；函数的值．
【分析】通过换元，求出f （t ）的解析式，再把t 换成3，可得f （3）的值．
【解答】解：令 x ﹣=t ，t 2=x 2
+﹣2，
∴f（t ）=t 2
+2， ∴f（3）=32+2=11； 故答案为11．
15. 已知f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围
是 ．
参考答案：
≤a＜
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由分段函数的性质，若f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，
则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第
二段函数的函数值．由此不难判断a 的取值范围． 【解答】解：∵当x≥1时，y=log a x 单调递减，
∴0＜a ＜1；
而当x ＜1时，f （x ）=（3a ﹣1）x+4a 单调递减，
∴a＜；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a ﹣1）x+4a≥log a x ，得a≥，
综上可知，≤a＜．
故答案为：≤a＜
【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x 、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者． 16. 已知：
，集合
.若
，则
的值是____
参考答案：
-6
17. 已知函数
，则
___▲_____。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为
，偶数项的和为
，求此数列的公比和项数。

解析：设此数列的公比为，项数为，
则
∴项数为
19. 在2019迎新年联欢会上,为了活跃大家气氛,设置了“摸球中奖”游戏,桌子上放置一个不透明的箱子,箱子中有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)游戏规则：从箱子中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摸球者中奖价值50元奖品;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者中奖价值20元奖品.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)假定有10人次参与游戏,试从概率的角度估算一下需要准备多少元钱购买奖品?
参考答案：
（1）0.05（2）230元
【分析】
（1）把3个黄色乒乓球标记为、、，个白色的乒乓球标记为、、，列举出所有的基本事件，并确定基本事件的总数，并找出事件“摸出的个球都为白球”所包含的事件及数目，再利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）计算出事件“摸出三个颜色相同的球”的概率为，于此得知次试验中有次摸出三个同颜色的球，于是得出购买奖品的钱为。

【详解】（1）把3个黄色乒乓球标记为,3个白色的乒乓球标记为1,2,3
从6个球中随机摸出3个的基本事件为:
，共20个，
事件{摸出的3个球为白球}，事件包含的基本事件有1个，即摸出123，
∴；
（2）事件{摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球} ∴，
假定有10人次参与游戏摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件发生有1次，不发生9
次，
则需要准备元钱购买奖品.
【点睛】本题考查古典概率的计算，以及概率思想的实际应用，在求解古典概型的概率时，关键就是
列举出基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数和基本事件总数，另外在决策时，可采用平均数
和方差来对总体进行评估，考查分析数据和计算能力，属于中等题。

20. （本小题满分12分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数
，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围.
参考答案：
⑴解：（1）当时， ,令，因为在上单调递增，，即在的值域为
故不存在常数，使成立，所以函数在上不是有界函数。

（2）由题意知，对恒成立。

，令∴对恒成立………9分∴
设，，由，
由于在上递增，在上递减，
在上的最大值为，在上的最小值为
所以实数的取值范围为。

21. 已知函数f（x）=+lg（3﹣x）的定义域为集合A，集合B={x|1﹣m＜x＜3m﹣1}．
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）利用函数有意义，建立不等式，求出m范围，即可求集合A；
（2）若A∩B=B，则B?A，分类讨论，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，，∴﹣2＜x＜3，∴A={x|﹣2＜x＜3}；
（2）若A∩B=B，则B?A，
①B=?，1﹣m，∴m≤；
②B≠?，，∴，
综上所述，m．
22. （本小题满分12分）已知函数.
（1）求证：不论为何实数总是为增函数；
（2）确定的值，使为奇函数；
（3）当为奇函数时，求的值域．
参考答案：
解：（1）的定义域为R, 设，
则=，
, ,
即,所以不论为何实数总为增函数……………………4分
（2）为奇函数, ,即, 解得: …………………………8分（3）由(2)知, ,
所以的值域为………………………………12分
略。