中考数学总复习 题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型6 探究相似三角形的存在性问题试题(2

广西贵港市2０17届中考数学总复习题型专项(八)二次函数与几何图形综合题类型6 探究相似三角形的存在性问题试题
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拓展类型6 探究相似三角形的存在性问题
1．(２０16·河池模拟)如图,抛物线的顶点为Ａ（2,1),且经过原点O，与x轴的另一个交点为Ｂ。

(1)求抛物线的解析式;
(２)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△ＡOB面积的3倍；
（3)连接OA,AＢ,在ｘ轴下方的抛物线上是否存在点Ｎ,使△OBN与△OAB相似?若存在，求出N点的坐标;若不存在，说明理由．
解:(1)由题意，可设抛物线的解析式为ｙ=a(x－２）2＋1，
∵抛物线过原点，
∴a(0－2)2+1＝0，
a=－错误!。

∴抛物线的解析式为y＝-＼ｆ（1，４)(x-2）2＋１＝－错误!x２＋x.
(2）△AＯＢ和所求△MOB同底不等高，且Ｓ△MＯB＝3S△AOB,
∴△ＭOＢ的高是△AOB高的3倍,即Ｍ点的纵坐标是-3．
∴-3＝-错误!ｘ2+x,即ｘ2-4x－１2=0.
解得x1＝６，x2=-２。

∴满足条件的点有两个:Ｍ１(６，－３),M2（-2，-3).
（3）不存在.
由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AＯB＝∠ABO.
若△OＢN与△OＡB相似,必有∠B ON＝∠BOA=∠BＮＯ,
即OB平分∠AOＮ．
设ON交抛物线的对称轴于点A′,则Ａ,Ａ′关于x轴对称，
∴A′(２,-１)．∴直线ON的解析式为y＝－错误!ｘ。

由-错误!x=－错误!x2＋x,得x1＝0，x2＝6。

∴N（6，－３）.
过点Ｎ作NＥ⊥x轴，垂足为点E。

在Rｔ△BＥN中，BＥ＝2，NE=3，
∴NＢ＝错误!=错误!.
又∵OB=４，
∴NＢ≠OB,∠BＯＮ≠∠BNO,△OＢN与△OAB不相似.
同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．
∴在该抛物线上不存在点N,使△OＢN与△ＯAB相似.
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