2022_2022学年高中数学章末综合测评2点直线平面之间的位置关系新人教A版必修2

章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系
(满分：150分时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
C[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.]
2．下面给出了四个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．]
3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
4．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．3 C．2 D．1
D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．] 5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
B[当三棱锥D­ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
B [选项A ，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A 错误；选项B ，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B 正确；选项
C ，由条件应得α⊥β，故选项C 错误；选项
D ，l 与β的位置不确定，故选项D 错误．故选B.]
7．如图，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E ，F 分别是SC 和AB 的中点， 则EF 的长是( )
A ．1
B ． 2
C ．22
D ．12
B [取CB 的中点D ，连接ED ，DF ，则∠EDF (或其补角)为异面直线SB 与A
C 所成的角，
即∠EDF ＝90°.在△EDF 中，ED ＝12SB ＝1，DF ＝12
AC ＝1，所以EF ＝ED 2＋DF 2＝ 2.] 8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一个平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，
C ，
D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A ­CD ­B 的余弦值为( )
A ．12
B ．13
C ．33
D ．23
C [取AC 的中点E ，C
D 的中点F ，连接B
E ，E
F ，BF ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32
，因为EF 2＋BE 2＝BF 2，所以△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33
.]
10．如图，在多面体ACBDE 中，BD ∥AE ，且BD ＝2，AE ＝1，F 在CD 上，要使AC ∥平面EFB ，则DF FC 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．12
B [连接AD 交BE 于点O ，连接OF, 因为A
C ∥平面EFB ，平面AC
D ∩平面EFB ＝OF ，所以
AC ∥OF . 所以OD OA ＝DF FC . 又因为BD ∥AE ，所以△EOA ∽△BOD ，所以OD OA ＝DB EA ＝2. 故DF FC
＝2.] 11．设三棱锥V ­ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)，记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P ­AC ­B 的平面角为γ，则( )
A ．β＜γ，α＜γ
B ．β＜α，β＜γ
C ．β＜α，γ＜α
D ．α＜β，γ＜β
B [如图G 为A
C 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影
D 在线段AO 上， 过D 作D
E ⊥AC 于E ，易得PE ∥VG ，过P 作P
F ∥AC 交V
G 于F ，
过D 作DH ∥AC ，交BG 于H ，
则α＝∠BPF ，β＝∠PBD ，γ＝∠PED ，
则cos α＝PF PB ＝
EG PB ＝DH PB ＜BD PB ＝cos β，又α、β⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得β＜α； tan γ＝PD ED ＞PD BD
=tan β，可得β＜γ. ]
12．如图所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现在沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合，重合后的点记为G . 给出下列关系：
①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ；③GF ⊥SE ；④EF ⊥平面SEG .
其中成立的有( )
A ．①与②
B ．①与③
C ．②与③
D ．③与④
B [由SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，GE ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，得SG ⊥平面EFG ，排除
C ，
D ，若S
E ⊥平面EFG ，则SG ∥SE . 这与SG ∩SE ＝S 矛盾，排除A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l 1∥l 2，在l 1上取2个点，l 2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________. 1 [因为l 1∥l 2，所以经过l 1，l 2有且只有一个平面．]
14．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 与平面DEF 的位置关系是________.
平行 [因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以EF ∥AC . 又因为AC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .]
15．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，B ∈α，点C ∈平面β，且C ∉l ，AB ∩l ＝R .若过A ，B ，C 三点的平面为平面γ， 则β∩γ＝________.
CR [根据题意画出图形，如图，因为点C ∈β，且点C ∈γ，所以C ∈β∩γ. 因为点R ∈AB ，所以点R ∈γ.又R ∈β，所以R ∈β∩γ，从而β∩γ＝CR .]
16．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.
36π [如图，连接OA ，OB .
由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .
由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB .
设球O 的半径为r ，则
OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，
∴三棱锥S ­ABC 的体积
V ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33
＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2
＝36π.] 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC ⊥B 1C ；
(2)求证：AC 1∥平面CDB 1.
[证明] (1)∵C 1C ⊥平面ABC ，
∴C 1C ⊥AC .
∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，
∴AC ⊥BC .
又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，
而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，
∴AC ⊥B 1C .
(2)连接BC 1交B 1C 于点O ，连接OD .如图，
∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1.又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.∴AC 1∥平面CDB 1.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23
CD . 试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面PAD ？若能，请确定点E 的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
[解] 在PC 上能找到点E ，且满足CE PE ＝12
，可使BE ∥平面PAD . 证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF .
在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23
CD . 所以AB CD ＝
BF FC ＝23，所以BC BF ＝12. 又CE PE ＝12，所以在△PFC 中，CE PE ＝BC BF
， 所以BE ∥PF .
而BE ⊄平面PAD ，PF ⊂平面PAD ，
所以BE ∥平面PAD .
19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P ­ABC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，PA ＝AC ，M 为PB 的中点．
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求二面角M ­AC ­B 的大小．
[解] (1)证明：由PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，
又因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，
所以BC ⊥平面PAC ，所以PC ⊥BC .
(2)取AB 中点O ，连接MO ，过O 作HO ⊥AC 于H ，
连接MH ，
因为M 是BP 的中点，所以MO ∥PA ，
又因为PA ⊥平面ABC ，所以MO ⊥平面ABC ，
所以∠MHO 为二面角M ­AC ­B 的平面角，设AC ＝2，则BC ＝23，MO ＝1，OH ＝3， 在Rt △MHO 中，tan ∠MHO ＝MO HO ＝33
， 所以二面角M ­AC ­B 的大小为30°.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．
(1)求证：BD ⊥平面PAC ；
(2)若∠ABC ＝60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
(3)棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．
[解] (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，
所以PA ⊥BD .
又因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .
又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，
所以BD ⊥平面PAC .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE .
因为底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD .
又AB ∥CD ，所以AB ⊥AE .
又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA ∩AB ＝A ，所以AE ⊥平面PAB .
又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE .
(3)棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE .
取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连接CF ，FG ，EG .
因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG ＝12
AB . 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点，
所以CE ∥AB ，且CE ＝12
AB . 所以FG ∥CE ，且FG ＝CE .
所以四边形CEGF 为平行四边形，所以CF ∥EG .
因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，
所以CF ∥平面PAE .
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.
(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
(2)求证：PD ⊥平面PBC ；
(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
[解] (1)如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，所以cos ∠DAP ＝AD AP ＝55
. 所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
55.
(2)因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .
又BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PBC .
(3)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 与平面PBC 所成的角．
由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.
又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25，在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55
. 所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为
55. 22．(本小题满分12分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图②.
① ②
(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；
(2)求证：A 1F ⊥BE ；
(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．
[解] (1)证明：∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点，
∴DE ∥BC .
又∵DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，
∴DE ∥平面A 1CB .
(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，
∴DE ⊥AC .
∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，A 1D ∩CD ＝D ，
∴DE ⊥平面A 1DC .
而A 1F ⊂平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1F .
又∵A 1F ⊥CD ，DE ∩CD ＝D ，
∴A 1F ⊥平面BCDE ，∵BE ⊂平面BCDE ，
∴A 1F ⊥BE .
(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .
理由如下：
如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .
又∵DE ∥BC ，∴DE ∥PQ .
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，
∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。